Al estudiar la gráfica de una función real, notamos que hay puntos en los cuales la función pasa por encima de los ejes del plano cartesiano, estos son conocidos como los puntos de corte de la función con los ejes y se pueden calcular de forma analítica fijando condiciones sobre la forma en que está definida la función. Veamos cuales son las condiciones para los distintos ejes.
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Punto de corte con el Eje Y
Para calcular el punto de corte con el Eje Y, debemos notar primero que todos los puntos que pertenecen al Eje Y, son de la forma donde puede ser cualquier número real, entonces el punto de corte de la función con este eje debe cumplir con esta condición.
Formalmente, si consideramos una función tal que es un elemento de su dominio, entonces calculamos el punto de corte con el Eje Y evaluando la función en , es decir, calculando
Recordando que una función es una regla de correspondencia que corresponde a cada elemento de su dominio con un único elemento en el rango, podemos concluir que una función tendrá a lo sumo un solo punto de corte con el Eje Y.
Veamos con algunos ejemplos como calcular los puntos de corte con el Eje Y.
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Ejemplos
Ejemplo 1
Considerando la función lineal, determine el punto de corte de esta función con el Eje Y.
Para determinar el punto de corte con el Eje Y, basta con evaluar la función en , entonces,
En conclusión, la función corta al Eje Y en el punto . Esto se puede apreciar al observar su gráfica
Ejemplo 2
Considerando la función cuadrática, determine el punto de corte de esta función con el Eje Y.
Para determinar el punto de corte con el Eje Y, basta con evaluar la función en , entonces,
En conclusión, la función corta al Eje Y en el punto . Esto se puede apreciar al observar su gráfica
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Ejemplo 3
Considerando la función exponencial, determine el punto de corte de esta función con el Eje Y.
Para determinar el punto de corte con el Eje Y, basta con evaluar la función en , entonces,
En conclusión, la función corta al Eje Y en el punto . Esto se puede apreciar al observar su gráfica
Ejemplo 4
Considerando la función radical , determine el punto de corte de esta función con el Eje Y.
Esta función no tiene punto de corte con el Eje Y, pues el punto no está en su dominio. Esto se puede apreciar al observar su gráfica
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Puntos de corte con el Eje X
Para calcular los puntos de corte con el Eje X, debemos notar primero que todos los puntos que pertenecen al Eje X, son de la forma donde puede ser cualquier número real, entonces el punto de corte de la función con este eje debe cumplir con esta condición.
Formalmente, si consideramos una función , entonces calculamos el punto de corte con el Eje X verificando para cuales valores de la función se anula, es decir, calculando los valores de para los cuales
Veamos con algunos ejemplos como calcular los puntos de corte con el Eje X.
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Ejemplos
Ejemplo 5
Considerando la función lineal, determine el punto de corte de esta función con el Eje X.
Para determinar el punto de corte con el Eje X, calculemos los valores de para los cuales , entonces,
En conclusión, la función corta al Eje X en el punto . Esto se puede apreciar al observar su gráfica
Ejemplo 6
Considerando la función cuadrática, determine el punto de corte de esta función con el Eje X.
Para determinar el punto de corte con el Eje X, calculemos los valores de para los cuales , entonces,
A partir de esta última igualdad, podemos considerar dos casos: ó , por lo tanto, ó .
En conclusión, la función corta al Eje X en los puntos y . Esto se puede apreciar al observar su gráfica
Nota: Es importante conocer las funciones inversas, notemos que en este caso se usó la función raíz cuadrada para poder despejar la variable cuando esta se encuentra involucrada en una expresión cuadrática.
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Ejemplo 7
Considerando la función exponencial, determine el punto de corte de esta función con el Eje X.
Para determinar el punto de corte con el Eje X, calculemos los valores de para los cuales , entonces,
En conclusión, la función corta al Eje X en el punto . Esto se puede apreciar al observar su gráfica
Nota: Es importante conocer las funciones inversas, notemos que en este caso se usó la función logaritmo neperiano para poder despejar la variable cuando esta se encuentra involucrada en una expresión exponencial.
Ejemplo 8
Considerando la función radical , determine el punto de corte de esta función con el Eje X.
Esta función no tiene punto de corte con el Eje X, pues el punto no está en su rango. Esto se puede apreciar al observar su gráfica
Al estudiar la gráfica de funciones podemos notar que en algunos casos, podemos partirlas en dos partes que tienen el mismo comportamiento, es decir, funciones que presentan simetrías. Estas simetrías se pueden describir analíticamente como propiedades al definir las reglas que definen las funciones.
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Funciones Pares
Si consideramos la gráfica de la Función Cuadrática, , podemos notar que la forma que ella tiene del lado derecho del Eje Y es un reflejo de la forma que ella tiene del lado izquierdo, en este caso, decimos que existe una simetría respecto al Eje Y. A las funciones que presentan este comportamiento se les conoce como funciones pares.
Formalmente, diremos que una función es una Función Par si para todo en el dominio de la función, se cumple que
Veamos algunos ejemplos de funciones pares para entender esta idea.
Ejemplos
Ejemplo 1
Consideremos la función , esta sí es una función par, pues considerando que el valor absoluto de un producto es el producto de los valores absolutos, es decir, , entonces
Esto se puede apreciar al observar su gráfica:
Ejemplo 2
Consideremos la función , esta sí es una función par pues considerando la Ley de los Signos, tenemos que
Esto se puede apreciar al observar su gráfica:
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Ejemplo 3
Consideremos la función , esta sí es una función par pues
Esto se puede apreciar al observar su gráfica:
Ejemplo 4
Consideremos la función , esta no es una función par, pues,
Así, podemos concluir que . Esto se puede apreciar al observar su gráfica:
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Funciones Impares
Si consideramos la gráfica de la Función Cúbica, , podemos notar que la forma que ella tiene en el primer cuadrante es un reflejo de la forma que ella tiene en el tercer cuadrante, en este caso, decimos que existe una simetría respecto al origen. A las funciones que presentan este comportamiento se les conoce como funciones impares.
Formalmente, diremos que una función es una Función Impar si para todo en el dominio de la función, se cumple que
Veamos algunos ejemplos de funciones pares para entender esta idea.
Ejemplos
Ejemplo 5
Consideremos la función , esta sí es una función impar, pues
Esto se puede apreciar al observar su gráfica:
Ejemplo 6
Consideremos la función , esta sí es una función impar, pues
Esto se puede apreciar al observar su gráfica:
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Ejemplo 7
Consideremos la función , esta sí es una función par pues considerando la Ley de los Signos, tenemos que
Esto se puede apreciar al observar su gráfica:
Ejemplo 8
Consideremos la función , esta no es una función par pues
Así, podemos concluir que . Esto se puede apreciar al observar su gráfica:
Habiendo definido las funciones y usando los diagramas sagitales para estudiarlas. Podemos clasificar las funciones considerando la forma en que las correspondencias entre elementos están dadas, estas clasificaciones cumplen un papel fundamental en el estudio de las matemáticas.
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Tipos de funciones
Si consideramos dos conjuntos y , sabemos que una función es una relación del conjunto con el conjunto que corresponde a todo elemento que está en con un único elemento que está en , pero además, podemos clasificarlas de la siguiente forma:
Función Inyectiva: Diremos que una función es inyectiva si los elementos del rango están correspondidos con sólo un elemento del dominio.
También pudiéramos decir que a los elementos del conjunto de llegada no se les corresponde más de un elemento del dominio.
Función Sobreyectiva: Diremos que una función es sobreyectiva si los elementos conjunto de llegada están correspondidos con al menos un elemento del dominio.
También pudiéramos decir que el conjunto de llegada es igual al rango de la función.
Función Biyectiva: Diremos que una función es biyectiva si es inyectiva y es sobreyectiva al mismo tiempo.
También podemos decir que corresponde a todo elemento que está en con un único elemento que está en .
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Ejemplos
Ejemplo 1
Considere el conjunto conformado por tres niños en una fiesta de cumpleaños: Ana, José y Roberto. Por otra parte, consideremos el conjunto conformado por los gorros de colores: verde, morado y azul.
Supongamos que a Ana le corresponde el gorro verde, a José le corresponde el gorro morado y a Roberto le corresponde el gorro azul. Así, podemos expresar la función como el conjunto de los siguientes pares ordenados:
Esta sí es una función inyectiva entre el conjunto de los niños y el conjunto de los gorros pues no se le ha correspondido el mismo gorro a más de un niño.
Esta sí es una función sobreyectiva entre el conjunto de los niños y el conjunto de los gorros pues todos los gorros han sido correspondidos con un niño.
Esta sí es una función biyectiva entre el conjunto de los niños y el conjunto de los gorros pues es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo.
Ejemplo 2
Considere el conjunto conformado por 5 marcas de teléfonos celulares: Pixel, Samsung, Xiaomi y iPhone. Por otra parte, consideremos el conjunto conformado por características de teléfonos celulares: Cámara HD y Conectividad 5G.
Supongamos que los fabricantes de estas marcas, añaden las características a los teléfonos de la siguiente forma: Pixel tiene Cámara HD, Samsung tiene Conectividad 5G y iPhone tiene Cámara HD. Así, podemos expresar la relación como el conjunto de los siguientes pares ordenados:
Esta no es una función inyectiva entre el conjunto de marcas y el conjunto características pues existen dos marcas con la misma característica.
Esta sí es una función sobreyectiva entre el conjunto de marcas y el conjunto características pues todas las características han sido adoptadas por al menos una marca.
Esta sí es una función biyectiva entre el conjunto de marcas y el conjunto características pues es no es inyectiva.
Los tipos de funciones se pueden apreciar con mayor claridad cuando las ilustramos, veamos como hacer esto.
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Diagramas Sagitales
Los diagramas sagitales consisten en ilustraciones que permiten representar las relaciones entre los elementos de dos conjuntos identificando los siguientes elementos:
Los conjuntos se representan con círculos u óvalos.
Los elementos de los conjuntos se representan con puntos.
La relación entre elementos, se representan con líneas o flechas.
Consideremos en los siguientes ejemplos para ilustrar funciones entre dos conjuntos usando diagramas sagitales, notando que:
Si la función inyectiva, a los elementos de llega a lo sumo una línea.
Si la función es sobreyectiva, a todos los elementos de llega al menos una línea.
Si la función es biyectiva, a todos y cada uno de los elementos de llega exactamente una línea.
Ejemplos
Ejemplo 3
Considere el conjunto conformado por cinco niños en un salón de clases: María, Pedro, Jerick, Laura y Fabiana. Por otra parte, consideremos el conjunto conformado por cinco actividades que hay que desarrollar en el salón de clases a una determinada hora: leer, escribir, sumar, restar y dibujar.
Supongamos que a María le corresponde leer, a Pedro le corresponde escribir, a Jerick le corresponde sumar, a Laura le corresponde restar y a Fabiana le corresponde dibujar. Así, podemos expresar la función como el conjunto de los siguientes pares ordenados:
Pero además, podemos ilustrar esta función con un diagrama sagital de la siguiente manera:
Esta sí es una función inyectiva, porque no llegan más de dos líneas a los elementos de .
Esta sí es una función sobreyectiva, porque llega al menos una línea a cada elemento de .
Esta sí es una función biyectiva, porque a cada elemento de llega exactamente una línea.
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Ejemplo 4
Considere el conjunto conformado por cuatro automóviles enumerados con 1, 2, 3 y 4. Por otra parte, consideremos el conjunto conformado por tres colores: amarillo, azul y rojo.
Supongamos que estos automóviles deben ser pintados de uno o dos colores: el 1 es pintado de amarillo, el 2 de amarillo, el 3 de azul y el 4 de rojo. Así, podemos expresar la relación como el conjunto de los siguientes pares ordenados:
Pero además, podemos ilustrar esta función con un diagrama sagital de la siguiente manera:
Esta no es una función inyectiva, porque llegan dos líneas al color amarillo.
Esta sí es una función sobreyectiva, porque llega al menos una línea a cada elemento de .
Esta no es una función biyectiva, porque no es inyectiva.
Ejemplo 5
Considere el conjunto conformado por los números 2, 3, 5. Por otra parte, consideremos el conjunto conformado por los números: 1, 2, 3, 5.
Diremos que un elemento del conjunto está relacionado con un elemento del conjunto si es un divisor de , es decir, tal que la división es exacta. Así, podemos expresar la relación como el conjunto de los siguientes pares ordenados:
= { (2, 2) ; (3, 3) ; (5, 5) }
Pero además, podemos ilustrar esta función con un diagrama sagital de la siguiente manera:
Esta sí es una función inyectiva, porque no llegan más de dos líneas a los elementos de .
Esta no es una función sobreyectiva, porque el número 1 en el conjunto no está correspondido con ningún elemento de .
Esta sí es una función biyectiva, porque no es sobreyectiva.
Habiendo definido las relaciones y usando los diagramas sagitales para estudiarlas. Podemos considerar un grupo de relaciones muy particular que cumple un papel fundamental en el estudio de las matemáticas, particularmente cuando estamos estudiando conjuntos numéricos.
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Funciones como Relaciones
Si consideramos dos conjuntos y , una función es una relación del conjunto con el conjunto que corresponde a todo elemento que está en con un único elemento que está en , generalmente se identifica con la letra y se denota de la siguiente forma
.
Identificaremos la correspondencia que existe entre un elemento del conjunto con un elemento del conjunto con el par ordenado (decimos par ordenado para señalar que el primer elemento pertenece al primer conjunto y el segundo elemento pertenece al segundo conjunto).
Al conjunto se le conoce como el conjunto de salida y al conjunto se le conoce como el conjunto de llegada.
Dominio y Rango de una Función
Al definir relaciones, podemos identificar algunos de los elementos que las componen:
Al conjunto se le conoce como el conjunto de salida
Al conjunto se le conoce como el conjunto de llegada.
Al conjunto de elementos de correspondido con elementos de se le conoce como el dominio o conjunto de las preimágenes. Notemos que de la forma en que están definidas las funciones, el dominio será igual al conjunto de salida.
Si un elemento de de está correspondido con un elemento de de , diremos que es una preimagen de .
Al conjunto de elementos de correspondido con elementos de se le conoce como el rango o conjunto de las imágenes.
Si un elemento de de está correspondido con un elemento de de , diremos que es una imagen de .
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Ejemplos
Ejemplo 1: Relación que sí es una función
Considere el conjunto conformado por tres niños en una fiesta de cumpleaños: Ana, José y Roberto. Por otra parte, consideremos el conjunto conformado por los gorros de colores: verde, morado, rosado, azul.
Supongamos que a Ana le corresponde el gorro verde, a José le corresponde el gorro morado y a Roberto le corresponde el gorro azul.
Esta relación sí es una función entre el conjunto de los niños y el conjunto de los gorros pues a cada niño se le corresponde un sólo gorro, así, podemos expresar la función como el conjunto de los siguientes pares ordenados:
Siempre es importante identificar el dominio y rango de una función, pues así podemos identificar con mayor facilidad los elementos involucrados en las correspondencias. En este caso, tenemos que,
El dominio es {Ana, José, Roberto}.
El rango es {Verde, Morado, Azul}.
Ejemplo 2: Relación que no es una función
Considere el conjunto conformado por 5 marcas de teléfonos celulares: Pixel, Samsung, Xiaomi, iPhone y Orinoquia. Por otra parte, consideremos el conjunto conformado por características de teléfonos celulares: Cámara HD y Conectividad 5G.
Supongamos que los fabricantes de estas marcas, añaden las características a los teléfonos de la siguiente forma: Pixel tiene todas las características, Samsung tiene Conectividad 5G y iPhone tiene Cámara HD.
Esta relación no es una función entre el conjunto de marcas y el conjunto características pues la marca Pixel está correspondida con dos características, así, podemos expresar la relación como el conjunto de los siguientes pares ordenados:
Pero tomando en cuenta que esta relación no es una función.
Siempre es importante identificar el dominio y rango de una relación, pues así podemos identificar con mayor facilidad los elementos involucrados en las correspondencias. En este caso, tenemos que,
El dominio es {Pixel, Samsung, iPhone}.
El rango es {Cámara HD, Conectividad 5G}.
Las relaciones que son funciones se pueden apreciar con mayor claridad cuando las ilustramos, veamos como hacer esto.
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Diagramas Sagitales
Los diagramas sagitales consisten en ilustraciones que permiten representar las relaciones entre los elementos de dos conjuntos identificando los siguientes elementos:
Los conjuntos se representan con círculos u óvalos.
Los elementos de los conjuntos se representan con puntos.
La relación entre elementos, se representan con líneas o flechas.
Consideremos en los siguientes ejemplos para ilustrar funciones entre dos conjuntos usando diagramas sagitales, notando que si la relación es una función, entonces de todos y cada de los elementos del conjunto debe salir exactamente una línea.
Ejemplos
Ejemplo 3: Relación que sí es una función
Considere el conjunto conformado por cinco niños en un salón de clases: María, Pedro, Jerick, Laura y Fabiana. Por otra parte, consideremos el conjunto conformado por cinco actividades que hay que desarrollar en el salón de clases a una determinada hora: leer, escribir, sumar, restar y dibujar.
Supongamos que a María le corresponde leer, a Pedro le corresponde escribir, a Jerick le corresponde sumar, a Laura le corresponde restar y a Fabiana le corresponde dibujar.
Esta relación sí es una función entre el conjunto de niños y el conjunto actividades pues a cada niño se le ha correspondido una sola actividad, así, podemos expresar la función como el conjunto de los siguientes pares ordenados:
Pero además, podemos ilustrar esta relación con un diagrama sagital notando que de cada elemento del conjunto sale sólo una línea, de la siguiente manera:
Siempre es importante identificar el dominio y rango de una función, pues así podemos identificar con mayor facilidad los elementos involucrados en las correspondencias. En este caso, tenemos que,
El dominio es {María, Pedro, Jerick, Laura, Fabiana}.
El rango es {Leer, Escribir, Sumar, Restar, Dibujar}.
Ejemplo 4: Relación que sí es una función
Considere el conjunto A conformado por cuatro automóviles enumerados con 1, 2, 3 y 4. Por otra parte, consideremos el conjunto B conformado por tres colores: amarillo, azul y rojo.
Supongamos que estos automóviles deben ser pintados de uno o dos colores: el 1 es pintado de amarillo, el 2 de amarillo, el 3 de azul y el 4 de rojo.
Esta relación sí es una función entre el conjunto de automóviles y el conjunto colores pues cada automóvil se ha pintado de un único color, así, podemos expresar la relación como el conjunto de los siguientes pares ordenados:
Pero además, podemos ilustrar esta relación con un diagrama sagital notando que de cada elemento del conjunto sale sólo una línea, de la siguiente manera:
Siempre es importante identificar el dominio y rango de una relación, pues así podemos identificar con mayor facilidad los elementos involucrados en las correspondencias. En este caso, tenemos que,
El dominio es {1,2,3,4}.
El rango es {Amarillo, Azul, Rojo}.
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Ejemplo 5: Relación que no es una función
Considere el conjunto conformado por cuatro automóviles enumerados con 1, 2, 3 y 4. Por otra parte, consideremos el conjunto conformado por tres colores: amarillo, azul y rojo.
Supongamos que estos automóviles deben ser pintados de uno o dos colores: el 1 es pintado de amarillo, el 2 de amarillo y azul, el 3 y 4 de rojo.
Esta relación no es una función entre el conjunto de automóviles y el conjunto colores pues al automóvil número 2 se le han correspondido dos colores distintos, así, podemos expresar la relación como el conjunto de los siguientes pares ordenados:
Pero además, podemos ilustrar esta relación con un diagrama sagitalnotando que del automóvil número 2 salen dos líneas, de la siguiente manera:
Siempre es importante identificar el dominio y rango de una relación, pues así podemos identificar con mayor facilidad los elementos involucrados en las correspondencias. En este caso, tenemos que,
El dominio es {1,2,3,4}.
El rango es {Amarillo, Azul, Rojo}.
Ejemplo 6: Relación que no es una función
Considere el conjunto conformado por los números 1, 2, 3, 4, 5, 6. Por otra parte, consideremos el conjunto conformado por los números: 1, 2, 3, 4.
Diremos que un elemento del conjunto está relacionado con un elemento del conjunto si es un divisor de , es decir, tal que la división es exacta.
Esta relación no es una función entre el conjunto y el conjunto por varias razones: al número 1 se le han correspondido cuatro números distintos, al número 2 se le han correspondido dos números distintos y al número 5 no se le ha correspondido con ningún número, así, podemos expresar la relación como el conjunto de los siguientes pares ordenados:
Pero además, podemos ilustrar esta relación con un diagrama sagitalnotando que del número 1 salen cuatro líneas, del número 2 salen dos líneas y del número 5 no sale ninguna línea, de la siguiente manera:
Siempre es importante identificar el dominio y rango de una relación, pues así podemos identificar con mayor facilidad los elementos involucrados en las correspondencias. En este caso, tenemos que,
Al definir los conjuntos, nos hemos apoyado en los Diagramas de Venn para estudiar las operaciones entre ellos, tales como unión, intersección o complemento de conjuntos. Siguiendo esta representación ilustrada de los conjuntos, es posible definir otro tipo de diagramas que ayudan a estudiar las correspondencias que podemos establecer entre los elementos de dos conjuntos.
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Relaciones
Diremos que estos dos conjuntos están relacionados si podemos establecer correspondencias entre los elementos de uno con los elementos del otro. Por ejemplo, en una fiesta de cumpleaños, podemos corresponder a cada niño con un gorro de cumpleaños diferente, de esta forma, establecemos una relación entre el conjunto de los niños y el conjunto de los gorros de cumpleaños.
Formalmente, si consideramos dos conjuntos y , identificaremos la correspondencia que existe entre un elemento del conjunto con un elemento del conjunto con el par ordenado (decimos par ordenado para señalar que el primer elemento pertenece al primer conjunto y el segundo elemento pertenece al segundo conjunto).
Más aún, diremos que una relación del conjunto con el conjunto es el conjunto de todas las correspondencias entre los elementos de y , es decir, el conjunto de todos los pares ordenados tales que está en y que está en generalmente se identifica con la letra y se denota de la siguiente forma
.
Dominio y Rango de una Relación
Al definir relaciones, podemos identificar algunos de los elementos que las componen:
Al conjunto se le conoce como el conjunto de salida
Al conjunto se le conoce como el conjunto de llegada.
Al conjunto de elementos de correspondido con elementos de se le conoce como el dominio o conjunto de las preimágenes.
Si un elemento de de está correspondido con un elemento de de , diremos que es una preimagen de .
Al conjunto de elementos de correspondido con elementos de se le conoce como el rango o conjunto de las imágenes.
Si un elemento de de está correspondido con un elemento de de , diremos que es una imagen de .
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Ejemplos
Ejemplo 1
Considere el conjunto conformado por tres niños en una fiesta de cumpleaños: Ana, José y Roberto. Por otra parte, consideremos el conjunto conformado por los gorros de colores: verde, morado, rosado, azul.
Supongamos que a Ana le corresponde el gorro verde, a José le corresponde el gorro morado y a Roberto le corresponde el gorro azul.
Esta correspondencia establece una relación entre el conjunto de los niños y el conjunto de los gorros, así, podemos expresar la relación como el conjunto de los siguientes pares ordenados:
Siempre es importante identificar el dominio y rango de una relación, pues así podemos identificar con mayor facilidad los elementos involucrados en las correspondencias. En este caso, tenemos que,
El dominio es {Ana, José, Roberto}.
El rango es {Verde, Morado, Azul}.
Ejemplo 2
Considere el conjunto conformado por 5 marcas de teléfonos celulares: Pixel, Samsung, Xiaomi, iPhone y Orinoquia. Por otra parte, consideremos el conjunto conformado por características de teléfonos celulares: Cámara HD y Conectividad 5G.
Supongamos que los fabricantes de estas marcas, añaden las características a los teléfonos de la siguiente forma: Pixel tiene todas las características, Samsung tiene Conectividad 5G y iPhone tiene Cámara HD.
Esta correspondencia establece una relación entre el conjunto de marcas y el conjunto características, así, podemos expresar la relación como el conjunto de los siguientes pares ordenados:
Siempre es importante identificar el dominio y rango de una relación, pues así podemos identificar con mayor facilidad los elementos involucrados en las correspondencias. En este caso, tenemos que,
El dominio es {Pixel, Samsung, iPhone}.
El rango es {Cámara HD, Conectividad 5G}.
Las relaciones se pueden apreciar con mayor claridad cuando las ilustramos, veamos como hacer esto.
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Diagramas Sagitales
Los diagramas sagitales consisten en ilustraciones que permiten representar las relaciones entre los elementos de dos conjuntos identificando los siguientes elementos:
Los conjuntos se representan con círculos u óvalos.
Los elementos de los conjuntos se representan con puntos.
La relación entre elementos, se representan con líneas o flechas.
Consideremos en los siguientes ejemplos para ilustrar relaciones entre dos conjuntos usando diagramas sagitales.
Ejemplos
Ejemplo 3
Considere el conjunto conformado por cinco niños en un salón de clases: María, Pedro, Jerick, Laura y Fabiana. Por otra parte, consideremos el conjunto conformado por cinco actividades que hay que desarrollar en el salón de clases a una determinada hora: leer, escribir, sumar, restar y dibujar.
Supongamos que a María le corresponde leer, a Pedro le corresponde escribir, a Jerick le corresponde sumar, a Laura le corresponde restar y a Fabiana le corresponde dibujar.
Esta correspondencia establece una relación entre el conjunto de niños y el conjunto actividades, así, podemos expresar la relación como el conjunto de los siguientes pares ordenados:
Pero además, podemos ilustrar esta relación con un diagrama sagital, de la siguiente manera:
Siempre es importante identificar el dominio y rango de una relación, pues así podemos identificar con mayor facilidad los elementos involucrados en las correspondencias. En este caso, tenemos que,
El dominio es {María, Pedro, Jerick, Laura, Fabiana}.
El rango es {Leer, Escribir, Sumar, Restar, Dibujar}.
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Ejemplo 4
Considere el conjunto conformado por cuatro automóviles enumerados con 1, 2, 3 y 4. Por otra parte, consideremos el conjunto conformado por tres colores: amarillo, azul y rojo.
Supongamos que estos automóviles deben ser pintados de uno o dos colores: el 1 es pintado de amarillo, el 2 de amarillo y azul, el 3 y 4 de rojo.
Esta correspondencia establece una relación entre el conjunto de automóviles y el conjunto colores, así, podemos expresar la relación como el conjunto de los siguientes pares ordenados:
Pero además, podemos ilustrar esta relación con un diagrama sagital, de la siguiente manera:
Siempre es importante identificar el dominio y rango de una relación, pues así podemos identificar con mayor facilidad los elementos involucrados en las correspondencias. En este caso, tenemos que,
El dominio es {1,2,3,4}.
El rango es {Amarillo, Azul, Rojo}.
Ejemplo 5
Considere el conjunto conformado por los números 1, 2, 3, 4, 5, 6. Por otra parte, consideremos el conjunto conformado por los números: 1, 2, 3, 4.
Diremos que un elemento del conjunto está relacionado con un elemento del conjunto si es un divisor de , es decir, tal que la división es exacta.
Esta correspondencia establece una relación entre el conjunto y el conjunto , así, podemos expresar la relación como el conjunto de los siguientes pares ordenados:
Pero además, podemos ilustrar esta relación con un diagrama sagital, de la siguiente manera:
Siempre es importante identificar el dominio y rango de una relación, pues así podemos identificar con mayor facilidad los elementos involucrados en las correspondencias. En este caso, tenemos que,