Puntos de corte de una función con los ejes

Al estudiar la gráfica de una función real, notamos que hay puntos en los cuales la función pasa por encima de los ejes del plano cartesiano, estos son conocidos como los puntos de corte de la función con los ejes y se pueden calcular de forma analítica fijando condiciones sobre la forma en que está definida la función. Veamos cuales son las condiciones para los distintos ejes.

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Punto de corte con el Eje Y

Para calcular el punto de corte con el Eje Y, debemos notar primero que todos los puntos que pertenecen al Eje Y, son de la forma (0,y) donde y puede ser cualquier número real, entonces el punto de corte de la función con este eje debe cumplir con esta condición.

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Formalmente, si consideramos una función f(x) tal que x=0 es un elemento de su dominio, entonces calculamos el punto de corte con el Eje Y evaluando la función en x=0, es decir, calculando

f(0)

Recordando que una función es una regla de correspondencia que corresponde a cada elemento de su dominio con un único elemento en el rango, podemos concluir que una función tendrá a lo sumo un solo punto de corte con el Eje Y.

Veamos con algunos ejemplos como calcular los puntos de corte con el Eje Y.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la función lineal f(x)=3x-1, determine el punto de corte de esta función con el Eje Y.

Para determinar el punto de corte con el Eje Y, basta con evaluar la función en x=0, entonces,

f(0) = 3(0)-1 = 0 - 1 = -1

En conclusión, la función f(x) corta al Eje Y en el punto (0,-1). Esto se puede apreciar al observar su gráfica

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Ejemplo 2

Considerando la función cuadrática f(x)=-(x+1)^2+4, determine el punto de corte de esta función con el Eje Y.

Para determinar el punto de corte con el Eje Y, basta con evaluar la función en x=0, entonces,

f(0) = -(0+1)^2+4 = -1 + 4 = 3

En conclusión, la función f(x) corta al Eje Y en el punto (0,3). Esto se puede apreciar al observar su gráfica

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Ejemplo 3

Considerando la función exponencial f(x)=\frac{1}{3}\textit{\Large e}^{x+2}-1, determine el punto de corte de esta función con el Eje Y.

Para determinar el punto de corte con el Eje Y, basta con evaluar la función en x=0, entonces,

f(0) = \frac{1}{3}\textit{\Large e}^{0+2} - 1 = \frac{\textit{\Large e}^{2}}{3} - 1 = \frac{\textit{\Large e}^{2}-3}{3}

En conclusión, la función f(x) corta al Eje Y en el punto \left(0,\frac{3}{2}\right). Esto se puede apreciar al observar su gráfica

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Ejemplo 4

Considerando la función radical f(x)= \sqrt{x - 4} + 2, determine el punto de corte de esta función con el Eje Y.

Esta función no tiene punto de corte con el Eje Y, pues el punto x=0 no está en su dominio. Esto se puede apreciar al observar su gráfica

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Puntos de corte con el Eje X

Para calcular los puntos de corte con el Eje X, debemos notar primero que todos los puntos que pertenecen al Eje X, son de la forma (x,0) donde x puede ser cualquier número real, entonces el punto de corte de la función con este eje debe cumplir con esta condición.

Puntos de corte con el Eje X | totumat.com

Formalmente, si consideramos una función f(x), entonces calculamos el punto de corte con el Eje X verificando para cuales valores de x la función se anula, es decir, calculando los valores de x para los cuales

f(x) = 0

Veamos con algunos ejemplos como calcular los puntos de corte con el Eje X.

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Ejemplos

Ejemplo 5

Considerando la función lineal f(x)=3x-1, determine el punto de corte de esta función con el Eje X.

Para determinar el punto de corte con el Eje X, calculemos los valores de x para los cuales f(x)=0, entonces,

f(x) = 0

\ \Rightarrow \ 3x-1 = 0

\ \Rightarrow \ 3x=1

\ \Rightarrow \ x = \frac{1}{3}

En conclusión, la función f(x) corta al Eje X en el punto \left( \frac{1}{3},0 \right). Esto se puede apreciar al observar su gráfica

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Ejemplo 6

Considerando la función cuadrática f(x)=-(x+1)^2+4, determine el punto de corte de esta función con el Eje X.

Para determinar el punto de corte con el Eje X, calculemos los valores de x para los cuales f(x)=0, entonces,

f(x) = 0

\ \Rightarrow \ -(x+1)^2+4 = 0

\ \Rightarrow \ -(x+1)^2 = -4

\ \Rightarrow \ (x+1)^2 = 4

\ \Rightarrow \ \sqrt{(x+1)^2} = \sqrt{4}

\ \Rightarrow \ |x+1| = 2

A partir de esta última igualdad, podemos considerar dos casos: x+1=2 ó x+1=-2, por lo tanto, x=1 ó x=-3.

En conclusión, la función f(x) corta al Eje X en los puntos \left( 1,0 \right) y \left( -3,0 \right). Esto se puede apreciar al observar su gráfica

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Nota: Es importante conocer las funciones inversas, notemos que en este caso se usó la función raíz cuadrada para poder despejar la variable x cuando esta se encuentra involucrada en una expresión cuadrática.

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Ejemplo 7

Considerando la función exponencial f(x)=\frac{1}{3}\textit{\Large e}^{x+2}-1, determine el punto de corte de esta función con el Eje X.

Para determinar el punto de corte con el Eje X, calculemos los valores de x para los cuales f(x)=0, entonces,

f(x) = 0

\ \Rightarrow \ \frac{1}{3}\textit{\Large e}^{x+2}-1 = 0

\ \Rightarrow \ \frac{1}{3}\textit{\Large e}^{x+2} = 1

\ \Rightarrow \ \textit{\Large e}^{x+2} = 3

\ \Rightarrow \ \ln\left( \textit{\Large e}^{x+2} \right) = \ln(3)

\ \Rightarrow \ x+2 = \ln(3)

\ \Rightarrow \ x = \ln(3) -2

En conclusión, la función f(x) corta al Eje X en el punto \left( \ln(3) -2,0 \right). Esto se puede apreciar al observar su gráfica

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Nota: Es importante conocer las funciones inversas, notemos que en este caso se usó la función logaritmo neperiano para poder despejar la variable x cuando esta se encuentra involucrada en una expresión exponencial.

Ejemplo 8

Considerando la función radical f(x)= \sqrt{x - 4} + 2, determine el punto de corte de esta función con el Eje X.

Esta función no tiene punto de corte con el Eje X, pues el punto y=0 no está en su rango. Esto se puede apreciar al observar su gráfica

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Funciones Inyectivas, Sobreyectivas y Biyectivas

Antes de profundizar sobre la composición de funciones, debemos estudiar primero las relaciones que una función f: A \longrightarrow B establece entre los elementos de A y B. Consideremos entonces algunas funciones que establecen relaciones muy particulares entre los elementos de conjuntos.

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Función Inyectiva

Sea f : A \longrightarrow B una función, decimos que esta es una función inyectiva si esta establece una relación uno a uno entre los elementos de A y de B, es decir que cada elemento de Dom(f) está correspondido con único elemento de Rgo(f) y cada elemento de Rgo(f) está correspondido con un único elemento de Dom(f). Formalmente, decimos que la función f es inyectiva si para todo a,b \in A se cumple lo siguiente:

a \neq b \Longrightarrow f(a) \neq f(b)

o su contrarrecíproco que es es equivalente a:

f(a) = f(b) \Longrightarrow a = b

Ejemplos

Ejemplo 1

Si consideramos la función f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} definida como f(x)=x^2, esta función no es inyectiva, esto se debe a que al tomar de forma muy particular, los elementos 2 y -2 de su dominio, al ser estos dos elementos distintos de su dominio, también deberían ser distintas sus imágenes, pero sus imágenes son diferentes pues,

f(-2) = (-2)^2 = (-2) \cdot (-2) = 4

f(2) = (2)^2 = (2) \cdot (2) = 4


Sin embargo, podemos identificar gráficamente una función inyectiva porque cualquier recta horizontal que tracemos en el plano cartesiano, cortará a la función f en un único punto. Es por esto que este tipo de ecuaciones también se conocen como Funciones 1-1 o Funciones 1 a 1. Veamos algunos ejemplos de funciones inyectivas para entender con más claridad este concepto.

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Ejemplos

Ejemplo 2

Si consideramos la función f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} definida como f(x)=x^2,

Ella es inyectiva pues podemos notar que cualquier recta horizontal corta a la función en exactamente un sólo punto.

Ejemplo 3

Si consideramos la función f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} definida como f(x)=x^2,

Ella no es inyectiva. Ya que al trazar una recta horizontal por el punto (0,4), notamos que esta corta a la función en dos puntos. Básicamente lo que estamos notando es que el punto 4 tiene dos preimágenes: 2 y -2.

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Ejemplo 4

Si consideramos la función f : [0,+\infty] \longrightarrow \mathbb{R} definida como f(x)=x^2,

Ella es inyectiva pues podemos notar que cualquier recta horizontal corta a la función en exactamente un sólo punto.


Con este último ejemplo, notamos que al restringir el dominio de la función cuadrática ésta sí cumplió con las condiciones para ser inyectiva. Podemos concluir con toda confianza, que el hecho de que una función sea inyectiva o no, depende enteramente de la forma en que esté definido su dominio.

Función Sobreyectiva

Sea f : A \longrightarrow B una función, entonces f es una función sobreyectiva si todo elemento de B tiene una preimagen, es decir que Rgo(f)=B. Formalmente, f es sobreyectiva si:

Para \ todo \ b \in B, \ existe \ a \in A \ tal \ que \ f(a)=b

Identificamos gráficamente el rango de una función trazando rectas horizontales, diremos que un punto del Eje Y está en el rango de la función si la recta horizontal que pasa por dicho punto, corta a la función.

Veamos algunos ejemplos de funciones inyectivas para entender con más claridad este concepto.

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Ejemplos

Ejemplo 5

Si consideramos la función f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} definida como f(x)=x^3,

Ella será inyectiva pues Rgo(f) = \mathbb{R}.

Ejemplo 6

Si consideramos la función f : [0,+\infty] \longrightarrow \mathbb{R} definida como f(x)=\sqrt{x},

Ella no será sobreyectiva, ya que Rgo(f) = [0,+\infty] \neq \mathbb{R}.

Ejemplo 7

Si consideramos la función f : [0,+\infty] \longrightarrow [0,+\infty] definida como f(x)=\sqrt{x},

Ella sí será inyectiva pues Rgo(f) = [0,+\infty].

Con este último ejemplo, notamos que al restringir el conjunto de llegada de la función raíz cuadrada ésta sí cumplió con las condiciones para ser sobreyectiva. Podemos concluir con toda confianza, que el hecho de que una función sea sobreyectiva o no, depende enteramente de la forma en que esté definido su rango.


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Función Biyectiva

Diremos que la función f : A \longrightarrow B es biyectiva si esta es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo.

Ejemplos

Ejemplo 8

Si consideramos la función f: (0,+\infty) \longrightarrow \mathbb{R} definida como f(x) = \ln(x),

Ella es inyectiva pues podemos notar que cualquier recta horizontal corta a la función en exactamente un solo punto y además es sobreyectiva ya que Rgo(f) = \mathbb{R}, por lo tanto, concluimos que esta función sí es biyectiva.

Ejemplo 9

Si consideramos la función f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} definida como

Función por partes | totumat.com

A partir del valor absoluto involucrado en la función, debemos notar que esta función está definida de la siguiente forma:

  • Si x>0 entonces f(x) = \frac{x}{x} = 1.
  • Si x<0 entonces f(x) = \frac{-x}{x} = -1.
  • Si x=0 entonces f(x) = 0.

Esta función no es inyectiva, pues si consideramos dos elementos mayores que cero, digamos, 5 y 7, sus imágenes son iguales pues f(5)=1 y f(7)=1. Además, esta función no es sobreyectiva, pues el conjunto de llegada es igual a \mathbb{R} y su rango es igual a \{ -1,0,1 \}.

Por lo tanto, concluimos que esta función no es biyectiva.

Esto se puede apreciar gráficamente:

Función por partes | totumat.com

Las funciones elementales

En las matemáticas, existen funciones muy particulares que sientan la base para definir otras funciones más complejas, a este conjunto de funciones se les llama Funciones Elementales. Veamos entonces cada una de estas, definiendo su dominio más grande y su rango. Además, veremos la representación gráfica de éstas en el plano cartesiano.

Identificaremos visualmente el dominio de una función trazando rectas verticales imaginarias por todo el plano cartesiano, diremos que un punto está en el dominio si una recta corta a la curva que define la función f y al Eje X al mismo tiempo.

De igual forma identificaremos visualmente el rango de una función trazando rectas horizontales imaginarias por todo el plano cartesiano, diremos que un punto está en el rango si una recta corta a la función f y al Eje Y al mismo tiempo.

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Empezaremos estudiando todas las funciones que se pueden expresar de forma general como f(x) = x^q, con q \in \mathbb{Q}. A este tipo de funciones las llamaremos Funciones Algebraicas.

Funciones Algebraicas

Función Identidad

Definimos la función identidad como una regla que corresponde a cada número real con él mismo, es decir, que identifica a cada número real. Formalmente, la definimos como

f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)=x

Dom(f) = \mathbb{R}

Rgo(f) = \mathbb{R}

En ocasiones denotaremos esta función con la letra I, de la siguiente forma I(x)=x.

Función Cuadrática

También se conoce como parábola y corresponde a cada número real con él mismo pero elevado al cuadrado. Formalmente, la definimos como

f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)=x^2

Dom(f) = \mathbb{R}

Rgo(f) = [0,+\infty]

En general, cualquier función de la forma f(x)=x^n con n par, tendrá la misma forma, salvo que mientras más grande sea el valor de n, más rápido crecerá la función para los valores de x tales que |x|>1 y más lento crecerá para los valores de x tales que |x|<1.

Función Cúbica

Corresponde a cada número real con él mismo pero elevado al cubo. Formalmente, la definimos como

f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)=x^3

Dom(f) = \mathbb{R}

Rgo(f) = \mathbb{R}

En general, cualquier función de la forma f(x)=x^n con n impar, tendrá la misma forma, salvo que mientras más grande sea el valor de n, más rápido crecerá la función para los valores de x tales que |x|>1 y más lento crecerá para los valores de x tales que |x|<1.

Función de proporcionalidad inversa

Esta función también se conoce como hipérbola y corresponde a cada número real con la x-ésima parte de 1, imagine que usted tiene una torta y desea repartirla toda entre x personas, entonces le da a cada persona un pedazo de tamaño \frac{1}{x}. Mientras mayor sea la cantidad de personas, más pequeño es el pedazo que le corresponde a cada una y mientras menor sea la cantidad de personas, más grande es el pedazo que le corresponde a cada una. Formalmente, la definimos como

f: \mathbb{R}-\{0\} \rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)=\frac{1}{x}

Dom(f) = \mathbb{R}-{0}

Rgo(f) = \mathbb{R}-{0}

Notemos que por más grande que sea el valor de x, la función nunca es igual a cero por lo tanto nunca corta al Eje X. De igual forma por más pequeño que sea el valor de x la función nunca es igual a infinito por lo tanto la función nunca corta al Eje Y.

En general, cualquier función de la forma f(x)=\frac{1}{x^n} con n impar, tendrá la misma forma, salvo que mientras más grande sea el valor de n, más rápido decrecerá la función para los valores de x tales que |x|>1 y más rápido crecerá para los valores de x tales que |x|<1.

Hay que destacar otra función íntimamente relacionada con la función de proporcionalidad inversa, y es que si elevamos ésta al cuadrado, obtendremos la función \frac{1}{x^2}, es muy parecida a la función \frac{1}{x}, salvo que esta es positiva cuando los valores de x son negativos y además. Formalmente, la definimos como

f: \mathbb{R}-\{0\} \rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)=\frac{1}{x^2}

Dom(f) = \mathbb{R}-{0}

Rgo(f) = (0,\infty)

Notemos que por más grande que sea el valor de x, la función nunca es igual a cero por lo tanto nunca corta al Eje X. De igual forma por más pequeño que sea el valor de x la función nunca es igual a infinito por lo tanto la función nunca corta al Eje Y.

En general, cualquier función de la forma f(x)=\frac{1}{x^n} con n par, tendrá la misma forma, salvo que mientras más grande sea el valor de n, más rápido decrecerá la función para los valores de x tales que |x|>1 y más rápido crecerá para los valores de x tales que |x|<1.

Función Raíz Cuadrada

La raíz cuadrada de un número x se define como un número que multiplicado por él mismo es igual a x y se denota por \sqrt{x}. Notemos que no tiene sentido definir la raíz cuadrada de un número negativo pues no existe un número que multiplicado por él mismo sea negativo. Formalmente, definimos esta función como

f: [0,+\infty] \rightarrow [0,+\infty], \ f(x)=\sqrt{x}

Dom(f) = [0,+\infty)

Rgo(f) = [0,+\infty)

En general, cualquier función de la forma f(x)=\sqrt[n]{x} con n par, tendrá la misma forma, salvo que mientras más grande sea el valor de n, más lento crecerá la función para los valores de x tales que |x|>1 y más rápido crecerá para los valores de x tales que |x|<1.

Función Raíz Cúbica

La raíz cúbica de un número x se define como un número que multiplicado tres veces por él mismo es igual a x y se denota por \sqrt[3]{x}. Contrario a la raíz cuadrada, en este caso sí tiene sentido definir la raíz cúbica de un número negativo. Formalmente, definimos esta función como

f: [0,+\infty] \rightarrow [0,+\infty], \ f(x)=\sqrt{x}

Dom(f) = \mathbb{R}

Rgo(f) = \mathbb{R}

En general, cualquier función de la forma f(x)=\sqrt[n]{x} con n impar, tendrá la misma forma, salvo que mientras más grande sea el valor de n, más lento crecerá la función para los valores de x tales que |x|>1 y más rápido crecerá para los valores de x tales que |x|<1.


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Funciones Trascendentes

Consideremos ahora un tipo de funciones que no se pueden expresar de la forma x^n donde n es un número natural, las llamaremos Funciones Trascendentes. Veremos a continuación las funciones trascendentales más comunes en la aplicación de las matemáticas.

Función Exponencial

Si a es un número real, definimos su n-ésima potencia como el producto de a multiplicado por él mismo n veces, donde n es un número natural, y lo denotamos la siguiente forma:

a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n-veces}

Consideremos algunas propiedades de las potencias que nos permitirán entender el comportamiento de esta función:

  • a^0 = 1
  • a^1 = a
  • a^{-1} = \dfrac{1}{a}, \ a \neq 0
  • a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}, \ a \neq 0

Definimos la función exponencial como f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)=a^x. Notemos que el exponente puede ser cualquier número real. Generalmente se define considerando a=\text{\Large e}, que es el Número de Euler o Constante de Neper, éste es aproximadamente 2.71828182846\ldots. Graficamos la función f(x)=\text{\Large e}^{x} de la siguiente forma:

Dom(f) = \mathbb{R}

Rgo(f) = (0,+\infty)

Note que cuando x adquiere valores muy grandes en los números negativos, la función exponencial se hace muy pequeña, sin embargo, nunca es igual a cero y por lo tanto, nunca toca al Eje X.

Función Logarítmica

Si a un número natural, b un número positivo y c un número real. Entonces definimos el logaritmo base a como una equivalencia de ecuaciones de la siguiente forma:

\log_a(b) = c \Longleftrightarrow a^c = b

Consideremos algunas propiedades de los logaritmos que nos permitirán entender el comportamiento de esta función:

  • \log_a(1) = 0
  • \log_a(a) = 1
  • \log_a(a^n) = n

Se define entonces la función logaritmo base b de x como f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)= \log_b(x). Al escribir \log(x) se sobre entiende que es el logaritmo base 10 de x. Generalmente se usa la Función Logaritmo Neperiano que está definida como f(x)=\log_\text{e}(x) y su notación es f(x)=\ln(x). Graficamos la función logaritmo neperiano de la siguiente forma:

Dom(f) = (0,+\infty)

Rgo(f) = \mathbb{R}

Note que cuando x adquiere valores muy pequeños, la función logarítmica se hace muy pequeña, sin embargo, nunca toca al Eje Y.


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Funciones Trigonométricas

Las siguientes funciones trascendentales relacionan de forma íntima el radio de una circunferencia y el ángulo de éste respecto al Eje X, a este tipo de funciones las llamaremos Funciones Trigonométricas. Antes de definirlas, estudiemos con detenimiento un círculo de radio igual a 1 que está centrado en el origen, que llamaremos El Círculo Unitario.

Notemos que en el círculo unitario podemos definir un triángulo rectángulo donde su hipotenusa es justamente el radio del círculo. Considerando el ángulo que forma el radio con el Eje X, diremos que el cateto que se encuentra adosado a este ángulo es el cateto adyacente y el cateto que se encuentra en lado opuesto a este ángulo es el cateto opuesto. Entonces, tomando en cuenta que \pi es el número que se obtiene al dividir la longitud de una circunferencia por su diámetro, éste representará (en radianes) un ángulo de 180 grados, definimos las siguientes relaciones:

Función Seno

Definimos el seno del ángulo \alpha como el cociente del cateto opuesto entre la hipotenusa del triángulo que hemos expuesto en el círculo unitario. Sentando base en esta relación, definimos formalmente esta función como

f: \mathbb{R} \rightarrow [-1,1], \ f(x) = sen(x)

Dom(f) = \mathbb{R}

Rgo(f) = [-1,1]

Note que esta función repetirá el mismo ciclo en cada intervalo de longitud 2\pi durante todo su dominio.

Función Coseno

Definimos el coseno del ángulo \alpha como el cociente del cateto adyacente sobre la hipotenusa del triángulo que hemos expuesto en el círculo unitario. Sentando base en esta relación, definimos formalmente esta función como

f: \mathbb{R} \rightarrow [-1,1], \ f(x) = cos(x)

Dom(f) = \mathbb{R}

Rgo(f) = [-1,1]

Note que esta función es igual a cero para los valores de x tales que x=(2k+1) \cdot \frac{\pi}{2}, además repetirá el mismo ciclo en cada intervalo de longitud 2\pi durante todo su dominio.

Función Tangente

Definimos la tangente del ángulo \alpha como el cociente del cateto opuesto sobre el cateto adyacente del triángulo que hemos expuesto en el círculo unitario, que será también el cociente del seno de \alpha entre el coseno de \alpha. Sentando base en esta relación, definimos formalmente esta función como

f: Dom(f) \rightarrow [-1,1], \ f(x) = tan(x)

Dom(f) = \{ x : x \neq  (2k+1) \cdot \frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{N} \}

Rgo(f) = [-1,1]

Note que a medida que esta función se acerca a -\frac{\pi}{2} esta decrece hacia menos infinito, por lo que nunca toca al eje x=-\frac{\pi}{2}, por otra parte a medida que se acerca a \frac{\pi}{2} esta crece hacia el infinito, es por esto que esta función nunca toca al eje x=\frac{\pi}{2}. Esta función repetirá el mismo ciclo en todo su dominio entre cada dos números consecutivos de la forma x=(2k+1) \cdot \frac{\pi}{2}, donde k es un número entero.