Composición de Funciones

Existen funciones que no se pueden expresar como operaciones básicas de funciones elementales. Consideremos y dos funciones, definimos la composición de con como una nueva función que corresponde a cada imagen de un elemento un único elemento , la denotamos como y la definimos de la siguiente forma:

Veamos con algunos ejemplos como calcular la composición de funciones.

Ejemplos

Ejemplo 1

Sean y , calcule .

Ejemplo 2

Sean y , calcule .

Ejemplo 3

Sean y , calcule .

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Básicamente al componer la función con la función , estamos sustituyendo el argumento de la función con la función .

Dominio de una Función compuesta

El dominio de este tipo de funciones viene dado por todos los elementos que están en el dominio de cuyas imágenes están en el dominio de , es decir,

Consideremos un Diagrama Sagital para ilustrar la composición de funciones.

En este Diagrama Sagital, el dominio de la función será el conjunto formado por y . Notemos que si el rango de la función está enteramente contenido en el dominio de la función , entonces

Determinar el dominio de una función compuesta no es tan simple como intersectar o unir conjuntos, hay que tomar en cuenta la naturaleza de ambas funciones con detenimiento y calcular los valores de para los cuales satisface las condiciones impuestas por el dominio de . Veamos con algunos ejemplos cual es la técnica para hacer esto.

Ejemplos

Ejemplo 4

Para calcular el dominio de la función , debemos notar que esta función es el resultado de la función compuesta con la función logaritmo neperiano y sabiendo que el dominio de ésta viene dado por todos los números reales mayores que cero, debemos determinar cuales son los valores de para los cuales

Por lo tanto, debemos calcular la solución de esta inecuación cuadrática para determinar la solución.

Solución (1):

Solución (2):

Por lo tanto, la solución general es que a su vez, es el dominio de la función .

Ejemplo 5

Para calcular el dominio de la función , debemos notar que esta función es el resultado de la función compuesta con la función exponencial y sabiendo que el dominio de la función exponencial es el conjunto de todos los números reales, basta con determinar el dominio de , es decir, todos los números reales para los cuales .

Por lo tanto, el dominio de la función es .

Ejemplo 6

Para calcular el dominio de la función , debemos notar que esta función es el resultado de la función compuesta con la función de proporcionalidad inversa y sabiendo que el dominio de ésta viene dado por todos los números reales distintos de cero, debemos determinar cuales son los valores de para los cuales y los excluimos.

Por lo tanto, el dominio de la función es .

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