Una vez que hemos definido las funciones elementales, podemos aplicar entre ellas, las operaciones básicas para definir nuevas funciones, esto es, suma, resta, multiplicación y división entre funciones. Sin embargo, es posible definir funciones sin recurrir a las operaciones básicas.
Veremos en esta sección, que podemos meter a una función dentro de otra para definir una nueva función, sin embargo, debemos ser cuidadosos pues el dominio y el rango de las funciones involucradas deben cumplir con ciertas condiciones.
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Composición de Funciones
Existen funciones que no se pueden expresar como operaciones básicas de funciones elementales. Consideremos y
dos funciones, definimos la composición de
con
como una nueva función que corresponde a cada imagen de un elemento
un único elemento
, la denotamos como
y la definimos de la siguiente forma:
Veamos con algunos ejemplos como calcular la composición de funciones.
Ejemplos
Ejemplo 1
Sean y
, calcule
.
Ejemplo 2
Sean y
, calcule
.
Ejemplo 3
Sean y
, calcule
.
Básicamente al componer la función con la función
, estamos sustituyendo el argumento de la función
con la función
.
Dominio de una Función compuesta
El dominio de este tipo de funciones viene dado por todos los elementos que están en el dominio de cuyas imágenes están en el dominio de
, es decir,
Consideremos un Diagrama Sagital para ilustrar la composición de funciones.

En este Diagrama Sagital, el dominio de la función será el conjunto formado por
y
. Notemos que si el rango de la función
está enteramente contenido en el dominio de la función
, entonces
Determinar el dominio de una función compuesta no es tan simple como intersectar o unir conjuntos, hay que tomar en cuenta la naturaleza de ambas funciones con detenimiento y calcular los valores de
para los cuales
satisface las condiciones impuestas por el dominio de
. Veamos con algunos ejemplos cual es la técnica para hacer esto.
Ejemplos
Ejemplo 4
Para calcular el dominio de la función , debemos notar que esta función es el resultado de la función
compuesta con la función logaritmo neperiano y sabiendo que el dominio de ésta viene dado por todos los números reales mayores que cero, debemos determinar cuales son los valores de
para los cuales
Por lo tanto, debemos calcular la solución de esta inecuación cuadrática para determinar la solución. Entonces, planteamos las siguientes ecuaciones:
y
ó y
Despejando cada una de las ecuaciones, tenemos lo siguiente:
y
(1)
ó y
(2)
Por lo tanto, podemos plantear las soluciones involucradas
Solución (1):
Solución (2):
Por lo tanto, la solución general es que a su vez, es el dominio de la función
.
Nota: Consulte la publicación de inecuaciones cuadráticas para ver con más detalle el cálculo de esta solución.
Ejemplo 5
Para calcular el dominio de la función , debemos notar que esta función es el resultado de la función
compuesta con la función exponencial y sabiendo que el dominio de la función exponencial es el conjunto de todos los números reales, basta con determinar el dominio de
, es decir, todos los números reales para los cuales
.
Por lo tanto, el dominio de la función es
.
Ejemplo 6
Para calcular el dominio de la función , debemos notar que esta función es el resultado de la función
compuesta con la función de proporcionalidad inversa y sabiendo que el dominio de ésta viene dado por todos los números reales distintos de cero, debemos determinar cuales son los valores de
para los cuales
y los excluimos.
Por lo tanto, el dominio de la función es
.
[…] composición de funciones se puede considerar como una nueva operación entre funciones y ésta tendrá propiedades tal como […]
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[…] Anthonny Arias en Composición de Funciones y Dominio de Funciones Compuestas […]
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