Ecuación Lineal de Ingresos Totales

Suponga que usted quiere iniciar un negocio fabricando tapabocas para su venta. Una vez que ha fabricado los tapabocas, usted fija el precio de venta de cada tapabocas en 100 Ps. De esta forma, si usted vende un tapabocas, habrá recibido un total de 100 Ps.; si usted vende dos tapabocas, habrá recibido un total de 200 Ps.; si usted vende tres tapabocas, habrá recibido un total de 300 Ps.; y de forma sucesiva, si vende q tapabocas, habrá recibido un total de 100 \cdot q Ps.

Nota: Perolitos (Ps.) es la moneda oficial de totumat.

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La cantidad de dinero recibida por la venta de todas las unidades producidas de un artículo se conoce como ingreso total y de forma general, el ingreso se calcula multiplicando el precio por las cantidades vendidas. Formalmente, si identificamos el precio del artículo con la variable p, las cantidades vendidas con la variable q y el ingreso total con la variable I, entonces podemos definir la siguiente ecuación:

I = p \cdot q

Aunque el precio de un artículo puede variar dependiendo de la cantidad que se oferte de esta, podemos estudiar la relación que guardan la cantidad de unidades vendidas de un artículo con el ingreso total y para esto definimos un plano cartesiano cuyos ejes están definidos por el ingreso total, I; y las cantidades producidas del bien, q.

Establecemos una interpretación gráfica de estas relaciones notando que a medida que aumentan las cantidades vendidas, también aumenta el ingreso total. Particularmente, si el precio de un artículo es constante, el ingreso estará representado por una recta.

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A la ecuación de la recta de ingresos totales también se le conoce como la ecuación lineal de ingresos totales. Veamos en los siguientes ejemplos, cómo podemos usar la información sobre el precio un artículo para definir la ecuación lineal de ingresos totales.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Un productor de harina de trigo, fija el precio de cada cada kilo de harina en 1,2 Ps. ¿Cuál es la ecuación lineal de ingresos totales? ¿Cuál es el ingreso generado al vender 60 kilos?

Considerando que el precio kilo de harina es de 0,70 Ps., podemos expresar la ecuación lineal de ingresos totales de la siguiente forma:

I =1,2 \cdot q

Para determinar el costo de fabricar 60 kilos de harina, debemos considerar la ecuación lineal de ingresos totales y sustituir el valor q=60 en ella, de la siguiente forma

I = 1,2 \cdot (60) = 72

Por lo tanto, el ingreso generado por la venta de 60 kilos de harina es de 72 Ps.

La recta I =1,2 \cdot q es llamada la Ecuación Lineal de Ingresos Totales. Este tipo de ecuaciones siempre tendrá pendiente positiva, su gráfica será una recta creciente y pasa por el punto (60,72).

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Ejemplo 2

Suponga que un agricultor fija el precio de 10 kilos de zanahoria en 115 Ps., y el de 20 kilos de zanahoria en 185 Ps. ¿Cuál es la ecuación lineal de ingresos totales? ¿Cuál es el ingreso generado por la venta 30 kilos?

Debemos considerar que si el ingreso total es de 110 Ps. por la venta de 10 kilos, podemos representar esta información como un punto (I,q) el plano cartesiano donde q=10 y I=110, es decir, el punto (10,110); de igual forma, si el ingreso total es de 220 Ps. por la venta de 20 kilos, podemos representar esta información con el punto (20,220).

De esta forma, si contamos con estos dos puntos, podemos calcular la recta que pasa por ellos usando la ecuación punto-punto. Entonces, si P_1 = (10,115) y P_2 = (20,185) son dos puntos en el plano cartesiano, calculamos el valor de la pendiente,

m = \ \frac{I_2 - I_1}{q_2 - q_1}
= \ \frac{220 - 110}{20 - 10}
= \ \frac{110}{10}
= \ 11

Posteriormente aplicamos la ecuación punto-pendiente, escogiendo el punto de nuestra preferencia. Usemos el punto P_1

(I - I_1) = m \cdot (q - q_1)
\Rightarrow \ (I - 110) = 11 \cdot (q - 10)
\Rightarrow \ I - 110 = 11 \cdot q - 110
\Rightarrow \ I = 11 \cdot q - 110 + 110
\Rightarrow \ I = 11 \cdot q

La recta que pasa por los puntos P_1 y P_2 es llamada la Ecuación Lineal de Ingresos Totales. Este tipo de ecuaciones siempre tendrá pendiente positiva y su gráfica será una recta creciente.

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Para determinar el ingreso por la venta de 30 kilos de zanahoria, debemos considerar la ecuación lineal de ingresos totales y sustituir el valor q=30 en ella, de la siguiente forma

I = 11 \cdot (30) = 330

Por lo tanto, el ingreso de cultivar y cosechar 30 kilos de zanahoria es de 330 Ps.

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Ejemplo 3

Suponga que en una fábrica de zapatos fija el precio de venta de 5 pares de zapatos para dama en 130 Ps., y el de 13 pares de zapatos en 338 Ps. ¿Cuál es la ecuación lineal de ingresos totales? ¿Cuál es el ingreso generado por la venta de 10 pares de zapatos?

Debemos considerar que si el ingreso total es de 130 Ps. por la venta de 5 pares, podemos representar esta información como el punto (5,130); de igual forma, si el ingreso total es de 338 Ps. por la venta de 13 pares, podemos representar esta información con el punto (13,338).

De esta forma, si contamos con estos dos puntos, podemos calcular la recta que pasa por ellos usando la \textbf{ecuación punto-punto}. Entonces, si P_1 = (5,130) y P_2 = (13,338) son dos puntos en el plano cartesiano, calculamos el valor de la pendiente,

m = \ \frac{I_2 - I_1}{q_2 - q_1}
= \ \frac{338 - 130}{13 - 5}
= \ \frac{208}{8}
= \ 26

Posteriormente aplicamos la ecuación punto-pendiente, escogiendo el punto de nuestra preferencia. Usemos el punto P_1

(I - I_1) = m \cdot (q - q_1)
\Rightarrow \ (I - 130) = 26 \cdot (q - 5)
\Rightarrow \ I - 130 = 26 \cdot q - 130
\Rightarrow \ I = 26 \cdot q - 130 + 130
\Rightarrow \ I = 26 \cdot q

La recta que pasa por los puntos P_1 y P_2 es llamada la Ecuación Lineal de Ingresos Totales. Este tipo de ecuaciones siempre tendrá pendiente positiva y su gráfica será una recta creciente.

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Para determinar el ingreso generado por la venta de 10 pares de zapatos para dama, debemos considerar la ecuación lineal de ingresos totales y sustituir el valor q=10 en ella, de la siguiente forma

I = 26 \cdot (10) = 260

Por lo tanto, el ingreso generado por la venta de 10 pares de zapatos para dama es de 260 Ps.


¿Tienes dudas? ¿Necesitas más ejemplos? No dudes en escribir.

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