Las mejores calculadoras online | totumat.com review

Las mejores calculadoras online en 2020

Cuando se estudian asignaturas que requieren de cálculos complicados, nada mejor que contar con una buena calculadora. Si bien tener una calculadora en físico resulta muy cómodo, no siempre se cuenta con acceso a ellas, es por esto que debemos recurrir a opciones online, ya sean surfeando en la web o como aplicaciones para el teléfono.

Mi recomendación para mis alumnos es que siempre estudien acompañados de una calculadora, para que verifiquen si están haciendo correctamente los cálculos necesarios.

Veamos entonces, una lista sin un orden particular (falso, están ordenadas desde la mejor hasta la peor) de las mejores calculadoras que podemos conseguir navegando por internet o en la tienda de aplicaciones de distintos sistemas operativos.

Anuncios

Wolfram Alpha

Sin duda alguna, Wolfran Alpha es el rey de las calculadoras online pues sus cálculos no se basan únicamente en algoritmos tal como lo hacen las calculadoras tradicionales, si no en algoritmos innovadores, base de conocimientos y tecnología de inteligencia artificial.

Nota: De acuerdo con Atlassian, una base de conocimientos es una biblioteca en línea de autoservicio de información sobre un producto, servicio, departamento o tema. Los datos de su base de conocimientos pueden provenir de cualquier lugar. Por lo general, los colaboradores que están bien versados en los temas relevantes agregan y amplían la base de conocimientos.

Al efectuar un cálculo en Wolfram Alpha, no sólo se provee la solución del mismo sino que además, provee información adicional que usualmente se necesita cuando se efectúan cálculos. Se puede ver el desarrollo completo paso a paso para llegar al resultado final pagando una subscripción, pero no es obligatorio si sólo queremos resultados.

Wolfram Alpha | totumat.com review

Wolfram Alpha está disponible gratuitamente en wolframalpha.com y pagando, en iOS, Android y Microsoft.

Anuncios

Calculator N+

Mi calculadora de uso diario es la aplicación para Android Calculator N+. Es una calculadora open source, desarrollada por Trần Lê Duy que según su perfil de github, es un estudiante de la escuela secundaria Nguyen Binh Khiem que ama estudiar algoritmos.

Nota: open source comúnmente se refiere al software que utiliza un proceso de desarrollo abierto y tiene licencia para incluir el código fuente.

Esta calculadora provee resultados únicamente, sin procedimientos, pero la cantidad de funciones que se pueden aplicar es inmensa. Creo que el único defecto que tiene (por ahora), es que no tiene un buscador de funciones en la calculadora de la pantalla de inicio.

Además de la calculadora de la pantalla de inicio, esta aplicación cuenta con calculadoras específicas para trabajar con Ecuaciones, Derivadas, Integrales y Matrices, entre otras; esto es lo que amplía su versatilidad y comodidad.

Calculator N+ | totumat.com review
Calculator N+ | totumat.com review
Calculator N+ | totumat.com review

Calculator N+ está disponible únicamente para Android, sin embargo, al ser open source, puede ser construida desde su código siguiendo las instrucciones en GitHub.

Anuncios

GeoGebra

GeoGebra es una plataforma multifuncional de apoyo didáctico que merece un artículo entero para poder exponer todo lo que ofrece, sin embargo, en esta ocasión sólo nos enfocaremos en la calculadora que provee.

El fuerte de GeoGebra radica en las representaciones gráficas de Funciones, Ecuaciones e Inecuaciones, o de forma general, la interacción entre dos variables (aunque su aplicación para gráficos en 3D generaliza estos aspectos), sin embargo, también permite el cálculo de derivadas e integrales.

Las representaciones gráficas se pueden pueden personalizar para ilustrar con claridad cuáles son los elementos involucrados en los cálculos que se están efectuando.

GeoGebra | totumat.com review

Toda la gama de aplicaciones que provee GeoGebra está disponible en GeoGebra.com, iOS y Android.

Anuncios

Mathway

Mathway es una calculadora con una interfaz sencilla pero muy versátil a la hora de hacer cálculos, pues al igual que Wolfram Alpha, se basa en algoritmos innovadores e inteligencia artificial.

Si bien se pueden utilizar los botones de la aplicación para efectuar los cálculos, se puede indicar las instrucción (en inglés o español) y posteriormente obtener los resultados.

Mathway | totumat.com review
Mathway | totumat.com review
Mathway | totumat.com review

Al igual que Wolfram Alpha, se puede ver el desarrollo completo paso a paso para llegar al resultado final pagando una subscripción, pero no es obligatorio si sólo queremos resultados.

Mathway está disponible en Mathway.com, iOS y Android.

Anuncios

Symbolab

Symbolab es el hijo de Wolfram Alpha y Mathway, jaja, pues provee funcionalidades parecidas a ambas calculadoras y su interfaz también una mezcla de ambas (pero con más publicidad), sin embargo, es igual cómoda de usar.

Symbolab | totumat.com review

Al igual que Wolfram Alpha, se puede ver el desarrollo completo paso a paso para llegar al resultado final pagando una subscripción, pero no es obligatorio si sólo queremos resultados.

Symbolab está disponible en symbolab.com, iOS y Android.


Radicales

Al definir las potencias, encontramos una forma de denotar el producto de un número multiplicado por él mismo reiteradas veces. De esta forma tenemos que

  • Al considerar el número nueve, tres es un número tal que al multiplicarlo por él mismo, el resultado es exactamente nueve, es decir,
    3^2 = 9.
  • Al considerar el número cuatro, dos es un número tal que al multiplicarlo por él mismo, el resultado es exactamente cuatro, es decir,
    4^2 = 36.
  • Al considerar el número sesenta y cuatro, ocho es un número tal que al multiplicarlo por él mismo, el resultado es exactamente sesenta y cuatro, es decir,
    8^2 = 64.

También pudiera interesarte

Anuncios

Esta idea es bastante intuitiva pero, ¿y si consideramos el número dos? ¿Cuál el número tal que al multiplicarlo por sí mismo, el resultado es exactamente dos? ¿Será uno? ¿Dos? ¿Uno y un medio? ¿Uno y un cuarto? Los números número enteros o fracciones de enteros en los que podemos pensar no aportarán ninguna solución. Es por esto que recurrimos a un nuevo número que satisface esta condición, lo llamaremos es la raíz cuadrada de dos y usamos la notación de radical (\sqrt{ \ \ }) para denotarlo de la siguiente manera

raíz cuadrada de dos | totumat.com

Aunque no sepamos exactamente toda la extensión decimal de este número sabemos que, por definición, es un número tal que al multiplicarlo por él mismo, el resultado es exactamente dos, es decir, \left( \sqrt{2} \right)^2 = 2. Esta notación se puede extender para otros números en los que se presente la misma situación.

  • Al considerar el número cinco, la raíz cuadrada de cinco es un número tal que al multiplicarlo por él mismo, el resultado es exactamente cinco, es decir,
    \left( \sqrt{5} \right)^2 = 5.
  • Al considerar el número doce, la raíz cuadrada de doce es un número tal que al multiplicarlo por él mismo, el resultado es exactamente doce, es decir,
    \left( \sqrt{12} \right)^2 = 12.
  • Al considerar el número treinta, la raíz cuadrada de treinta es un número tal que al multiplicarlo por él mismo, el resultado es exactamente treinta, es decir,
    \left( \sqrt{30} \right)^2 = 30.
  • Al considerar el número uno, la raíz cuadrada de uno es un número tal que al multiplicarlo por él mismo, el resultado es exactamente uno, es decir,
    \left( \sqrt{1} \right)^2 = 1.
    En este caso, notemos que \sqrt{1} = 1.
  • Al considerar el número menos tres, podemos decir de forma general que la raíz cuadrada de un número negativo no está definida pues no existe un número que multiplicado por sí mismo sea un número negativo.
Anuncios

Muy bien, ahora, ¿cuál el número tal que al multiplicarlo por sí mismo tres veces, el resultado es exactamente dos? A este número lo llamaremos es la raíz cúbica de dos y usamos la notación de radical (\sqrt{ \ \ }) con el índice tres para denotarlo de la siguiente manera

raíz cúbica de dos | totumat.com

Aunque no sepamos exactamente toda la extensión decimal de este número sabemos que, por definición, es un número tal que al multiplicarlo por él mismo tres veces, el resultado es exactamente dos, es decir, \left( \sqrt[3]{2} \right)^3 = 2. Esta notación se puede extender para otros números en los que se presente la misma situación.

  • Al considerar el número siete, la raíz cúbica de siete es un número tal que al multiplicarlo por él mismo tres veces, el resultado es exactamente siete, es decir,
    \left( \sqrt[3]{7} \right)^{3} = 7.
  • Al considerar el número quince, la raíz cúbica de quince es un número tal que al multiplicarlo por él mismo tres veces, el resultado es exactamente quince, es decir,
    \left( \sqrt[3]{15} \right)^{3} = 15.
  • Al considerar el número menos uno, la raíz cúbica de menos uno es un número tal que al multiplicarlo por él mismo tres veces, el resultado es exactamente menos uno, es decir,
    \left( \sqrt[3]{-1} \right)^{3} = -1.
    En este caso, notemos que \sqrt[3]{-1} = -1.
  • Al considerar el número menos veinticuatro, la raíz cúbica de menos veinticuatro es un número tal que al multiplicarlo por él mismo tres veces, el resultado es exactamente menos veinticuatro, es decir,
    \left( \sqrt[3]{-24} \right)^{3} = -24.

Los radicales se pueden usar para expresar números que cumplen con este tipo de condiciones. De forma general podemos decir que si consideramos un número a y n un número entero mayor que uno, entonces definimos la raíz n-ésima de a como un número tal que al multiplicarlo por sí mismo n veces, el resultado es exactamente a, usamos la notación de radical (\sqrt{ \ \ }) con el índice n para denotarlo de la siguiente manera

radicales, índice y base | totumat.com

Considerando que si n es un número par, la raíz n-ésima de a está definida sólo si a \geq 0. De esta forma, tenemos que

  • Al considerar el número ocho, la raíz sexta de ocho es un número tal que al multiplicarlo por él mismo seis veces, el resultado es exactamente ocho, es decir,
    \left( \sqrt[6]{8} \right)^{6} = 8.
  • Al considerar el número menos diez, la raíz quinta de menos diez es un número tal que al multiplicarlo por él mismo cinco veces, el resultado es exactamente menos diez, es decir,
    \left( \sqrt[5]{-10} \right)^{5} = -10.
  • Al considerar el número trece, la raíz vigésima de trece es un número tal que al multiplicarlo por él mismo veinte veces, el resultado es exactamente trece, es decir,
    \left( \sqrt[20]{13} \right)^{20} = 13.

La Ecuación General de la Recta

Al aplicar la ecuación punto-punto debemos considerar dos casos particulares para los puntos P_1 = (x_1,y_1) y P_2 = (x_2,y_2), veamos que pasa si se cumple solo uno de los siguientes casos:

  • Si y_2 = y_1 , entonces la pendiente m queda expresada de la forma \frac{0}{r}, donde r es un número real distinto de cero.
  • Si x_2 = x_1 , entonces la pendiente m queda expresada de la forma \frac{r}{0}, donde r es un número real distinto de cero (recordemos además, que la división por cero no está definida).

Es necesario definir la recta de una forma que nos permita definir estos casos con mayor precisión. Definimos entonces La Ecuación General La Recta como una relación entre dos variables x y y a través de una igualdad, formalmente,

ax + by + c = 0

Donde a, b y c son números reales tal que a y b no son iguales a cero al mismo tiempo. De esta forma, podemos cubrir lo dos casos que hemos expuestos ya que,

  • Si a = 0 , entonces la ecuación general de la recta será de la forma y=r para algún número real r, es decir, todos los puntos de esta recta tendrán la misma coordenada en el Eje Y, más aún, su gráfica será una recta totalmente horizontal.
  • Si b = 0 , entonces la ecuación general de la recta será de la forma x=r para algún número real r, es decir, todos los puntos de esta recta tendrán la misma coordenada en el Eje X, más aún, su gráfica será una recta totalmente vertical.

Consideremos dos ejemplos que ilustren precisamente estos dos casos.

Anuncios

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la ecuación de la recta que pasa por los puntos P_1 = (1,2) y P_2 = (-3,2).

Podemos abordar este caso notando inmediatamente que la coordenada en el Eje Y es la misma para ambos puntos, que es 2. Sin embargo, veamos qué ocurre si aplicamos la ecuación punto-punto calculando previamente la pendiente.

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
= \frac{2 - 2}{-3 - 1}
= \frac{0}{-4}
= 0

Posteriormente aplicamos la ecuación punto-pendiente, escogiendo el punto de nuestra preferencia. Usemos el punto P_1

(y - y_2) = m \cdot (x - x_2)
\Rightarrow \ (y - 2) = 0 \cdot (x - 1)
\Rightarrow \ y - 2 = 0
\Rightarrow \ y = 2

Concluimos entonces que la ecuación de la recta que estamos buscando es y = 2 y para determinar su gráfica, simplemente trazamos una recta por todos los puntos de la forma (x,2).

Ejemplo 2

Calcule la ecuación de la recta que pasa por los puntos P_1 = (-1,5) y P_2 = (-1,-2).

Podemos abordar este caso notando inmediatamente que la coordenada en el Eje X es la misma para ambos puntos, que es -1. Sin embargo, veamos qué ocurre si aplicamos la ecuación punto-punto.

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
= \frac{-2 - 5}{-1 - (-1)}
= \frac{-7}{0}

Pero la división por cero no está definida, así que debemos considerar la ecuación punto-punto para notar que

\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}
\Rightarrow \ x - x_1 = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} (x_2 - x_1)
\Rightarrow \ (x - (-1)) = \frac{y - 5}{-2 - 5} (-1 - (-1))
\Rightarrow \ x + 1 = \frac{y - 5}{-7} ( 0 )
\Rightarrow \ x + 1 = 0
\Rightarrow \ x = - 1

Concluimos entonces que la ecuación de la recta que estamos buscando es x = -1 y para determinar su gráfica, simplemente trazamos una recta por todos los puntos de la forma (-1,y).


Anuncios

¿Cómo graficar rectas?

Si contamos la ecuación general de una recta, podemos graficarla simplemente calculando los puntos de intersección de esta con los ejes y posteriormente se traza la recta que pasa por estos dos. Veamos en los siguientes ejemplos como hacer esto.

Ejemplos

Ejemplo 3

Grafique la recta definida por la siguiente ecuación general x + y - 1 = 0.

Para determinar su gráfica, calcularemos los puntos de corte de la recta con los ejes. Entonces,

Si x= 0 \Rightarrow \ (0) + y - 1 = 0
\Rightarrow \ y = 1

Es decir, el punto de corte con el Eje Y es (0,1)

Si y = 0 \Rightarrow \ x + (0) - 1 = 0
\Rightarrow \ x = 1

Es decir, el punto de corte con el Eje X es (1,0)

Ejemplo 4

Grafique la recta definida por la siguiente ecuación general 2x - 3y + 4 = 0

Para determinar su gráfica, calcularemos los puntos de corte de la recta con los ejes. Entonces,

Si x= 0 \Rightarrow \ 2(0) - 3 y + 4 = 0
\Rightarrow \ -3y = -4
\Rightarrow \ y = \frac{-4}{-3}
\Rightarrow \ y = \frac{4}{3}

Es decir, el punto de corte con el Eje Y es \left( 0, \frac{4}{3} \right)

Si y = 0 \Rightarrow \ 2x - 3(0) + 4 = 0
\Rightarrow \ 2x = -4
\Rightarrow \ x = \frac{-4}{2}
\Rightarrow \ x = -2

Es decir, el punto de corte con el Eje X es (-2,0)

Anuncios

Ejemplo 5

Grafique la recta definida por la siguiente ecuación general 5x - y - 1 = 0

Para determinar su gráfica, calcularemos los puntos de corte de la recta con los ejes. Entonces,

Si x= 0 \Rightarrow \ 5(0) - y - 1 = 0
\Rightarrow \ - y = 1
\Rightarrow \ y = - 1

Es decir, el punto de corte con el Eje Y es \left( 0, -1 \right)

Si y = 0 \Rightarrow \ 5x - (0) - 1 = 0
\Rightarrow \ 5x = 1
\Rightarrow \ x = \frac{1}{5}

Es decir, el punto de corte con el Eje X es \left( \frac{1}{5} , 0 \right)


Números Racionales

¿Qué es la división?

Suponga que usted tiene cuatro panes y desea repartirlos a dos niños de modo que ambos queden contentos, usted le da dos panes a cada niño. Ahora, suponga que tiene dos panes y desea repartirlos entre cuatro niños de modo que todos queden contentos, lo más sensato es partir cada pan por la mitad y darle una mitad a cada niño, muy bien pero, ¿cómo representa esta situación con números?

También pudiera interesarte

Anuncios

Esta situación es representada usando la notación 2 \div 4, esto se lee “dos dividido entre cuatro” e indica la repartición de dos objetos en cuatro partes iguales y se conoce como división. Si usamos una calculadora o usamos el método de división larga obtenemos el valor 0,5.

Por otra parte, si usted tiene una torta y quiere repartirla entre dos niños, le da la mitad a cada uno. Esto lo representamos con la división 1 \div 2 cuyo resultado es 0,5. En otra situación, suponga que tiene siete litros de agua y quiere verterlos equitativamente entre catorce recipientes, en este caso debe llenar cada uno de los recipientes con medio litro de agua, esto lo representamos con la división 7 \div 14 cuyo resultado es 0,5. Notemos que se nos pueden presentar muchas ocasiones en el que obtenemos el valor 0,5, es decir, podemos pensar en varias combinaciones de números cuya división nos dé como resultado 0,5.

Definiremos los Números Racionales para expresar todas las divisiones posibles. Para cualquier par de números enteros a y b (con b \neq 0), definiremos un nuevo número de la forma \frac{a}{b} que representa el resultado de la división a \div b. Entonces el conjunto de los números racionales lo denotaremos por \mathbb{Q} y estará definido de la siguiente manera:

El conjunto de los números racionales | totumat.com

Estos números representarán todas las divisiones posibles entre dos números enteros. Particularmente podemos considerar las divisiones de la forma a \div 1 para notar que 3 \div 1 = 3, 10 \div 1 = 10, -2 \div 1 = -2, 45 \div 1 = 45. En general si a \in \mathbb{Z} entonces a \div 1 = a. Esto nos indica que todo número entero se puede representar como la división entre dos números enteros y por lo tanto el conjunto de los números Enteros es un subconjunto del conjunto de los números Racionales, es decir,

El conjunto de los números enteros está contenido en el conjunto de los números racionales | totumat.com
El conjunto de los números enteros está contenido en el conjunto de los números racionales

Todos estos números tendrán una particularidad y es que siempre representarán un número con una extensión decimal finita como por ejemplo \frac{1}{2} = 0,5 o representarán números con extensión decimal infinita periódica, es decir, que se repite indefinidamente, como por ejemplo \frac{1}{3} = 0,333333...

Será posible representar gráficamente algunos elementos de este conjunto, sin embargo, no podremos representarlos todos porque este trabajo sería imposible. Hay que destacar que los números racionales llenan los espacios que encontramos entre cada par de números enteros.

Representación gráfica de algunos números racionales | totumat.com
Representación gráfica de algunos números racionales

Es importante destacar algunas divisiones particulares y para esto consideremos dos números enteros a y b.

Las siguiente divisiones nos indican que así como hay una “ley de los signos” para la multiplicación, también la hay para la división,

Ley de los Signos para la división

La expresión \frac{a}{b} también se conoce como Fracción y se puede conocer con más detalle haciendo click en el siguiente enlace: https://totumat.com/2020/04/25/fracciones/

Conjuntos

¿Qué es un conjunto?

Un Conjunto es una agrupación de objetos de cualquier índole. Por ejemplo: El conjunto de los días de la semana, el conjunto de los meses de un año, el conjunto de los colores del arcoiris, el conjunto de los números que puedo contar con los dedos de una mano, el conjunto de carros en concesionario, el conjunto de los alumnos inscritos en una institución, el conjunto de gatos en una casa o el conjunto de granos de arena en una playa. Generalmente consideraremos conjuntos cuyos objetos posean una característica en común. Por ejemplo,

  • {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes Sábado, Domingo}.
  • {rojo, naranja, amarillo, verde, azul, indigo, violeta}.
  • {1,2,3,4,5}.
  • {Alumnos inscritos en la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales}.
  • {Carros en un concesionario : sean azules}.

Note que en este último ejemplo, primero definimos el objeto y después describimos la propiedad común que tienen todos los elementos del conjunto comparten. Los dos puntos (:) se leen tal que, entonces este último conjunto se lee El conjunto de los carros en un concesionario tales que sean azules.

Usualmente denotaremos los conjuntos con letras mayúsculas (A, B, C, D, …), a cada objeto perteneciente al conjunto lo llamaremos elemento del conjunto y los denotaremos con letras minúsculas (a, b, c, d, …). Para denotar que un elemento a está en un conjunto A escribimos,

a pertenece a A | totumat.com

Eso se lee a pertenece a A.

Anuncios

Subconjuntos

Un subconjunto de un conjunto es una agrupación de objetos que pertenece a un conjunto de objetos. Por ejemplo, considerando los conjuntos arriba descritos: El conjunto de carros azules en un concesionario, el conjunto de los alumnos menores de edad inscritos en una universidad, el conjunto de gatos negros en una casa. Para denotar que un conjunto A es subconjunto de un conjunto B, escribimos

A está contenido en B | totumat.com

Esto se lee “A está contenido en B” y en el siguiente Diagrama de Venn representamos un conjunto contenido dentro de otro.

Ejemplos

Ejemplo 1

El conjunto formado por el día sábado, es un subconjunto del conjunto de los días de la semana, es decir,

{Sábado} \subset {Sábado, Domingo}

Ejemplo 2

El conjunto de los números \{1,2,3,4\} es un subconjunto del conjunto {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, es decir,

\{1,2,3,4\} \subset \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}

Ejemplo 3

El conjunto de todos los alumnos de alto promedio Inscritos en la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales es un subconjunto de los Alumnos inscritos en la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales.


Los conjuntos los podemos describir de dos formas: extensivamente o comprensivamente. En la primera se nombrarán todos los elementos del conjunto y en la segunda se describe indicando una propiedad común que tengan todos los elementos del conjunto. La notación que usaremos para escribir los conjuntos será encerrando sus elementos o describiendo su propiedad común entre llaves entre llaves “{ }”.

Por ejemplo, podemos definir el conjunto de todos los números pares extensivamente de la siguiente forma:

El conjunto de todos los números pares.

Sin embargo, también podemos definir este mismo conjunto de forma compresiva así:

El conjunto de todos los números pares.

Nota: Definimos qué es un conjunto con el propósito de entender a qué referirnos cuando hablamos de conjuntos numéricos.