Las funciones elementales

En las matemáticas, existen funciones muy particulares que sientan la base para definir otras funciones más complejas, a este conjunto de funciones se les llama Funciones Elementales. Veamos entonces cada una de estas, definiendo su dominio más grande y su rango. Además, veremos la representación gráfica de éstas en el plano cartesiano.

Visualmente, identificamos el dominio de una función trazando rectas verticales imaginarias en todo el plano cartesiano, diremos que un punto está en el dominio si una recta corta a la curva que define la función $f$ y al Eje X al mismo tiempo.

Visualmente, identificamos el rango de una función trazando rectas horizontales imaginarias en todo el plano cartesiano, diremos que un punto está en el rango si una recta corta a la función $f$ y al Eje Y al mismo tiempo.

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Empezaremos estudiando todas las funciones que se pueden expresar de forma general como $f(x) = x^q$ , con $q \in \mathbb{Q}$ . A este tipo de funciones las llamaremos Funciones Algebraicas.

Funciones Algebraicas

Función Identidad

Definimos la función identidad como una regla que corresponde a cada número real con él mismo, es decir, que identifica a cada número real. Formalmente, la definimos como

$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)=x$

$Dom(f) = \mathbb{R}$

$Rgo(f) = \mathbb{R}$

En ocasiones denotaremos esta función con la letra $I$ , de la siguiente forma $I(x)=x$ .

Función Cuadrática

También se conoce como parábola y corresponde a cada número real con él mismo pero elevado al cuadrado. Formalmente, la definimos como

$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)=x^2$

$Dom(f) = \mathbb{R}$

$Rgo(f) = [0,+\infty]$

En general, cualquier función de la forma $f(x)=x^n$ con $n$ par, tendrá la misma forma, salvo que mientras más grande sea el valor de $n$ , más rápido crecerá la función para los valores de $x$ tales que $|x|>1$ y más lento crecerá para los valores de $x$ tales que $|x|<1$ .

Función Cúbica

Corresponde a cada número real con él mismo pero elevado al cubo. Formalmente, la definimos como

$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)=x^3$

$Dom(f) = \mathbb{R}$

$Rgo(f) = \mathbb{R}$

En general, cualquier función de la forma $f(x)=x^n$ con $n$ impar, tendrá la misma forma, salvo que mientras más grande sea el valor de $n$ , más rápido crecerá la función para los valores de $x$ tales que $|x|>1$ y más lento crecerá para los valores de $x$ tales que $|x|<1$ .

Función de proporcionalidad inversa

Esta función también se conoce como hipérbola y corresponde a cada número real $x$ con la $x$ -ésima parte de $1$ .

Imagine que usted tiene una torta y desea repartirla toda entre $x$ personas, entonces le da a cada persona un pedazo de tamaño $\frac{1}{x}$ . Mientras mayor sea la cantidad de personas, más pequeño es el pedazo que le corresponde a cada una y mientras menor sea la cantidad de personas, más grande es el pedazo que le corresponde a cada una.

Formalmente, la definimos como

$f: \mathbb{R}-\{0\} \rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)=\frac{1}{x}$

$Dom(f) = \mathbb{R}-\{0\}$

$Rgo(f) = \mathbb{R}-\{0\}$

Notemos que por más grande que sea el valor de $x$ , la función nunca es igual a cero, por lo tanto nunca corta al Eje X. De igual forma por más pequeño que sea el valor de $x$ la función nunca es igual a infinito por lo tanto la función nunca corta al Eje Y.

En general, cualquier función de la forma $f(x)=\frac{1}{x^n}$ con $n$ impar, tendrá la misma forma.

Hay que destacar otra función íntimamente relacionada con la función de proporcionalidad inversa, y es que si elevamos ésta al cuadrado, obtendremos la función $\frac{1}{x^2}$ , es muy parecida a la función $\frac{1}{x}$ , salvo que ésta es positiva cuando los valores de $x$ son negativos. Formalmente, la definimos como

$f: \mathbb{R}-\{0\} \rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)=\frac{1}{x^2}$

$Dom(f) = \mathbb{R}-\{0\}$

$Rgo(f) = (0,\infty)$

Notemos que por más grande que sea el valor de $x$ , la función nunca es igual a cero por lo tanto nunca corta al Eje X. De igual forma por más pequeño que sea el valor de $x$ la función nunca es igual a infinito por lo tanto la función nunca corta al Eje Y.

En general, cualquier función de la forma $f(x)=\frac{1}{x^n}$ con $n$ par, tendrá la misma forma, salvo que mientras más grande sea el valor de $n$ , más rápido decrecerá la función para los valores de $x$ tales que $|x|>1$ y más rápido crecerá para los valores de $x$ tales que $|x|<1$ .

Función Raíz Cuadrada

La raíz cuadrada de un número $x$ se define como un número que multiplicado por él mismo es igual a $x$ y se denota por $\sqrt{x}$ . Notemos que no tiene sentido definir la raíz cuadrada de un número negativo pues no existe un número que multiplicado por él mismo sea negativo. Formalmente, definimos esta función como

$f: [0,+\infty] \rightarrow [0,+\infty], \ f(x)=\sqrt{x}$

$Dom(f) = [0,+\infty)$

$Rgo(f) = [0,+\infty)$

En general, cualquier función de la forma $f(x)=\sqrt[n]{x}$ con $n$ par, tendrá la misma forma, salvo que mientras más grande sea el valor de $n$ , más lento crecerá la función para los valores de $x$ tales que $|x|>1$ y más rápido crecerá para los valores de $x$ tales que $|x|<1$ .

Función Raíz Cúbica

La raíz cúbica de un número $x$ se define como un número que multiplicado tres veces por él mismo es igual a $x$ y se denota por $\sqrt[3]{x}$ . Contrario a la raíz cuadrada, en este caso sí tiene sentido definir la raíz cúbica de un número negativo. Formalmente, definimos esta función como

$f: [0,+\infty] \rightarrow [0,+\infty], \ f(x)=\sqrt{x}$

$Dom(f) = \mathbb{R}$

$Rgo(f) = \mathbb{R}$

En general, cualquier función de la forma $f(x)=\sqrt[n]{x}$ con $n$ impar, tendrá la misma forma, salvo que mientras más grande sea el valor de $n$ , más lento crecerá la función para los valores de $x$ tales que $|x|>1$ y más rápido crecerá para los valores de $x$ tales que $|x|<1$ .

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Funciones Trascendentes

Consideremos ahora un tipo de funciones que no se pueden expresar de la forma $x^n$ donde $n$ es un número natural, las llamaremos Funciones Trascendentes. Veremos a continuación las funciones trascendentales más comunes en la aplicación de las matemáticas.

Función Exponencial

Si $a$ es un número real, definimos su n-ésima potencia como el producto de $a$ multiplicado por él mismo $n$ veces, donde $n$ es un número natural, y lo denotamos la siguiente forma:

$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n-veces}$

Consideremos algunas propiedades de las potencias que nos permitirán entender el comportamiento de esta función:

$a^0 = 1$
$a^1 = a$
$a^{-1} = \dfrac{1}{a}, \ a \neq 0$
$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}, \ a \neq 0$

Definimos la función exponencial como $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)=a^x$ . Notemos que el exponente puede ser cualquier número real. Generalmente se define considerando $a=\text{\Large e}$ , que es el Número de Euler o Constante de Neper, éste es aproximadamente $2.71828182846\ldots$ . Graficamos la función $f(x)=\text{\Large e}^{x}$ de la siguiente forma:

$Dom(f) = \mathbb{R}$

$Rgo(f) = (0,+\infty)$

Note que cuando $x$ adquiere valores muy grandes en los números negativos, la función exponencial se hace muy pequeña, sin embargo, nunca es igual a cero y por lo tanto, nunca toca al Eje X.

Función Logarítmica

Si $a$ un número natural, $b$ un número positivo y $c$ un número real. Entonces definimos el logaritmo base $a$ como una equivalencia de ecuaciones de la siguiente forma:

$\log_a(b) = c \Longleftrightarrow a^c = b$

Consideremos algunas propiedades de los logaritmos que nos permitirán entender el comportamiento de esta función:

$\log_a(1) = 0$
$\log_a(a) = 1$
$\log_a(a^n) = n$

Se define entonces la función logaritmo base $b$ de $x$ como $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)= \log_b(x)$ . Al escribir $\log(x)$ se sobre entiende que es el logaritmo base 10 de $x$ . Generalmente se usa la Función Logaritmo Neperiano que está definida como $f(x)=\log_\text{e}(x)$ y su notación es $f(x)=\ln(x)$ . Graficamos la función logaritmo neperiano de la siguiente forma:

$Dom(f) = (0,+\infty)$

$Rgo(f) = \mathbb{R}$

Note que cuando $x$ adquiere valores muy pequeños, la función logarítmica se hace muy pequeña, sin embargo, nunca toca al Eje Y.

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Funciones Trigonométricas

Las siguientes funciones trascendentales relacionan de forma íntima el radio de una circunferencia y el ángulo de éste respecto al Eje X, a este tipo de funciones las llamaremos Funciones Trigonométricas. Antes de definirlas, estudiemos con detenimiento un círculo de radio igual a 1 que está centrado en el origen, que llamaremos El Círculo Unitario.

Notemos que en el círculo unitario podemos definir un triángulo rectángulo donde su hipotenusa es justamente el radio del círculo. Considerando el ángulo que forma el radio con el Eje X, diremos que el cateto que se encuentra adosado a este ángulo es el cateto adyacente y el cateto que se encuentra en lado opuesto a este ángulo es el cateto opuesto. Entonces, tomando en cuenta que $\pi$ es el número que se obtiene al dividir la longitud de una circunferencia por su diámetro, éste representará (en radianes) un ángulo de 180 grados, definimos las siguientes relaciones:

Función Seno

Definimos el seno del ángulo $\alpha$ como el cociente del cateto opuesto entre la hipotenusa del triángulo que hemos expuesto en el círculo unitario. Sentando base en esta relación, definimos formalmente esta función como

$f: \mathbb{R} \rightarrow [-1,1], \ f(x) = sen(x)$

$Dom(f) = \mathbb{R}$

$Rgo(f) = [-1,1]$

Note que esta función repetirá el mismo ciclo en cada intervalo de longitud $2\pi$ durante todo su dominio.

Función Coseno

Definimos el coseno del ángulo $\alpha$ como el cociente del cateto adyacente sobre la hipotenusa del triángulo que hemos expuesto en el círculo unitario. Sentando base en esta relación, definimos formalmente esta función como

$f: \mathbb{R} \rightarrow [-1,1], \ f(x) = cos(x)$

$Dom(f) = \mathbb{R}$

$Rgo(f) = [-1,1]$

Note que esta función es igual a cero para los valores de $x$ tales que $x=(2k+1) \cdot \frac{\pi}{2}$ , además repetirá el mismo ciclo en cada intervalo de longitud $2\pi$ durante todo su dominio.

Función Tangente

Definimos la tangente del ángulo $\alpha$ como el cociente del cateto opuesto sobre el cateto adyacente del triángulo que hemos expuesto en el círculo unitario, que será también el cociente del seno de $\alpha$ entre el coseno de $\alpha$ . Sentando base en esta relación, definimos formalmente esta función como

$f: Dom(f) \rightarrow [-1,1], \ f(x) = tan(x)$

$Dom(f) = \{ x : x \neq (2k+1) \cdot \frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{N} \}$

$Rgo(f) = [-1,1]$

Note que a medida que esta función se acerca a $-\frac{\pi}{2}$ esta decrece hacia menos infinito, por lo que nunca toca al eje $x=-\frac{\pi}{2}$ , por otra parte a medida que se acerca a $\frac{\pi}{2}$ esta crece hacia el infinito, es por esto que esta función nunca toca al eje $x=\frac{\pi}{2}$ . Esta función repetirá el mismo ciclo en todo su dominio entre cada dos números consecutivos de la forma $x=(2k+1) \cdot \frac{\pi}{2}$ , donde $k$ es un número entero.

5 comentarios en “Las funciones elementales”

Operaciones entre Funciones y su Dominio – totumat dice:

08.04.2023 a las 11:50 am

[…] ahora hemos estudiado las funciones elementales y las transformaciones que podemos hacer sobre ellas, a continuación veremos que es posible […]

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