Consideremos en el plano cartesiano varios conjuntos de particular interés, por ejemplo, si consideramos todos los puntos $(x,y)$ tales que $y=x$ , es decir, $\{ (x,y) : y=x, x \in R \}$ . Podemos graficar este conjunto considerando algunos valores de $x$ para determinar cual es su valor de $y$ correspondiente usando una tabla de valores y ubicándolos posteriormente en el plano cartesiano.

Recta Identidad Función Identidad Función Afín | totumat.com

Notemos que no podemos representar todos los puntos de este conjunto de forma exhaustiva, pero si pudiéramos hacerlo, éstos determinan una línea recta con 45 grados de inclinación respecto al Eje X. A esta recta la llamaremos recta identidad.

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Traslación de rectas

El conjunto $\{ (x,y) : y=x+1, x \in R \}$ , podemos graficar este conjunto considerando algunos valores de $x$ para determinar cual es su valor de $y$ correspondiente usando una tabla de valores y ubicándolos posteriormente en el plano cartesiano.

El conjunto $\{ (x,y) : y=x-1, x \in R \}$ , podemos graficar este conjunto considerando algunos valores de $x$ para determinar cual es su valor de $y$ correspondiente usando una tabla de valores y ubicándolos posteriormente en el plano cartesiano.

En estos dos últimos conjuntos, notamos que: al sumar 1, graficamos la recta identidad trasladada en una unidad hacia arriba; al restar 1, graficamos la recta identidad trasladada en una unidad hacia abajo. En general, si consideramos un conjunto de la forma $\{ (x,y) : y=x+a, x \in R \}$ , entonces consideramos dos casos:

Si $a>0$ , entonces el conjunto representa a la recta identidad trasladada en $a$ unidades hacia arriba.
Si $a<0$ , entonces el conjunto representa a la recta identidad trasladada en $a$ unidades hacia abajo.

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Rotación de rectas

Si consideramos todos los puntos $(x,y)$ tales que $y=2x$ , es decir, $\{ (x,y) : y=2x, x \in R \}$ , cambiará la situación respecto a los casos anteriores. Hagamos una tabla de valores y posteriormente grafiquemos:

El conjunto $\{ (x,y) : y=\frac{1}{2}x, x \in R \}$ , podemos graficar este conjunto considerando algunos valores de $x$ para determinar cual es su valor de $y$ correspondiente usando una tabla de valores y ubicándolos posteriormente en el plano cartesiano.

En estos dos últimos conjuntos, notamos que: al multiplicar por 2, graficamos la recta identidad trasladada en una unidad hacia arriba; al multiplicar por $\frac{1}{2}$ , graficamos la recta identidad trasladada en una unidad hacia abajo. En general, si consideramos un conjunto de la forma $\{ (x,y) : y=a\cdot x, x \in R \}$ , entonces consideramos dos casos:

Si $a>1$ , entonces el conjunto representa a la recta identidad rotada en sentido antihorario.
Si $a<1$ , entonces el conjunto representa a la recta identidad rotada en sentido horario.

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Reflexión de rectas

Por último, si consideramos todos los puntos $(x,y)$ tales que $y=-x$ , es decir, $\{ (x,y) : y=-x, x \in R \}$ , este conjunto será el opuesto a la recta identidad. Hagamos una tabla de valores y posteriormente grafiquemos:

Notamos que al multiplicar por -1, hemos reflejado la recta identidad respecto al Eje X, visualmente lo que ocurrió es que lo que estaba arriba pasó a estar debajo y lo que estaba debajo pasó a estar arriba. En general, si $a>0$ , un conjunto de la forma $\{ (x,y) : y=-a\cdot x, x \in R \}$ , entonces el conjunto representa a la recta $\{ (x,y) : y=a\cdot x, x \in R \}$ reflejada respecto al Eje X.

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La ecuación pendiente-ordenada de la recta

A partir de todos estos conjuntos, podemos definir de forma general un conjunto que engloba todos estos casos. Definimos una recta como el conjunto

$\{ (x,y) : y=m\cdot x + b, x \in R \}$

Donde m será conocida como la pendiente de la recta y determina la inclinación de la recta, b es conocido como el intercepto de la recta y determina el punto de corte de la recta con el Eje Y.

Usualmente nos referiremos a las rectas por la ecuación que las define para abreviar el conjunto y las denotaremos con la letra l (por la palabra line en inglés). De la forma que hemos definido la recta, diremos que está definida por la ecuación pendiente-ordenada o pendiente-intercepto y las expresaremos así

$l : y=m \cdot x + b$

Las rectas constituyen una parte importante de las matemáticas, pues con ellas se pueden definir modelos básico para describir distintos fenómenos y así facilitar su entendimiento. Eventualmente nos toparemos con conjuntos del plano cartesiano un poco más complejos pero de momento, nos detendremos a estudiar las rectas con profundidad.

3 comentarios en “Rectas”

[…] la ecuación de la recta de ingresos totales también se le conoce como la ecuación lineal de ingresos totales. Veamos en […]

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[…] y representando los costos fijos con una constante para establecer una similitud con la forma pendiente-ordenada de la recta, podemos definir los costos totales como una recta, de la siguiente […]

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[…] dos rectas se intersectan (o intersecan), hemos mencionado que éstas se intersectan en un único punto, sin […]

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