Función Inyectiva, Sobreyectiva y Biyectiva

Diagramas Sagitales: Funciones Inyectivas, Sobreyectivas y Biyectivas

Habiendo definido las funciones y usando los diagramas sagitales para estudiarlas. Podemos clasificar las funciones considerando la forma en que las correspondencias entre elementos están dadas, estas clasificaciones cumplen un papel fundamental en el estudio de las matemáticas.

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Tipos de funciones

Si consideramos dos conjuntos A y B, sabemos que una función es una relación del conjunto A con el conjunto B que corresponde a todo elemento a que está en A con un único elemento b que está en B, pero además, podemos clasificarlas de la siguiente forma:

Función Inyectiva: Diremos que una función es inyectiva si los elementos del rango están correspondidos con sólo un elemento del dominio.

También pudiéramos decir que a los elementos del conjunto de llegada no se le corresponden más de un elemento del dominio.

Función Sobreyectiva: Diremos que una función es sobreyectiva si los elementos conjunto de llegada están correspondidos con al menos un elemento del dominio.

También pudiéramos decir que el conjunto de llegada es igual al rango de la función.

Función Biyectiva: Diremos que una función es biyectiva si es inyectiva y es sobreyectiva al mismo tiempo.

También podemos decir que corresponde a todo elemento b que está en B con un único elemento a que está en A.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considere el conjunto A conformado por tres niños en una fiesta de cumpleaños: Ana, José y Roberto. Por otra parte, consideremos el conjunto B conformado por los gorros de colores: verde, morado, rosado, azul.

Supongamos que a Ana le corresponde el gorro verde, a José le corresponde el gorro morado y a Roberto le corresponde el gorro azul. Así, podemos expresar la función f : A \rightarrow B como el conjunto de los siguientes pares ordenados:

f = { (Ana, Verde) ; (José, Morado) ; (Roberto, Azul) }

Esta sí es una función inyectiva entre el conjunto de los niños y el conjunto de los gorros pues no se le ha correspondido el mismo gorro a más de un niño.

Esta sí es una función sobreyectiva entre el conjunto de los niños y el conjunto de los gorros pues todos los gorros han sido correspondidos con un niño.

Esta sí es una función biyectiva entre el conjunto de los niños y el conjunto de los gorros pues es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo.

Ejemplo 2

Considere el conjunto A conformado por 5 marcas de teléfonos celulares: Pixel, Samsung, Xiaomi y iPhone. Por otra parte, consideremos el conjunto B conformado por características de teléfonos celulares: Cámara HD y Conectividad 5G.

Supongamos que los fabricantes de estas marcas, añaden las características a los teléfonos de la siguiente forma: Pixel tiene Cámara HD, Samsung tiene Conectividad 5G y iPhone tiene Cámara HD. Así, podemos expresar la relación f : A \rightarrow B como el conjunto de los siguientes pares ordenados:

f = { (Pixel, Cámara HD) ; (Samsung, Conectividad 5G) ; (iPhone, Cámara HD)}

Esta no es una función inyectiva entre el conjunto de marcas y el conjunto características pues existen dos marcas con la misma característica.

Esta sí es una función sobreyectiva entre el conjunto de marcas y el conjunto características pues todas las características han sido adoptadas por al menos una marca.

Esta sí es una función biyectiva entre el conjunto de marcas y el conjunto características pues es no es inyectiva.


Los tipos de funciones se pueden apreciar con mayor claridad cuando las ilustramos, veamos como hacer esto.

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Diagramas Sagitales

Los diagramas sagitales consisten en ilustraciones que permiten representar las relaciones entre los elementos de dos conjuntos identificando los siguientes elementos:

  • Los conjuntos se representan con círculos u óvalos.
  • Los elementos de los conjuntos se representan con puntos.
  • La relación entre elementos, se representan con líneas o flechas.

Consideremos en los siguientes ejemplos para ilustrar funciones entre dos conjuntos usando diagramas sagitales, notando que:

  • Si la función inyectiva, a los elementos de B llega a lo sumo una línea.
  • Si la función es sobreyectiva, a todos los elementos de B llega al menos una línea.
  • Si la función es biyectiva, a todos y cada uno de los elementos de B llega exactamente una línea.

Ejemplos

Ejemplo 3

Considere el conjunto A conformado por cinco niños en un salón de clases: María, Pedro, Jerick, Laura y Fabiana. Por otra parte, consideremos el conjunto B conformado por cinco actividades que hay que desarrollar en el salón de clases a una determinada hora: leer, escribir, sumar, restar y dibujar.

Supongamos que a María le corresponde leer, a Pedro le corresponde escribir, a Jerick le corresponde sumar, a Laura le corresponde restar y a Fabiana le corresponde dibujar. Así, podemos expresar la función f : A \rightarrow B como el conjunto de los siguientes pares ordenados:

f = { (María, Leer) ; (Pedro, Escribir) ; (Jerick, Sumar) ; (Laura, Restar) ; (Fabiana, Dibujar) }

Pero además, podemos ilustrar esta función con un diagrama sagital de la siguiente manera:

Diagrama Sagital de una Función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva | totumat.com

Esta sí es una función inyectiva, porque no llegan más de dos líneas a los elementos de B.

Esta sí es una función sobreyectiva, porque llega al menos una línea a cada elemento de B.

Esta sí es una función biyectiva, porque a cada elemento de B llega exactamente una línea.

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Ejemplo 4

Considere el conjunto A conformado por cuatro automóviles enumerados con 1, 2, 3 y 4. Por otra parte, consideremos el conjunto B conformado por tres colores: amarillo, azul y rojo.

Supongamos que estos automóviles deben ser pintados de uno o dos colores: el 1 es pintado de amarillo, el 2 de amarillo, el 3 de azul y el 4 de rojo. Así, podemos expresar la relación f : A \rightarrow B como el conjunto de los siguientes pares ordenados:

f = { (1, Amarillo) ; (2, Amarillo) ; (3, Azul) ; (4, Rojo) }

Pero además, podemos ilustrar esta función con un diagrama sagital de la siguiente manera:

Diagrama Sagital de una Función sobreyectiva | totumat.com

Esta no es una función inyectiva, porque llegan dos líneas al color amarillo.

Esta sí es una función sobreyectiva, porque llega al menos una línea a cada elemento de B.

Esta no es una función biyectiva, porque no es inyectiva.

Ejemplo 5

Considere el conjunto A conformado por los números 2, 3, 5. Por otra parte, consideremos el conjunto B conformado por los números: 1, 2, 3, 5.

Diremos que un elemento a del conjunto A está relacionado con un elemento b del conjunto B si a es un divisor de b, es decir, tal que la división \frac{b}{a} es exacta. Así, podemos expresar la relación f : A \rightarrow B como el conjunto de los siguientes pares ordenados:

f = { (2, 2) ; (3, 3) ; (5, 5) }

Pero además, podemos ilustrar esta función con un diagrama sagital de la siguiente manera:

Diagrama Sagital de una Función inyectiva | totumat.com

Esta sí es una función inyectiva, porque no llegan más de dos líneas a los elementos de B.

Esta no es una función sobreyectiva, porque el número 1 en el conjunto B no está correspondido con ningún elemento de A.

Esta sí es una función biyectiva, porque no es sobreyectiva.


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