Funciones Inyectivas, Sobreyectivas y Biyectivas.

Antes de profundizar sobre la composición de funciones, debemos estudiar primero las relaciones que una función f: A \longrightarrow B establece entre los elementos de A y B. Consideremos entonces algunas funciones que establecen relaciones muy particulares entre los elementos de conjuntos.

Función Inyectiva

Sea f : A \longrightarrow B una función, decimos que esta es una función inyectiva si esta establece una relación uno a uno entre los elementos de A y de B, es decir que cada elemento de Dom(f) está correspondido con único elemento de Rgo(f) y cada elemento de Rgo(f) está correspondido con un único elemento de Dom(f). Formalmente, decimos que la función f es inyectiva si para todo a,b \in A se cumple lo siguiente:

a \neq b \Longrightarrow f(a) \neq f(b)

o su contrarrecíproco que es es equivalente a:

f(a) = f(b) \Longrightarrow a = b

Podemos identificar gráficamente una función inyectiva porque cualquier recta horizontal que tracemos en el plano cartesiano, cortará a la función f en un único punto. Es por esto que este tipo de ecuaciones también se conocen como Funciones 1-1. Veamos algunos ejemplos de funciones inyectivas para entender con más claridad este concepto.

Ejemplo 1

Si consideramos la función f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} definida como f(x)=x^2,

Ella es inyectiva.

Ejemplo 2

Si consideramos la función f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} definida como f(x)=x^2,

Ella no es inyectiva. Ya que al trazar una recta horizontal por el punto (0,1), notamos que esta corta a la función en dos puntos. Básicamente lo que estamos notando es que el punto 4 tiene dos preimágenes: 2 y -2.

Ejemplo 3

Si consideramos la función f : [0,+\infty] \longrightarrow \mathbb{R} definida como f(x)=x^2,

Ella sí es inyectiva.

Con este último ejemplo, notamos que al restringir el dominio de la función cuadrática ésta sí cumplió con las condiciones para ser inyectiva. Podemos concluir con toda confianza, que el hecho de que una función sea inyectiva o no, depende enteramente de la forma en que esté definido su dominio.

Función Sobreyectiva

Sea f : A \longrightarrow B una función, entonces f es una función sobreyectiva si todo elemento de B tiene una preimagen, es decir que Rgo(f)=B. Formalmente, f es sobreyectiva si:

Para \ todo \ b \in B, \ existe \ a \in A \ tal \ que \ f(a)=b

Veamos algunos ejemplos de funciones inyectivas para entender con más claridad este concepto.

Ejemplo 1

Si consideramos la función f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} definida como f(x)=x^3,

Ella será inyectiva pues Rgo(f) = \mathbb{R}.

Ejemplo 2

Si consideramos la función f : [0,+\infty] \longrightarrow \mathbb{R} definida como f(x)=\sqrt{x},

Ella no será sobreyectiva, ya que Rgo(f) = [0,+\infty] \neq \mathbb{R}.

Ejemplo 3

Si consideramos la función f : [0,+\infty] \longrightarrow [0,+\infty] definida como f(x)=\sqrt{x},

Ella sí será inyectiva pues $Rgo(f) = [0,+\infty]$.

Con este último ejemplo, notamos que al restringir el rango de la función raíz cuadrada ésta sí cumplió con las condiciones para ser sobreyectiva. Podemos concluir con toda confianza, que el hecho de que una función sea sobreyectiva o no, depende enteramente de la forma en que esté definido su rango.

Función Biyectiva

Diremos que la función f : A \longrightarrow B es biyectiva si esta es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo.

Por ejemplo, si consideramos la función f: (0,+\infty) \longrightarrow \mathbb{R} definida como f(x) = \ln(x),

Esta función es inyectiva y además es sobreyectiva, por lo tanto, es biyectiva.

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