Diagramas Sagitales: Relaciones

Al definir los conjuntos, nos hemos apoyado en los Diagramas de Venn para estudiar las operaciones entre ellos, tales como unión, intersección o complemento de conjuntos. Siguiendo esta representación ilustrada de los conjuntos, es posible definir otro tipo de diagramas que ayudan a estudiar las correspondencias que podemos establecer entre los elementos de dos conjuntos.

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Relaciones

Diremos que estos dos conjuntos están relacionados si podemos establecer correspondencias entre los elementos de uno con los elementos del otro. Por ejemplo, en una fiesta de cumpleaños, podemos corresponder a cada niño con un gorro de cumpleaños diferente, de esta forma, establecemos una relación entre el conjunto de los niños y el conjunto de los gorros de cumpleaños.

Formalmente, si consideramos dos conjuntos A y B, identificaremos la correspondencia que existe entre un elemento a del conjunto A con un elemento b del conjunto B con el par ordenado (a,b) (decimos par ordenado para señalar que el primer elemento pertenece al primer conjunto y el segundo elemento pertenece al segundo conjunto).

Más aún, diremos que una relación del conjunto A con el conjunto B es el conjunto de todas las correspondencias entre los elementos de A y B, es decir, el conjunto de todos los pares ordenados (a,b) tales que a está en A y que b está en B generalmente se identifica con la letra r y se denota de la siguiente forma

r : A \rightarrow B.

Dominio y Rango de una Relación

Al definir relaciones, podemos identificar algunos de los elementos que las componen:

  • Al conjunto A se le conoce como el conjunto de salida
  • Al conjunto B se le conoce como el conjunto de llegada.
  • Al conjunto de elementos de A correspondido con elementos de B se le conoce como el dominio o conjunto de las preimágenes.
  • Si un elemento de a de A está correspondido con un elemento de b de B, diremos que a es una preimagen de b.
  • Al conjunto de elementos de B correspondido con elementos de A se le conoce como el rango o conjunto de las imágenes.
  • Si un elemento de b de B está correspondido con un elemento de a de A, diremos que b es una imagen de a.
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Ejemplos

Ejemplo 1

Considere el conjunto A conformado por tres niños en una fiesta de cumpleaños: Ana, José y Roberto. Por otra parte, consideremos el conjunto B conformado por los gorros de colores: verde, morado, rosado, azul.

Supongamos que a Ana le corresponde el gorro verde, a José le corresponde el gorro morado y a Roberto le corresponde el gorro azul.

Esta correspondencia establece una relación entre el conjunto de los niños y el conjunto de los gorros, así, podemos expresar la relación r : A \rightarrow B como el conjunto de los siguientes pares ordenados:

r = { (Ana, Verde) ; (José, Morado) ; (Roberto, Azul) }

Siempre es importante identificar el dominio y rango de una relación, pues así podemos identificar con mayor facilidad los elementos involucrados en las correspondencias. En este caso, tenemos que,

  • El dominio es {Ana, José, Roberto}.
  • El rango es {Verde, Morado, Azul}.

Ejemplo 2

Considere el conjunto A conformado por 5 marcas de teléfonos celulares: Pixel, Samsung, Xiaomi, iPhone y Orinoquia. Por otra parte, consideremos el conjunto B conformado por características de teléfonos celulares: Cámara HD y Conectividad 5G.

Supongamos que los fabricantes de estas marcas, añaden las características a los teléfonos de la siguiente forma: Pixel tiene todas las características, Samsung tiene Conectividad 5G y iPhone tiene Cámara HD.

Esta correspondencia establece una relación entre el conjunto de marcas y el conjunto características, así, podemos expresar la relación r : A \rightarrow B como el conjunto de los siguientes pares ordenados:

r = { (Pixel, Cámara HD) ; (Pixel, Conectividad 5G) ; (Samsung, Conectividad 5G) ; (iPhone, Cámara HD)}

Siempre es importante identificar el dominio y rango de una relación, pues así podemos identificar con mayor facilidad los elementos involucrados en las correspondencias. En este caso, tenemos que,

  • El dominio es {Pixel, Samsung, iPhone}.
  • El rango es {Cámara HD, Conectividad 5G}.

Las relaciones se pueden apreciar con mayor claridad cuando las ilustramos, veamos como hacer esto.

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Diagramas Sagitales

Los diagramas sagitales consisten en ilustraciones que permiten representar las relaciones entre los elementos de dos conjuntos identificando los siguientes elementos:

  • Los conjuntos se representan con círculos u óvalos.
  • Los elementos de los conjuntos se representan con puntos.
  • La relación entre elementos, se representan con líneas o flechas.

Consideremos en los siguientes ejemplos para ilustrar relaciones entre dos conjuntos usando diagramas sagitales.

Ejemplos

Ejemplo 3

Considere el conjunto A conformado por cinco niños en un salón de clases: María, Pedro, Jerick, Laura y Fabiana. Por otra parte, consideremos el conjunto B conformado por cinco actividades que hay que desarrollar en el salón de clases a una determinada hora: leer, escribir, sumar, restar y dibujar.

Supongamos que a María le corresponde leer, a Pedro le corresponde escribir, a Jerick le corresponde sumar, a Laura le corresponde restar y a Fabiana le corresponde dibujar.

Esta correspondencia establece una relación entre el conjunto de niños y el conjunto actividades, así, podemos expresar la relación r : A \rightarrow B como el conjunto de los siguientes pares ordenados:

r = { (María, Leer) ; (Pedro, Escribir) ; (Jerick, Sumar) ; (Laura, Restar) ; (Fabiana, Dibujar) }

Pero además, podemos ilustrar esta relación con un diagrama sagital, de la siguiente manera:

Diagrama Sagital de una Relación | totumat.com

Siempre es importante identificar el dominio y rango de una relación, pues así podemos identificar con mayor facilidad los elementos involucrados en las correspondencias. En este caso, tenemos que,

  • El dominio es {María, Pedro, Jerick, Laura, Fabiana}.
  • El rango es {Leer, Escribir, Sumar, Restar, Dibujar}.
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Ejemplo 4

Considere el conjunto A conformado por cuatro automóviles enumerados con 1, 2, 3 y 4. Por otra parte, consideremos el conjunto B conformado por tres colores: amarillo, azul y rojo.

Supongamos que estos automóviles deben ser pintados de uno o dos colores: el 1 es pintado de amarillo, el 2 de amarillo y azul, el 3 y 4 de rojo.

Esta correspondencia establece una relación entre el conjunto de automóviles y el conjunto colores, así, podemos expresar la relación r : A \rightarrow B como el conjunto de los siguientes pares ordenados:

r = { (1, Amarillo) ; (2, Amarillo) ; (2, Azul) ; (3, Rojo) ; (4, Rojo) }

Pero además, podemos ilustrar esta relación con un diagrama sagital, de la siguiente manera:

Diagrama Sagital de una Relación | totumat.com

Siempre es importante identificar el dominio y rango de una relación, pues así podemos identificar con mayor facilidad los elementos involucrados en las correspondencias. En este caso, tenemos que,

  • El dominio es {1,2,3,4}.
  • El rango es {Amarillo, Azul, Rojo}.

Ejemplo 5

Considere el conjunto A conformado por los números 1, 2, 3, 4, 5, 6. Por otra parte, consideremos el conjunto B conformado por los números: 1, 2, 3, 4.

Diremos que un elemento a del conjunto A está relacionado con un elemento b del conjunto B si a es un divisor de b, es decir, tal que la división \frac{b}{a} es exacta.

Esta correspondencia establece una relación entre el conjunto A y el conjunto B, así, podemos expresar la relación r : A \rightarrow B como el conjunto de los siguientes pares ordenados:

r = { (1, 1) ; (1, 2) ; (1, 3) ; (1, 4) ; (2, 2) ; (2,4) ; (3,3) ; (4,4) }

Pero además, podemos ilustrar esta relación con un diagrama sagital, de la siguiente manera:

Diagrama Sagital de una Relación | totumat.com

Siempre es importante identificar el dominio y rango de una relación, pues así podemos identificar con mayor facilidad los elementos involucrados en las correspondencias. En este caso, tenemos que,

  • El dominio es {1,2,3,4}.
  • El rango es {1,2,3,4}.

Un comentario en “Diagramas Sagitales: Relaciones

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