Las mejores calculadoras online | totumat.com review

Las mejores calculadoras que puedes conseguir en internet

26.11.202009.12.2022 Anthonny Arias García5 comentarios

Cuando se estudian asignaturas que requieren de cálculos complicados, nada mejor que contar con una buena calculadora. Si bien tener una calculadora en físico resulta muy cómodo, no siempre se cuenta con acceso a ellas, es por esto que debemos recurrir a opciones online, ya sean surfeando en la web o como aplicaciones para el teléfono.

Mi recomendación para mis alumnos es que siempre estudien acompañados de una calculadora, para que verifiquen si están haciendo correctamente los cálculos necesarios.

Veamos entonces, una lista sin un orden particular (falso, están ordenadas desde la mejor hasta la peor) de las mejores calculadoras que podemos conseguir navegando por internet o en la tienda de aplicaciones de distintos sistemas operativos.

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Wolfram Alpha

Sin duda alguna, Wolfran Alpha es el rey de las calculadoras online pues sus cálculos no se basan únicamente en algoritmos tal como lo hacen las calculadoras tradicionales, si no en algoritmos innovadores, base de conocimientos y tecnología de inteligencia artificial.

Nota: De acuerdo con Atlassian, una base de conocimientos es una biblioteca en línea de autoservicio de información sobre un producto, servicio, departamento o tema. Los datos de su base de conocimientos pueden provenir de cualquier lugar. Por lo general, los colaboradores que están bien versados en los temas relevantes agregan y amplían la base de conocimientos.

Al efectuar un cálculo en Wolfram Alpha, no sólo se provee la solución del mismo sino que además, provee información adicional que usualmente se necesita cuando se efectúan cálculos. Se puede ver el desarrollo completo paso a paso para llegar al resultado final pagando una subscripción, pero no es obligatorio si sólo queremos resultados.

Wolfram Alpha está disponible gratuitamente en wolframalpha.com y pagando, en iOS, Android y Microsoft.

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Calculator N+

Mi calculadora de uso diario es la aplicación para Android Calculator N+. Es una calculadora open source, desarrollada por Trần Lê Duy que según su perfil de github, es un estudiante de la escuela secundaria Nguyen Binh Khiem que ama estudiar algoritmos.

Nota: open source comúnmente se refiere al software que utiliza un proceso de desarrollo abierto y tiene licencia para incluir el código fuente.

Esta calculadora provee resultados únicamente, sin procedimientos, pero la cantidad de funciones que se pueden aplicar es inmensa. Creo que el único defecto que tiene (por ahora), es que no tiene un buscador de funciones en la calculadora de la pantalla de inicio.

Además de la calculadora de la pantalla de inicio, esta aplicación cuenta con calculadoras específicas para trabajar con Ecuaciones, Derivadas, Integrales y Matrices, entre otras; esto es lo que amplía su versatilidad y comodidad.

Calculator N+ está disponible únicamente para Android, sin embargo, al ser open source, puede ser construida desde su código siguiendo las instrucciones en GitHub.

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GeoGebra

GeoGebra es una plataforma multifuncional de apoyo didáctico que merece un artículo entero para poder exponer todo lo que ofrece, sin embargo, en esta ocasión sólo nos enfocaremos en la calculadora que provee.

El fuerte de GeoGebra radica en las representaciones gráficas de Funciones, Ecuaciones e Inecuaciones, o de forma general, la interacción entre dos variables (aunque su aplicación para gráficos en 3D generaliza estos aspectos), sin embargo, también permite el cálculo de derivadas e integrales.

Las representaciones gráficas se pueden pueden personalizar para ilustrar con claridad cuáles son los elementos involucrados en los cálculos que se están efectuando.

Toda la gama de aplicaciones que provee GeoGebra está disponible en GeoGebra.com, iOS y Android.

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Mathway

Mathway es una calculadora con una interfaz sencilla pero muy versátil a la hora de hacer cálculos, pues al igual que Wolfram Alpha, se basa en algoritmos innovadores e inteligencia artificial.

Si bien se pueden utilizar los botones de la aplicación para efectuar los cálculos, se puede indicar las instrucción (en inglés o español) y posteriormente obtener los resultados.

Al igual que Wolfram Alpha, se puede ver el desarrollo completo paso a paso para llegar al resultado final pagando una subscripción, pero no es obligatorio si sólo queremos resultados.

Mathway está disponible en Mathway.com, iOS y Android.

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Symbolab

Symbolab es el hijo de Wolfram Alpha y Mathway, jaja, pues provee funcionalidades parecidas a ambas calculadoras y su interfaz también una mezcla de ambas (pero con más publicidad), sin embargo, es igual cómoda de usar.

Al igual que Wolfram Alpha, se puede ver el desarrollo completo paso a paso para llegar al resultado final pagando una subscripción, pero no es obligatorio si sólo queremos resultados.

Symbolab está disponible en symbolab.com, iOS y Android.

¡Las mejores calculadoras online!

26.11.202007.12.2022 Anthonny Arias García3 comentarios

Mi recomendación para mis alumnos es que siempre estudien acompañados de una calculadora, para que verifiquen si están haciendo correctamente los cálculos necesarios.

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Wolfram Alpha

Wolfram Alpha está disponible gratuitamente en wolframalpha.com y pagando, en iOS, Android y Microsoft.

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Calculator N+

Nota: open source comúnmente se refiere al software que utiliza un proceso de desarrollo abierto y tiene licencia para incluir el código fuente.

Calculator N+ está disponible únicamente para Android, sin embargo, al ser open source, puede ser construida desde su código siguiendo las instrucciones en GitHub.

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GeoGebra

Las representaciones gráficas se pueden pueden personalizar para ilustrar con claridad cuáles son los elementos involucrados en los cálculos que se están efectuando.

Toda la gama de aplicaciones que provee GeoGebra está disponible en GeoGebra.com, iOS y Android.

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Mathway

Mathway es una calculadora con una interfaz sencilla pero muy versátil a la hora de hacer cálculos, pues al igual que Wolfram Alpha, se basa en algoritmos innovadores e inteligencia artificial.

Si bien se pueden utilizar los botones de la aplicación para efectuar los cálculos, se puede indicar las instrucción (en inglés o español) y posteriormente obtener los resultados.

Al igual que Wolfram Alpha, se puede ver el desarrollo completo paso a paso para llegar al resultado final pagando una subscripción, pero no es obligatorio si sólo queremos resultados.

Mathway está disponible en Mathway.com, iOS y Android.

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Symbolab

Al igual que Wolfram Alpha, se puede ver el desarrollo completo paso a paso para llegar al resultado final pagando una subscripción, pero no es obligatorio si sólo queremos resultados.

Symbolab está disponible en symbolab.com, iOS y Android.

Radicales

14.05.202007.12.2022 Anthonny Arias García4 comentarios

Al definir las potencias, encontramos una forma de denotar el producto de un número multiplicado por él mismo reiteradas veces. De esta forma tenemos que

Al considerar el número nueve, tres es un número tal que al multiplicarlo por él mismo, el resultado es exactamente nueve, es decir,
$3^2 = 9$ .
Al considerar el número cuatro, dos es un número tal que al multiplicarlo por él mismo, el resultado es exactamente cuatro, es decir,
$4^2 = 36$ .
Al considerar el número sesenta y cuatro, ocho es un número tal que al multiplicarlo por él mismo, el resultado es exactamente sesenta y cuatro, es decir,
$8^2 = 64$ .

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Esta idea es bastante intuitiva pero, ¿y si consideramos el número dos? ¿Cuál el número tal que al multiplicarlo por sí mismo, el resultado es exactamente dos? ¿Será uno? ¿Dos? ¿Uno y un medio? ¿Uno y un cuarto? Los números número enteros o fracciones de enteros en los que podemos pensar no aportarán ninguna solución. Es por esto que recurrimos a un nuevo número que satisface esta condición, lo llamaremos es la raíz cuadrada de dos y usamos la notación de radical ( $\sqrt{ \ \ }$ ) para denotarlo de la siguiente manera

Aunque no sepamos exactamente toda la extensión decimal de este número sabemos que, por definición, es un número tal que al multiplicarlo por él mismo, el resultado es exactamente dos, es decir, $\left( \sqrt{2} \right)^2 = 2$ . Esta notación se puede extender para otros números en los que se presente la misma situación.

Al considerar el número cinco, la raíz cuadrada de cinco es un número tal que al multiplicarlo por él mismo, el resultado es exactamente cinco, es decir,
$\left( \sqrt{5} \right)^2 = 5$ .
Al considerar el número doce, la raíz cuadrada de doce es un número tal que al multiplicarlo por él mismo, el resultado es exactamente doce, es decir,
$\left( \sqrt{12} \right)^2 = 12$ .
Al considerar el número treinta, la raíz cuadrada de treinta es un número tal que al multiplicarlo por él mismo, el resultado es exactamente treinta, es decir,
$\left( \sqrt{30} \right)^2 = 30$ .
Al considerar el número uno, la raíz cuadrada de uno es un número tal que al multiplicarlo por él mismo, el resultado es exactamente uno, es decir,
$\left( \sqrt{1} \right)^2 = 1$ .
En este caso, notemos que $\sqrt{1} = 1$ .
Al considerar el número menos tres, podemos decir de forma general que la raíz cuadrada de un número negativo no está definida pues no existe un número que multiplicado por sí mismo sea un número negativo.

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Muy bien, ahora, ¿cuál el número tal que al multiplicarlo por sí mismo tres veces, el resultado es exactamente dos? A este número lo llamaremos es la raíz cúbica de dos y usamos la notación de radical ( $\sqrt{ \ \ }$ ) con el índice tres para denotarlo de la siguiente manera

Aunque no sepamos exactamente toda la extensión decimal de este número sabemos que, por definición, es un número tal que al multiplicarlo por él mismo tres veces, el resultado es exactamente dos, es decir, $\left( \sqrt[3]{2} \right)^3 = 2$ . Esta notación se puede extender para otros números en los que se presente la misma situación.

Al considerar el número siete, la raíz cúbica de siete es un número tal que al multiplicarlo por él mismo tres veces, el resultado es exactamente siete, es decir,
$\left( \sqrt[3]{7} \right)^{3} = 7$ .
Al considerar el número quince, la raíz cúbica de quince es un número tal que al multiplicarlo por él mismo tres veces, el resultado es exactamente quince, es decir,
$\left( \sqrt[3]{15} \right)^{3} = 15$ .
Al considerar el número menos uno, la raíz cúbica de menos uno es un número tal que al multiplicarlo por él mismo tres veces, el resultado es exactamente menos uno, es decir,
$\left( \sqrt[3]{-1} \right)^{3} = -1$ .
En este caso, notemos que $\sqrt[3]{-1} = -1$ .
Al considerar el número menos veinticuatro, la raíz cúbica de menos veinticuatro es un número tal que al multiplicarlo por él mismo tres veces, el resultado es exactamente menos veinticuatro, es decir,
$\left( \sqrt[3]{-24} \right)^{3} = -24$ .

Los radicales se pueden usar para expresar números que cumplen con este tipo de condiciones. De forma general podemos decir que si consideramos un número $a$ y $n$ un número entero mayor que uno, entonces definimos la raíz $n$ -ésima de $a$ como un número tal que al multiplicarlo por sí mismo $n$ veces, el resultado es exactamente $a$ , usamos la notación de radical ( $\sqrt{ \ \ }$ ) con el índice $n$ para denotarlo de la siguiente manera

Considerando que si $n$ es un número par, la raíz $n$ -ésima de $a$ está definida sólo si $a \geq 0$ . De esta forma, tenemos que

Al considerar el número ocho, la raíz sexta de ocho es un número tal que al multiplicarlo por él mismo seis veces, el resultado es exactamente ocho, es decir,
$\left( \sqrt[6]{8} \right)^{6} = 8$ .
Al considerar el número menos diez, la raíz quinta de menos diez es un número tal que al multiplicarlo por él mismo cinco veces, el resultado es exactamente menos diez, es decir,
$\left( \sqrt[5]{-10} \right)^{5} = -10$ .
Al considerar el número trece, la raíz vigésima de trece es un número tal que al multiplicarlo por él mismo veinte veces, el resultado es exactamente trece, es decir,
$\left( \sqrt[20]{13} \right)^{20} = 13$ .

La Ecuación General de la Recta

19.12.201910.03.2023 Anthonny Arias García1 comentario

Al definir las rectas, hemos dicho que la ecuación canónica de la recta permite expresar de forma analítica, cualquier recta en el plano cartesiano, sin embargo, hay un tipo de rectas que no se puede expresar de esta forma.

Para entender esto, veamos la ecuación punto-punto y estudiemos dos casos que nos interesarán de forma particular. Si consideramos dos puntos en el plano cartesiano, digamos $P_1 = (x_1,y_1)$ y $P_2 = (x_2,y_2)$ , dependiendo de los valores de valores que estos tengan en el Eje X y eje Y, se pudieran presentar los siguientes casos:

Si $y_2 = y_1$ , entonces la pendiente $m$ queda expresada de la forma $\frac{0}{r}$ , donde $r$ es un número real distinto de cero.
Si $x_2 = x_1$ , entonces la pendiente $m$ queda expresada de la forma $\frac{r}{0}$ , donde $r$ es un número real distinto de cero.

De esta forma, podemos notar que en el primer caso, la pendiente es nula y; en el segundo caso, la pendiente no está definida, pues la división entre cero no está definida. Entonces, ¿cómo definimos las rectas que pasan a través de estos puntos?

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La Ecuación General de la Recta

Es necesario recurrir a una ecuación que permita abarcar de forma general, todas las rectas en el plano cartesiano. esto lo haremos definiendo la recta no como una ecuación explícita, sino como una ecuación implícita. Es decir, no como una variable ( $y$ ) que depende explícitamente de otra variable ( $x$ ), sino como una relación entre ambas variables.

Entonces, si $a$ , $b$ y $c$ son números reales tal que $a$ y $b$ no son iguales a cero al mismo tiempo, definimos La Ecuación General La Recta como una relación entre dos variables $x$ y $y$ a través de una igualdad de la siguiente forma:

$ax + by + c = 0$

De esta forma, podemos cubrir lo dos casos que hemos expuestos ya que,

Si $a = 0$ , entonces la ecuación general de la recta será de la forma $y=r$ para algún número real $r$ , es decir, todos los puntos de esta recta tendrán la misma coordenada en el Eje Y y su gráfica será una recta totalmente horizontal.
Si $b = 0$ , entonces la ecuación general de la recta será de la forma $x=r$ para algún número real $r$ , es decir, todos los puntos de esta recta tendrán la misma coordenada en el Eje X y su gráfica será una recta totalmente vertical.

Consideremos dos ejemplos que ilustren precisamente estos dos casos.

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la ecuación general de la recta que pasa por los puntos $P_1 = (1,2)$ y $P_2 = (-3,2)$ .

Podemos abordar este caso notando inmediatamente que la coordenada en el Eje Y es la misma para ambos puntos, que es 2. Sin embargo, veamos qué ocurre si calculamos la pendiente de la recta que pasa por estos dos puntos.

$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
$= \frac{2 - 2}{-3 - 1}$
$= \frac{0}{-4}$
$= 0$

Posteriormente aplicamos la ecuación punto-pendiente, escogiendo el punto de nuestra preferencia. Usemos el punto $P_1$

$(y - y_2) = m \cdot (x - x_2)$
$\Rightarrow \ (y - 2) = 0 \cdot (x - 1)$
$\Rightarrow \ y - 2 = 0$
$\Rightarrow \ y = 2$

Concluimos entonces que la ecuación de la recta que estamos buscando es $y = 2$ y para determinar su gráfica, simplemente trazamos una recta por todos los puntos de la forma $(x,2)$ .

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Ejemplo 2

Calcule la ecuación general de la recta que pasa por los puntos $P_1 = (-1,5)$ y $P_2 = (-1,-2)$ .

Podemos abordar este caso notando inmediatamente que la coordenada en el Eje X es la misma para ambos puntos, que es $-1$ . Sin embargo, veamos qué ocurre si calculamos la pendiente de la recta que pasa por estos dos puntos.

$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
$= \frac{-2 - 5}{-1 - (-1)}$
$= \frac{-7}{0}$

La división por cero no está definida, así que debemos considerar la ecuación punto-punto para notar que

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$
$\Rightarrow \ x - x_1 = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} (x_2 - x_1)$
$\Rightarrow \ (x - (-1)) = \frac{y - 5}{-2 - 5} (-1 - (-1))$
$\Rightarrow \ x + 1 = \frac{y - 5}{-7} ( 0 )$
$\Rightarrow \ x + 1 = 0$
$\Rightarrow \ x = - 1$

Concluimos entonces que la ecuación de la recta que estamos buscando es $x = -1$ y para determinar su gráfica, simplemente trazamos una recta por todos los puntos de la forma $(-1,y)$ .

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Cómo graficar rectas en el plano cartesiano

Si contamos la ecuación general de una recta, podemos graficarla simplemente calculando los puntos de intersección de esta con los ejes y posteriormente trazar la recta que pasa a través de estos dos. Veamos en los siguientes ejemplos cómo hacer esto.

Ejemplos

Ejemplo 3

Grafique la recta definida por la siguiente ecuación general $x + y - 1 = 0$ .

Para determinar su gráfica, calcularemos los puntos de corte de la recta con los ejes. Entonces,

Si $x= 0 \Rightarrow \ (0) + y - 1 = 0$
$\Rightarrow \ y = 1$

Es decir, el punto de corte con el Eje Y es $(0,1)$

Si $y = 0 \Rightarrow \ x + (0) - 1 = 0$
$\Rightarrow \ x = 1$

Es decir, el punto de corte con el Eje X es $(1,0)$

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Ejemplo 4

Grafique la recta definida por la siguiente ecuación general $2x - 3y + 4 = 0$

Para determinar su gráfica, calcularemos los puntos de corte de la recta con los ejes. Entonces,

Si $x= 0 \Rightarrow \ 2(0) - 3 y + 4 = 0$
$\Rightarrow \ -3y = -4$
$\Rightarrow \ y = \frac{-4}{-3}$
$\Rightarrow \ y = \frac{4}{3}$

Es decir, el punto de corte con el Eje Y es $\left( 0, \frac{4}{3} \right)$

Si $y = 0 \Rightarrow \ 2x - 3(0) + 4 = 0$
$\Rightarrow \ 2x = -4$
$\Rightarrow \ x = \frac{-4}{2}$
$\Rightarrow \ x = -2$

Es decir, el punto de corte con el Eje X es $(-2,0)$

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Ejemplo 5

Grafique la recta definida por la siguiente ecuación general $5x - y - 1 = 0$

Para determinar su gráfica, calcularemos los puntos de corte de la recta con los ejes. Entonces,

Si $x= 0 \Rightarrow \ 5(0) - y - 1 = 0$
$\Rightarrow \ - y = 1$
$\Rightarrow \ y = - 1$

Es decir, el punto de corte con el Eje Y es $\left( 0, -1 \right)$

Si $y = 0 \Rightarrow \ 5x - (0) - 1 = 0$
$\Rightarrow \ 5x = 1$
$\Rightarrow \ x = \frac{1}{5}$

Es decir, el punto de corte con el Eje X es $\left( \frac{1}{5} , 0 \right)$

Conjuntos

27.10.201928.12.2022 Anthonny Arias GarcíaDeja un comentario

¿Qué es un conjunto?

Un Conjunto es una agrupación de objetos de cualquier índole. Por ejemplo: El conjunto de los días de la semana, el conjunto de los meses de un año, el conjunto de los colores del arcoiris, el conjunto de los números que puedo contar con los dedos de una mano, el conjunto de carros en concesionario, el conjunto de los alumnos inscritos en una institución, el conjunto de gatos en una casa o el conjunto de granos de arena en una playa.

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Generalmente consideraremos conjuntos cuyos objetos posean una característica en común. Por ejemplo,

Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes Sábado, Domingo
rojo, naranja, amarillo, verde, azul, indigo, violeta
1,2,3,4,5
Alumnos inscritos en la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales
Carros en un concesionario, tales que sean azules

Note que en el último ejemplo, primero definimos el objeto (los carros) y después describimos la característica común que tienen todos los elementos del conjunto (que sean azules).

Notación matemática de un conjunto

Podemos describir a los conjuntos de dos formas:

Extensivamente: nombrando todos los elementos del conjunto.
Comprensivamente: indicando cuales son los elementos y al menos una propiedad común que tengan todos los elementos del conjunto.

La notación que usaremos para escribir los conjuntos será encerrando sus elementos o describiendo su propiedad común entre llaves entre llaves $\{ \ \ \ \}$ . Por ejemplo,

Podemos definir el conjunto de todos los números pares extensivamente de la siguiente forma:

$\displaystyle \{ 2,4,6,8,10, 12, \ldots\}$

Por otra parte, también podemos definir este mismo conjunto comprensivamente de la siguiente forma:

$\displaystyle \{ 2n : n \in \mathbb{N} \}$

Los dos puntos $:$ se leen tal que y así, este último conjunto se lee El conjunto de los números de la forma $2 \cdot n$ tales que $n$ es un número natural.

Usualmente denotaremos los conjuntos con letras mayúsculas tales como $A, B, C, D, \ldots$ ; a cada objeto perteneciente al conjunto lo llamaremos elemento del conjunto y los denotaremos con letras minúsculas tales como $a, b, c, d, \ldots$ . Para denotar que un elemento $a$ está en un conjunto $A$ escribimos,

$\displaystyle a \in A$

Esto se lee $a$ pertenece al conjunto $A$ .

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Subconjuntos

Un subconjunto de un conjunto es una agrupación de elementos que pertenece a un conjunto de elementos. Por ejemplo:

El conjunto de carros azules en un concesionario, es un subconjunto del conjunto de carros en un concesionario.
El conjunto de los alumnos menores de edad inscritos en una universidad, es un subconjunto del conjunto de alumnos en una universidad.
El conjunto de gatos negros en un albergue de mascotas, es un subconjunto del conjunto de gatos en un albergue de mascotas.

Para denotar que un conjunto A es subconjunto de un conjunto B, escribimos

$\displaystyle A \subset B$

Esto se lee «A está contenido en B» y en el siguiente Diagrama de Venn representamos un conjunto contenido dentro de otro.

Un círculo pequeño A rayado con rojo, dentro de un círculo más grande B rayado con azul. | totumat.com

Ejemplos

Ejemplo 1

El conjunto formado por los días sábado y domingo, es un subconjunto del conjunto de los días de la semana, es decir,

{Sábado, Domingo} $\subset$ {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes, Sábado, Domingo}

Ejemplo 2

El conjunto de los números $\{1,2,3,4\}$ es un subconjunto del conjunto $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$ , es decir,

$\{1,2,3,4\} \subset \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$

Ejemplo 3

El conjunto de los alumnos de alto promedio Inscritos en la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales es un subconjunto de los Alumnos inscritos en la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales.

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