Funciones

Transformación de funciones

Anthonny Arias-García4 comentarios
  1. Traslación de Funciones
    1. Traslaciones en el Eje Y
    2. Traslaciones en el Eje X
  2. Reflexión de Funciones
    1. Respecto al Eje X
    2. Respecto al Eje Y
  3. Valor Absoluto de una Función
  4. Contracción y expansión de Funciones
    1. Respecto al Eje X
    2. Respecto al Eje Y

Las funciones elementales tienen variaciones que vienen dadas cuando se altera la expresión que las define al sumar, restar, multiplicar o dividir por un escalar.

Para entender las transformaciones de funciones o alteraciones que podemos efectuar sobre una función elemental, dibujemos primero el bosquejo de la gráfica de una función a la cual le podamos efectuar las transformaciones. Consideremos f(x) una función que pasa por el origen, es decir, tal que f(0)=0 y sea a > 0 un número real. Supongamos que la gráfica de la función f(x) es la siguiente:

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Traslación de Funciones

Traslaciones en el Eje Y

Si consideramos la función f(x) + a, estamos sumando a a cada imagen de la función, gráficamente estamos trasladando la función f(x) en a unidades hacia arriba en el Eje Y de la siguiente forma:

Si consideramos la función f(x) - a, estamos restando a a cada imagen de la función, gráficamente estamos trasladando la función f(x) en a unidades hacia abajo en el Eje Y de la siguiente forma:

Notemos que hemos sumado a fuera de la función, es decir, hemos sumando a a la función como un todo. Es por esto que la traslación se ha dado en el Eje Y. Básicamente, lo que está ocurriendo es que si y=f(x) estamos graficando y \pm a. A continuación veremos una traslación que altera la imagen de la función si no las pre-imágenes de esta, es decir, los elementos del dominio.

Traslaciones en el Eje X

Para entender este tipo de traslaciones debemos tener claro el concepto de argumento de la función. Al considerar una función, cada elemento de su dominio será una pre-imagen de ésta y el argumento de la función será la expresión que define estas pre-imágenes. Veamos algunos ejemplos para entender mejor esta idea:

  • Si f(x)=x, la expresión que define el argumento de la función es x.
  • Si f(x)=x^2, estamos considerando la función cuadrática y la expresión que define el argumento es x.
  • Si f(x)=(x+1)^2, la expresión que define el argumento de esta función cuadrática es x+1. Hemos restado 1 al argumento de la función x^2.
  • Si f(x)=\sqrt{x+3}, la expresión que define el argumento de la función es x+3. Hemos sumado 3 al argumento de la función \sqrt{x}.
  • Si f(x)=\dfrac{1}{x-2}, la expresión que define el argumento de la función es x-2. Hemos restado 2 al argumento de la función \frac{1}{x}.
  • Si f(x)=\text{\rm \Large e}^{2x+7}, la expresión que define el argumento de la función es 2x+7. Hemos multiplicado por 2 y sumado 7 en el argumento de la función \text{\rm \Large e}^{x}.
  • Si f(x)=\ln(x-8), la expresión que define el argumento de la función es x-8. Hemos restado 8 al argumento de la función \ln(x).

Si consideramos la función f(x+a), estamos sumando a a cada pre-imagen de la función. Recordando que la función se anula en cero, es decir, f(0)=0. Debemos tomar en cuenta que

f(x+a)=0 \Rightarrow x + a = 0 \Rightarrow x=-a

gráficamente estamos trasladando la función f(x) hasta el punto donde se anula el argumento, esto es, en -a. Por lo que que en este caso particular, la función se traslada en a unidades hacia la izquierda en el Eje X de la siguiente forma:

Si consideramos la función f(x-a), estamos restando a a cada pre-imagen de la función. Recordando que la función se anula en cero, es decir, f(0)=0. Debemos tomar en cuenta que

f(x-a)=0 \Rightarrow x - a = 0 \Rightarrow x=a

gráficamente estamos trasladando la función f(x) hasta el punto donde se anula el argumento, esto es, en a. Por lo que que en este caso particular, la función se traslada en a unidades hacia la derecha en el Eje X de la siguiente forma:

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Reflexión de Funciones

Respecto al Eje X

Si consideramos la función -f(x), estamos multiplicando por -1 a cada imagen de la función. Por lo tanto, todas las imágenes positivas de la función pasan a ser negativas y todas las imágenes negativas de la función pasan a ser positivas, gráficamente todos los elementos que están por encima del Eje X pasan a estar por debajo y todos los elementos que están por debajo del Eje X pasan a estar por encima de la siguiente forma:

Respecto al Eje Y

Si consideramos la función f(-x), estamos multiplicando por -1 a cada imagen de la función. Por lo tanto, todas las pre-imágenes positivas de la función pasan a ser negativas y todas las pre-imágenes negativas de la función pasan a ser positivas, gráficamente todos los elementos que están a la izquierda del Eje Y pasan a estar a la derecha y todos los elementos que están a la izquierda del Eje Y pasan a estar a la izquierda de la siguiente forma:

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Valor Absoluto de una Función

Si consideramos el Valor Absoluto la función f(x), es decir, |f(x)|, debemos tomar en cuenta que

|f(x)| = f(x) \text{ si } f(x) > 0
ó
|f(x)| = -f(x) \text{ si } f(x) < 0

Por lo tanto, todas las imágenes positivas de la función permanecen positivas y todas las imágenes negativas de la función pasan a ser positivas, gráficamente todos los elementos que están por encima del Eje X permanecen inalterados y todos los elementos que están por debajo del Eje X pasan a estar por encima de la siguiente forma:

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Contracción y expansión de Funciones

Al considerar funciones, definimos un escalar simplemente como un número constante, que tal como lo dice su nombre, altera la escala de estas.

Respecto al Eje X

Si a>1, consideramos la función a \cdot f(x), estamos multiplicando por a a cada imagen de la función. Por lo tanto, esta crecerá a una velocidad a veces más rápido, haciendo que se expanda la función f(x) verticalmente de la siguiente forma:

Si a<1, consideramos la función a \cdot f(x), estamos multiplicando por a a cada imagen de la función. Por lo tanto, esta crecerá a una velocidad a veces más lento, haciendo que se contraiga la función f(x) verticalmente de la siguiente forma:

Respecto al Eje Y

Si a<1, consideramos la función f(a \cdot x), estamos multiplicando por a a cada pre-imagen de la función. Por lo tanto, esta alcanzará una imagen después de lo que la alcanzaba, haciendo que se expanda la función f(x) horizontalmente de la siguiente forma:

Si a>1, consideramos la función f(a \cdot x), estamos multiplicando por a a cada pre-imagen de la función. Por lo tanto, esta alcanzará una imagen antes de lo que la alcanzaba, haciendo que se contraiga la función f(x) horizontalmente de la siguiente forma:

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4 comentarios en “Transformación de funciones”

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