Grado de una función

El Grado de un Polinomio

Anteriormente hemos definido los polinomios, así que no será sorpresa definir funciones a partir de ellos. Definiremos entonces una función polinómica como una función P: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} de la siguiente forma:

polinomio de grado n

A los números a_0, a_1, a_2, \ldots , a_n los llamaremos coeficientes del polinomio, a_n será el coeficiente principal y a_0 será el término independiente.

Definimos el grado de la función polinómica P(x) como el mayor exponente n involucrado en la expresión que lo define, en algunos textos se denota con la expresión gr(P), d(P) ó deg(P).

La importancia del grado del polinomio radica en que éste determina la velocidad con la que crecerá a medida que crece la variable x y aunque aún no tenemos las herramientas para graficar otro tipo de funciones que no sean elementales, podemos anunciar que las formas gráficas de los polinomios también variarán dependiendo de su grado, consideremos las siguientes funciones:

¡El grado de una función!

La idea del grado de un polinomio se puede generalizar a cualquier tipo de funciones algebraicas. Particularmente, si consideramos las funciones que involucran radicales como la función raíz cuadrada o raíz cúbica, diremos que el grado vendrá dado el índice de la raíz. Si consideramos una función de la forma

f(x) = \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}

Entonces, diremos que su grado es \frac{1}{n}. Más aún, si P(x) es una función algebraica de grado m entonces si consideramos la función

f(x) = \sqrt[n]{P(x)}

Entonces el grado de la función f(x) es igual a \frac{m}{n}.

¿Y el grado de las funciones trascendentales?

Al considerar funciones transcendentales, particularmente la función exponencial y la función logarítmica, estas tendrán un comportamiento muy específico respecto a las funciones algebraicas:

El grado de la función exponencial será mayor que el grado de cualquier expresión algebraica, es decir, crecerá más rápido que cualquier función algebraica. Aunque en algunos textos se dice que tiene grado infinito, diremos que tiene grado exponencial.

El grado de la función logarítmica será menor que el grado de cualquier expresión función de grado positivo, es decir, crecerá más lento que cualquier función algebraica de grado positivo. Aunque en algunos textos se dice que tiene grado cero, diremos que tiene grado logarítmico.

El siguiente gráfico permite ilustrar la rapidez con la que crece una función dependiendo de su grado:

El grado de operaciones entre funciones

Es posible definir el grado de operaciones básicas entre funciones tomando las siguientes consideraciones:

El grado de la suma de dos funciones será el grado de la función con mayor grado. Formalmente, al considerar P(x) una función algebraica de grado m y Q(x) una función algebraica de grado n, con m>n, entonces el grado de f(x) \pm g(x) es igual a m.

El grado del producto de dos funciones será la suma de los grados. Formalmente, al considerar P(x) una función algebraica de grado m y Q(x) una función algebraica de grado n, entonces el grado de f(x) \cdot g(x) es igual a m + n.

El grado del cociente entre dos funciones será la resta del grado de la función en el numerador menos el grado de la función en el denominador. Formalmente, al considerar f(x) una función de grado m y g(x) \neq 0 una función de grado n, entonces el grado de \frac{f(x)}{g(x)} es igual a m - n.

Veamos con algunos ejemplos como determinar el grado de algunas funciones.

Ejemplos

Ejemplo 1

El grado de la función f(x) = x^3 + 5x^2 + 3x + 1 es igual a 3 pues el mayor grado involucrado.

Ejemplo 2

El grado de la función f(x) = \sqrt{x} + x - 8 es igual a 1 pues es el mayor grado involucrado.

Ejemplo 3

El grado de la función f(x) = \sqrt{x^3 + 2} - 3x - 8 es igual a \frac{3}{2} pues es el mayor grado involucrado.

Ejemplo 4

El grado de la función f(x) = \frac{x}{3} + 6\ln(x) es igual a 1 pues es el mayor grado involucrado.

Ejemplo 5

El grado de la función f(x) = x^5 \cdot \sqrt[3]{x-7} + 9 es igual a \frac{8}{3} pues es la suma de los grados 5 + \frac{1}{3}

Ejemplo 6

El grado de la función f(x) = 2\text{\large e}^x \cdot x + x^2 -11 es igual exponencial pues al multiplicar cualquier función por la función exponencial, su grado sigue siendo exponencial.

Ejemplo 7

El grado de la función f(x) = \frac{x + 1}{x^3 - 2} + 13 es -2 pues es la resta de los grados 1-3

Ejemplo 7

El grado de la función f(x) = \frac{7}{x} + 9\ln(x) es logarítmico pues el grado de la primera función es -1 y el grado logarítmico es mayor que cualquier grado negativo.

2 comentarios en “Grado de una función

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