Composición y Dominio de Funciones Compuestas

¿Cómo se componen dos funciones?

Existen funciones que no se pueden expresar como operaciones básicas de funciones elementales. Consideremos g : A \longrightarrow B y f: C \longrightarrow D dos funciones, definimos la composición de g con f como una nueva función que corresponde a cada imagen de un elemento a \in A un único elemento c \in C, la denotamos como f \circ g : A \longrightarrow D y la definimos de la siguiente forma:

\Big(f \circ g \Big) (x) = f \Big( g(x) \Big)

Veamos con algunos ejemplos como calcular la composición de funciones.

Ejemplo 1

Sean f(x)=x^2-2 y g(x)=x+1, calcule \Big(f \circ g \Big) (x).

\Big(f \circ g \Big) (x)  =  f \Big( g(x) \Big)  =  \big( g(x) \big)^2-2  =  (x+1)^2-2

Ejemplo 2

Sean f(x)=\dfrac{3}{x+2} y g(x)=\ln(x-1), calcule \Big(f \circ g \Big) (x).

\Big(f \circ g \Big) (x) = f \Big( g(x) \Big) = \dfrac{3}{g(x)+2} = \dfrac{3}{\ln(x-1)+2}

Ejemplo 3

Sean f(x)={\rm e}^{2x+5} y g(x)=\sqrt{1-x}, calcule \Big(g \circ f \Big) (x).

\Big(g \circ f \Big) (x) = g \Big( f(x) \Big) = \sqrt{1 - f(x)} = \sqrt{1 - {\rm e}^{2x+5}}

Básicamente al componer la función g con la función f, estamos sustituyendo el argumento de la función f con la función g.

¿Cómo determinamos el dominio?

El dominio de este tipo de funciones viene dado por todos los elementos que están en el dominio de g cuyas imágenes están en el dominio de f, es decir,

Dom(f \circ g ) = \{ x \in Dom(g) : g(x) \in Dom(f) \}

Consideremos un Diagrama de Venn para ilustrar la composición de funciones.

En este Diagrama de Venn, el dominio de la función (f \circ g ) será el conjunto formado por a_1 y a_2. Notemos que si el rango de la función g está enteramente contenido en el dominio de la función f, entonces

Dom\Big(f \circ g \Big) = dom(f)

Determinar el dominio de una función compuesta (f \circ g ) no es tan simple como intersectar o unir conjuntos, hay que tomar en cuenta la naturaleza de ambas funciones con detenimiento y calcular los valores de x para los cuales g(x) satisface las condiciones impuestas por el dominio de f. Veamos con algunos ejemplos cual es la técnica para hacer esto.

Ejemplo 1

Para calcular el dominio de la función f(x) = \ln(x^2-1), debemos notar que esta función es el resultado de la función x^2-1 compuesta con la función logaritmo neperiano y sabiendo que el dominio de ésta viene dado por todos los números reales mayores que cero, debemos determinar cuales son los valores de x para los cuales

x^2-1 > 0 \Rightarrow (x-1)(x+1) > 0

Por lo tanto, debemos calcular la solución de esta inecuación cuadrática para determinar la solución.

x-2 > 0 y x+3 > 0
ó
x-2 < 0 y x+3 < 0

x > 2 y x > -3 (1)
ó
x < 2 y x < -3 (2)

Solución (1):
(2,+\infty) \cap (-3,+\infty) = (2,+\infty)

Solución (2):
(-\infty,2) \cap (-\infty,-3) = (-\infty,-3)

Por lo tanto, la solución general es (2,+\infty) \cup (-\infty,-3) que a su vez, es el dominio de la función f(x) = \ln(x^2-1).

Ejemplo 2

Para calcular el dominio de la función f(x) = \text{\large \rm e}^{\sqrt{x+1}}, debemos notar que esta función es el resultado de la función \sqrt{x+1} compuesta con la función exponencial y sabiendo que el dominio de la función exponencial es el conjunto de todos los números reales, basta con determinar el dominio de \sqrt{x+1}, es decir, todos los números reales para los cuales x+1 \geq 0.

Por lo tanto, el dominio de la función f(x) = \text{\large \rm e}^{\sqrt{x+1}} es [-1,+\infty).

Ejemplo 3

Para calcular el dominio de la función f(x) = \frac{1}{x^2-9}, debemos notar que esta función es el resultado de la función x^2-9 compuesta con la función de proporcionalidad inversa y sabiendo que el dominio de ésta viene dado por todos los números reales distintos de cero, debemos determinar cuales son los valores de x para los cuales x^2-9 = 0 y los excluimos.

Por lo tanto, el dominio de la función f(x) = \frac{1}{x^2-9} es \mathbb{R} - \{ -3,3\}.

¿Tiendes dudas? ¿Requieres más ejemplos? No dudes en escribir.

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