Funciones Inyectivas, Sobreyectivas y Biyectivas

Antes de profundizar sobre la composición de funciones, debemos estudiar primero las relaciones que una función f: A \longrightarrow B establece entre los elementos de A y B. Consideremos entonces algunas funciones que establecen relaciones muy particulares entre los elementos de conjuntos.

También pudiera interesarte

Anuncios

Función Inyectiva

Sea f : A \longrightarrow B una función, decimos que esta es una función inyectiva si esta establece una relación uno a uno entre los elementos de A y de B, es decir que cada elemento de Dom(f) está correspondido con único elemento de Rgo(f) y cada elemento de Rgo(f) está correspondido con un único elemento de Dom(f). Formalmente, decimos que la función f es inyectiva si para todo a,b \in A se cumple lo siguiente:

a \neq b \Longrightarrow f(a) \neq f(b)

o su contrarrecíproco que es es equivalente a:

f(a) = f(b) \Longrightarrow a = b

Ejemplos

Ejemplo 1

Si consideramos la función f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} definida como f(x)=x^2, esta función no es inyectiva, esto se debe a que al tomar de forma muy particular, los elementos 2 y -2 de su dominio, al ser estos dos elementos distintos de su dominio, también deberían ser distintas sus imágenes, pero sus imágenes son diferentes pues,

f(-2) = (-2)^2 = (-2) \cdot (-2) = 4

f(2) = (2)^2 = (2) \cdot (2) = 4


Sin embargo, podemos identificar gráficamente una función inyectiva porque cualquier recta horizontal que tracemos en el plano cartesiano, cortará a la función f en un único punto. Es por esto que este tipo de ecuaciones también se conocen como Funciones 1-1 o Funciones 1 a 1. Veamos algunos ejemplos de funciones inyectivas para entender con más claridad este concepto.

Anuncios

Ejemplos

Ejemplo 2

Si consideramos la función f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} definida como f(x)=x^2,

Ella es inyectiva pues podemos notar que cualquier recta horizontal corta a la función en exactamente un sólo punto.

Ejemplo 3

Si consideramos la función f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} definida como f(x)=x^2,

Ella no es inyectiva. Ya que al trazar una recta horizontal por el punto (0,4), notamos que esta corta a la función en dos puntos. Básicamente lo que estamos notando es que el punto 4 tiene dos preimágenes: 2 y -2.

Anuncios

Ejemplo 4

Si consideramos la función f : [0,+\infty] \longrightarrow \mathbb{R} definida como f(x)=x^2,

Ella es inyectiva pues podemos notar que cualquier recta horizontal corta a la función en exactamente un sólo punto.


Con este último ejemplo, notamos que al restringir el dominio de la función cuadrática ésta sí cumplió con las condiciones para ser inyectiva. Podemos concluir con toda confianza, que el hecho de que una función sea inyectiva o no, depende enteramente de la forma en que esté definido su dominio.

Función Sobreyectiva

Sea f : A \longrightarrow B una función, entonces f es una función sobreyectiva si todo elemento de B tiene una preimagen, es decir que Rgo(f)=B. Formalmente, f es sobreyectiva si:

Para \ todo \ b \in B, \ existe \ a \in A \ tal \ que \ f(a)=b

Identificamos gráficamente el rango de una función trazando rectas horizontales, diremos que un punto del Eje Y está en el rango de la función si la recta horizontal que pasa por dicho punto, corta a la función.

Veamos algunos ejemplos de funciones inyectivas para entender con más claridad este concepto.

Anuncios

Ejemplos

Ejemplo 5

Si consideramos la función f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} definida como f(x)=x^3,

Ella será inyectiva pues Rgo(f) = \mathbb{R}.

Ejemplo 6

Si consideramos la función f : [0,+\infty] \longrightarrow \mathbb{R} definida como f(x)=\sqrt{x},

Ella no será sobreyectiva, ya que Rgo(f) = [0,+\infty] \neq \mathbb{R}.

Ejemplo 7

Si consideramos la función f : [0,+\infty] \longrightarrow [0,+\infty] definida como f(x)=\sqrt{x},

Ella sí será inyectiva pues Rgo(f) = [0,+\infty].

Con este último ejemplo, notamos que al restringir el conjunto de llegada de la función raíz cuadrada ésta sí cumplió con las condiciones para ser sobreyectiva. Podemos concluir con toda confianza, que el hecho de que una función sea sobreyectiva o no, depende enteramente de la forma en que esté definido su rango.


Anuncios

Función Biyectiva

Diremos que la función f : A \longrightarrow B es biyectiva si esta es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo.

Ejemplos

Ejemplo 8

Si consideramos la función f: (0,+\infty) \longrightarrow \mathbb{R} definida como f(x) = \ln(x),

Ella es inyectiva pues podemos notar que cualquier recta horizontal corta a la función en exactamente un solo punto y además es sobreyectiva ya que Rgo(f) = \mathbb{R}, por lo tanto, concluimos que esta función sí es biyectiva.

Ejemplo 9

Si consideramos la función f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} definida como

Función por partes | totumat.com

A partir del valor absoluto involucrado en la función, debemos notar que esta función está definida de la siguiente forma:

  • Si x>0 entonces f(x) = \frac{x}{x} = 1.
  • Si x<0 entonces f(x) = \frac{-x}{x} = -1.
  • Si x=0 entonces f(x) = 0.

Esta función no es inyectiva, pues si consideramos dos elementos mayores que cero, digamos, 5 y 7, sus imágenes son iguales pues f(5)=1 y f(7)=1. Además, esta función no es sobreyectiva, pues el conjunto de llegada es igual a \mathbb{R} y su rango es igual a \{ -1,0,1 \}.

Por lo tanto, concluimos que esta función no es biyectiva.

Esto se puede apreciar gráficamente:

Función por partes | totumat.com

10 comentarios en “Funciones Inyectivas, Sobreyectivas y Biyectivas

  1. No he entendido lo del ejemplo 9.
    Si x<0 entonces f(x) = \frac{-x}{x} = -1
    Yo pondría el signo negativo en el denominador porque si x es negativo su valor absoluto es x y dividido entre x que es negativo da negativo. O sea que tal y como yo lo entiendo el signo menos debería de estar abajo, eso no lo entiendo aunque la conclusión sea la misma.

    Me gusta

    • Hola, klasdlasdlbasdlkhasd, gracias por su comentario. Fíjese que el valor absoluto está en el numerador de la expresión, esto quiere decir que la variable x que está en el denominador permanece inalterada. Es por esto que

      si x < 0, entonces \frac{|x|}{x} = \frac{-x}{x} = -1

      Ahora, respecto a su otra observación. Efectivamente la conclusión es la misma, esto se debe a que la Ley de los Signos también aplica para la división, esto es,

      \frac{-a}{b} = \frac{a}{-b} = -\frac{a}{b}

      Me gusta

¿Tienes dudas? ¿Necesitas más ejemplos? No dudes en escribir.

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Salir /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Salir /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Salir /  Cambiar )

Conectando a %s

Este sitio usa Akismet para reducir el spam. Aprende cómo se procesan los datos de tus comentarios.