Conjuntos

  1. ¿Qué es un conjunto?
  2. Notación matemática de un conjunto
  3. Subconjuntos
    1. Ejemplos
      1. Ejemplo 1
      2. Ejemplo 2
      3. Ejemplo 3

¿Qué es un conjunto?

Un Conjunto es una agrupación de objetos de cualquier índole. Por ejemplo: El conjunto de los días de la semana, el conjunto de los meses de un año, el conjunto de los colores del arcoiris, el conjunto de los números que puedo contar con los dedos de una mano, el conjunto de carros en concesionario, el conjunto de los alumnos inscritos en una institución, el conjunto de gatos en una casa o el conjunto de granos de arena en una playa.

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Generalmente consideraremos conjuntos cuyos objetos posean una característica en común. Por ejemplo,

  • Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes Sábado, Domingo
  • rojo, naranja, amarillo, verde, azul, indigo, violeta
  • 1,2,3,4,5
  • Alumnos inscritos en la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales
  • Carros en un concesionario, tales que sean azules

Note que en el último ejemplo, primero definimos el objeto (los carros) y después describimos la característica común que tienen todos los elementos del conjunto (que sean azules).

Notación matemática de un conjunto

Podemos describir a los conjuntos de dos formas:

  • Extensivamente: nombrando todos los elementos del conjunto.
  • Comprensivamente: indicando cuales son los elementos y al menos una propiedad común que tengan todos los elementos del conjunto.

La notación que usaremos para escribir los conjuntos será encerrando sus elementos o describiendo su propiedad común entre llaves entre llaves \{ \ \ \ \}. Por ejemplo,

Podemos definir el conjunto de todos los números pares extensivamente de la siguiente forma:

\displaystyle \{ 2,4,6,8,10, 12, \ldots\}

Por otra parte, también podemos definir este mismo conjunto comprensivamente de la siguiente forma:

\displaystyle \{ 2n : n \in \mathbb{N} \}

Los dos puntos : se leen tal que y así, este último conjunto se lee El conjunto de los números de la forma 2 \cdot n tales que n es un número natural.

Usualmente denotaremos los conjuntos con letras mayúsculas tales como A, B, C, D, \ldots; a cada objeto perteneciente al conjunto lo llamaremos elemento del conjunto y los denotaremos con letras minúsculas tales como a, b, c, d, \ldots. Para denotar que un elemento a está en un conjunto A escribimos,

\displaystyle a \in A

Esto se lee a pertenece al conjunto A.

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Subconjuntos

Un subconjunto de un conjunto es una agrupación de elementos que pertenece a un conjunto de elementos. Por ejemplo:

  • El conjunto de carros azules en un concesionario, es un subconjunto del conjunto de carros en un concesionario.
  • El conjunto de los alumnos menores de edad inscritos en una universidad, es un subconjunto del conjunto de alumnos en una universidad.
  • El conjunto de gatos negros en un albergue de mascotas, es un subconjunto del conjunto de gatos en un albergue de mascotas.

Para denotar que un conjunto A es subconjunto de un conjunto B, escribimos

\displaystyle A \subset B

Esto se lee «A está contenido en B» y en el siguiente Diagrama de Venn representamos un conjunto contenido dentro de otro.

Un círculo pequeño A rayado con rojo, dentro de un círculo más grande B rayado con azul. | totumat.com

Ejemplos

Ejemplo 1

El conjunto formado por los días sábado y domingo, es un subconjunto del conjunto de los días de la semana, es decir,

{Sábado, Domingo} \subset {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes, Sábado, Domingo}

Ejemplo 2

El conjunto de los números \{1,2,3,4\} es un subconjunto del conjunto \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}, es decir,

\{1,2,3,4\} \subset \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}

Ejemplo 3

El conjunto de los alumnos de alto promedio Inscritos en la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales es un subconjunto de los Alumnos inscritos en la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales.


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