Composición de Funciones

¿Cómo se componen dos funciones?

Existen funciones que no se pueden expresar como operaciones básicas de funciones elementales. Consideremos $g : A \longrightarrow B$ y $f: C \longrightarrow D$ dos funciones, definimos la composición de $g$ con $f$ como una nueva función que corresponde a cada imagen de un elemento $a \in A$ un único elemento $c \in C$ , la denotamos como $f \circ g : A \longrightarrow D$ y la definimos de la siguiente forma:

$\Big(f \circ g \Big) (x) = f \Big( g(x) \Big)$

Veamos con algunos ejemplos como calcular la composición de funciones.

Ejemplo 1

Sean $f(x)=x^2-2$ y $g(x)=x+1$ , calcule $\Big(f \circ g \Big) (x)$ .

$\Big(f \circ g \Big) (x) = f \Big( g(x) \Big) = \big( g(x) \big)^2-2 = (x+1)^2-2$

Ejemplo 2

Sean $f(x)=\dfrac{3}{x+2}$ y $g(x)=\ln(x-1)$ , calcule $\Big(f \circ g \Big) (x)$ .

$\Big(f \circ g \Big) (x) = f \Big( g(x) \Big) = \dfrac{3}{g(x)+2} = \dfrac{3}{\ln(x-1)+2}$

Ejemplo 3

Sean $f(x)={\rm e}^{2x+5}$ y $g(x)=\sqrt{1-x}$ , calcule $\Big(g \circ f \Big) (x)$ .

$\Big(g \circ f \Big) (x) = g \Big( f(x) \Big) = \sqrt{1 - f(x)} = \sqrt{1 - {\rm e}^{2x+5}}$

Básicamente al componer la función $g$ con la función $f$ , estamos sustituyendo el argumento de la función $f$ con la función $g$ .

¿Cómo determinamos el dominio?

El dominio de este tipo de funciones viene dado por todos los elementos que están en el dominio de $g$ cuyas imágenes están en el dominio de $f$ , es decir,

$Dom(f \circ g ) = \{ x \in Dom(g) : g(x) \in Dom(f) \}$

Consideremos un Diagrama de Venn para ilustrar la composición de funciones.

En este Diagrama de Venn, el dominio de la función $(f \circ g )$ será el conjunto formado por $a_1$ y $a_2$ . Notemos que si el rango de la función $g$ está enteramente contenido en el dominio de la función $f$ , entonces

$Dom\Big(f \circ g \Big) = dom(f)$

Determinar el dominio de una función compuesta $(f \circ g )$ no es tan simple como intersectar o unir conjuntos, hay que tomar en cuenta la naturaleza de ambas funciones con detenimiento y calcular los valores de $x$ para los cuales $g(x)$ satisface las condiciones impuestas por el dominio de $f$ . Veamos con algunos ejemplos cual es la técnica para hacer esto.

Ejemplo 1

Para calcular el dominio de la función $f(x) = \ln(x^2-1)$ , debemos notar que esta función es el resultado de la función $x^2-1$ compuesta con la función logaritmo neperiano y sabiendo que el dominio de ésta viene dado por todos los números reales mayores que cero, debemos determinar cuales son los valores de $x$ para los cuales

$x^2-1 > 0 \Rightarrow (x-1)(x+1) > 0$

Por lo tanto, debemos calcular la solución de esta inecuación cuadrática para determinar la solución.

$x-2 > 0$ y $x+3 > 0$
ó
$x-2 < 0$ y $x+3 < 0$

$x > 2$ y $x > -3$ (1)
ó
$x < 2$ y $x < -3$ (2)

Solución (1):
$(2,+\infty) \cap (-3,+\infty) = (2,+\infty)$

Solución (2):
$(-\infty,2) \cap (-\infty,-3) = (-\infty,-3)$

Por lo tanto, la solución general es $(2,+\infty) \cup (-\infty,-3)$ que a su vez, es el dominio de la función $f(x) = \ln(x^2-1)$ .

Ejemplo 2

Para calcular el dominio de la función $f(x) = \text{\large \rm e}^{\sqrt{x+1}}$ , debemos notar que esta función es el resultado de la función $\sqrt{x+1}$ compuesta con la función exponencial y sabiendo que el dominio de la función exponencial es el conjunto de todos los números reales, basta con determinar el dominio de $\sqrt{x+1}$ , es decir, todos los números reales para los cuales $x+1 \geq 0$ .

Por lo tanto, el dominio de la función $f(x) = \text{\large \rm e}^{\sqrt{x+1}}$ es $[-1,+\infty)$ .

Ejemplo 3

Para calcular el dominio de la función $f(x) = \frac{1}{x^2-9}$ , debemos notar que esta función es el resultado de la función $x^2-9$ compuesta con la función de proporcionalidad inversa y sabiendo que el dominio de ésta viene dado por todos los números reales distintos de cero, debemos determinar cuales son los valores de $x$ para los cuales $x^2-9 = 0$ y los excluimos.