Funciones Inyectivas, Sobreyectivas y Biyectivas

Función Inyectiva
1. Ejemplos
  1. Ejemplo 1: Función inyectiva
2. Ejemplos
Función Sobreyectiva
1. Ejemplos
Función Biyectiva
1. Ejemplos
  1. Ejemplo 8: Función inyectiva y sobreyectiva
  2. Ejemplo 9: Función no inyectiva y no sobreyectiva

Antes de profundizar sobre la composición de funciones, debemos estudiar primero las relaciones que una función $f: A \longrightarrow B$ establece entre los elementos de $A$ y $B$ . Consideremos entonces algunas funciones que establecen relaciones muy particulares entre los elementos de conjuntos.

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Función Inyectiva

Sea $f : A \longrightarrow B$ una función, decimos que esta es una función inyectiva si esta establece una relación uno a uno entre los elementos de $A$ y de $B$ , es decir que cada elemento de $Dom(f)$ está correspondido con único elemento de $Rgo(f)$ y cada elemento de $Rgo(f)$ está correspondido con un único elemento de $Dom(f)$ .

Formalmente, decimos que la función $f$ es inyectiva si para todo $a,b \in A$ se cumple lo siguiente:

$a \neq b \Longrightarrow f(a) \neq f(b)$

o su contrarrecíproco que es es equivalente a:

$f(a) = f(b) \Longrightarrow a = b$

Ejemplos

Ejemplo 1: Función inyectiva

Si consideramos la función $f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ definida como $f(x)=x^2$ , esta función no es inyectiva, esto se debe a que al tomar de forma muy particular, los elementos $2$ y $-2$ de su dominio, al ser estos dos elementos distintos de su dominio, también deberían ser distintas sus imágenes, pero sus imágenes son diferentes pues,

$f(-2) = (-2)^2 = (-2) \cdot (-2) = 4$

$f(2) = (2)^2 = (2) \cdot (2) = 4$

Sin embargo, podemos identificar gráficamente una función inyectiva porque cualquier recta horizontal que tracemos en el plano cartesiano, cortará a la función $f$ en un único punto. Es por esto que este tipo de ecuaciones también se conocen como Funciones 1-1 o Funciones 1 a 1. Veamos algunos ejemplos de funciones inyectivas para entender con más claridad este concepto.

Ejemplos

Ejemplo 2: Función inyectiva

Si consideramos la función $f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ definida como $f(x)=x^2$ ,

Ella sí es inyectiva pues podemos notar que cualquier recta horizontal corta a la función en exactamente un sólo punto.

Ejemplo 3: Función no inyectiva

Si consideramos la función $f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ definida como $f(x)=x^2$ ,

Ella no es inyectiva. Ya que al trazar una recta horizontal por el punto $(0,4)$ , notamos que esta corta a la función en dos puntos. Básicamente lo que estamos notando es que el punto 4 tiene dos preimágenes: 2 y -2.

Ejemplo 4: Función inyectiva

Si consideramos la función $f : [0,+\infty] \longrightarrow \mathbb{R}$ definida como $f(x)=x^2$ ,

Ella sí es inyectiva pues podemos notar que cualquier recta horizontal corta a la función en exactamente un sólo punto.

Con este último ejemplo, notamos que al restringir el dominio de la función cuadrática ésta sí cumplió con las condiciones para ser inyectiva. Podemos concluir con toda confianza, que el hecho de que una función sea inyectiva o no, depende enteramente de la forma en que esté definido su dominio.

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Función Sobreyectiva

Sea $f : A \longrightarrow B$ una función, entonces $f$ es una función sobreyectiva si todo elemento de $B$ tiene una preimagen, es decir que $Rgo(f)=B$ . Formalmente, $f$ es sobreyectiva si:

$Para \ todo \ b \in B, \ existe \ a \in A \ tal \ que \ f(a)=b$

Identificamos gráficamente el rango de una función trazando rectas horizontales, diremos que un punto del Eje Y está en el rango de la función si la recta horizontal que pasa por dicho punto, corta a la función.

Veamos algunos ejemplos de funciones inyectivas para entender con más claridad este concepto.

Ejemplos

Ejemplo 5: Función sobreyectiva

Si consideramos la función $f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ definida como $f(x)=x^3$ ,

Ella sí es sobreyectiva pues $Rgo(f) = \mathbb{R}$ .

Ejemplo 6: Función no sobreyectiva

Si consideramos la función $f : [0,+\infty] \longrightarrow \mathbb{R}$ definida como $f(x)=\sqrt{x}$ ,

Ella no es sobreyectiva, ya que $Rgo(f) = [0,+\infty] \neq \mathbb{R}$ .

Ejemplo 7: Función sobreyectiva

Si consideramos la función $f : [0,+\infty] \longrightarrow [0,+\infty]$ definida como $f(x)=\sqrt{x}$ ,

Ella sí es sobreyectiva pues $Rgo(f) = [0,+\infty]$ .

Con este último ejemplo, notamos que al restringir el conjunto de llegada de la función raíz cuadrada ésta sí cumplió con las condiciones para ser sobreyectiva. Podemos concluir con toda confianza, que el hecho de que una función sea sobreyectiva o no, depende enteramente de la forma en que esté definido su rango.

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Función Biyectiva

Diremos que la función $f : A \longrightarrow B$ es biyectiva si esta es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo.

Ejemplos

Ejemplo 8: Función inyectiva y sobreyectiva

Si consideramos la función $f: (0,+\infty) \longrightarrow \mathbb{R}$ definida como $f(x) = \ln(x)$ ,

Ella sí es inyectiva pues podemos notar que cualquier recta horizontal corta a la función en exactamente un solo punto y además, sí es sobreyectiva ya que $Rgo(f) = \mathbb{R}$ , por lo tanto, concluimos que esta función sí es biyectiva.

Ejemplo 9: Función no inyectiva y no sobreyectiva

Si consideramos la función $f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ definida como

A partir del valor absoluto involucrado en la función, debemos notar que esta función está definida de la siguiente forma:

Si $x>0$ entonces $f(x) = \frac{x}{x} = 1$ .
Si $x<0$ entonces $f(x) = \frac{-x}{x} = -1$ .
Si $x=0$ entonces $f(x) = 0$ .

Esta función no es inyectiva, pues si consideramos dos elementos mayores que cero, digamos, $5$ y $7$ , sus imágenes son iguales pues $f(5)=1$ y $f(7)=1$ . Además, esta función no es sobreyectiva, pues el conjunto de llegada es igual a $\mathbb{R}$ y su rango es igual a $\{ -1,0,1 \}$ .