Ecuación Lineal

Suponga que usted quiere iniciar un negocio fabricando tapabocas para su venta. Una vez que ha fabricado los tapabocas, usted fija el precio de venta de cada tapabocas en 100 Ps. De esta forma, si usted vende un tapabocas, habrá recibido un total de 100 Ps.; si usted vende dos tapabocas, habrá recibido un total de 200 Ps.; si usted vende tres tapabocas, habrá recibido un total de 300 Ps.; y de forma sucesiva, si vende $q$ tapabocas, habrá recibido un total de $100 \cdot q$ Ps.

Nota: Perolitos (Ps.) es la moneda oficial de totumat.

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La cantidad de dinero recibida por la venta de todas las unidades producidas de un artículo se conoce como ingreso total y de forma general, el ingreso se calcula multiplicando el precio por las cantidades vendidas. Formalmente, si identificamos el precio del artículo con la variable $p$ , las cantidades vendidas con la variable $q$ y el ingreso total con la variable $I$ , entonces podemos definir la siguiente ecuación:

$I = p \cdot q$

Aunque el precio de un artículo puede variar dependiendo de la cantidad que se oferte de esta, podemos estudiar la relación que guardan la cantidad de unidades vendidas de un artículo con el ingreso total y para esto definimos un plano cartesiano cuyos ejes están definidos por el ingreso total, $I$ ; y las cantidades producidas del bien, $q$ .

Establecemos una interpretación gráfica de estas relaciones notando que a medida que aumentan las cantidades vendidas, también aumenta el ingreso total. Particularmente, si el precio de un artículo es constante, el ingreso estará representado por una recta.

Ecuación Lineal de Ingresos Totales | totumat.com

A la ecuación de la recta de ingresos totales también se le conoce como la ecuación lineal de ingresos totales. Veamos en los siguientes ejemplos, cómo podemos usar la información sobre el precio un artículo para definir la ecuación lineal de ingresos totales.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Un productor de harina de trigo, fija el precio de cada cada kilo de harina en $1,2$ Ps. ¿Cuál es la ecuación lineal de ingresos totales? ¿Cuál es el ingreso generado al vender $60$ kilos?

Considerando que el precio kilo de harina es de $0,70$ Ps., podemos expresar la ecuación lineal de ingresos totales de la siguiente forma:

$I =1,2 \cdot q$

Para determinar el costo de fabricar $60$ kilos de harina, debemos considerar la ecuación lineal de ingresos totales y sustituir el valor $q=60$ en ella, de la siguiente forma

$I = 1,2 \cdot (60) = 72$

Por lo tanto, el ingreso generado por la venta de $60$ kilos de harina es de $72$ Ps.

La recta $I =1,2 \cdot q$ es llamada la Ecuación Lineal de Ingresos Totales. Este tipo de ecuaciones siempre tendrá pendiente positiva, su gráfica será una recta creciente y pasa por el punto $(60,72)$ .

Ejemplo 2

Suponga que un agricultor fija el precio de $10$ kilos de zanahoria en $115$ Ps., y el de $20$ kilos de zanahoria en $185$ Ps. ¿Cuál es la ecuación lineal de ingresos totales? ¿Cuál es el ingreso generado por la venta $30$ kilos?

Debemos considerar que si el ingreso total es de $110$ Ps. por la venta de $10$ kilos, podemos representar esta información como un punto $(I,q)$ el plano cartesiano donde $q=10$ y $I=110$ , es decir, el punto $(10,110)$ ; de igual forma, si el ingreso total es de $220$ Ps. por la venta de $20$ kilos, podemos representar esta información con el punto $(20,220)$ .

De esta forma, si contamos con estos dos puntos, podemos calcular la recta que pasa por ellos usando la ecuación punto-punto. Entonces, si $P_1 = (10,115)$ y $P_2 = (20,185)$ son dos puntos en el plano cartesiano, calculamos el valor de la pendiente,

$m = \ \frac{I_2 - I_1}{q_2 - q_1}$
$= \ \frac{220 - 110}{20 - 10}$
$= \ \frac{110}{10}$
$= \ 11$

Posteriormente aplicamos la ecuación punto-pendiente, escogiendo el punto de nuestra preferencia. Usemos el punto $P_1$

$(I - I_1) = m \cdot (q - q_1)$
$\Rightarrow \ (I - 110) = 11 \cdot (q - 10)$
$\Rightarrow \ I - 110 = 11 \cdot q - 110$
$\Rightarrow \ I = 11 \cdot q - 110 + 110$
$\Rightarrow \ I = 11 \cdot q$

La recta que pasa por los puntos $P_1$ y $P_2$ es llamada la Ecuación Lineal de Ingresos Totales. Este tipo de ecuaciones siempre tendrá pendiente positiva y su gráfica será una recta creciente.

Para determinar el ingreso por la venta de $30$ kilos de zanahoria, debemos considerar la ecuación lineal de ingresos totales y sustituir el valor $q=30$ en ella, de la siguiente forma

$I = 11 \cdot (30) = 330$

Por lo tanto, el ingreso de cultivar y cosechar $30$ kilos de zanahoria es de $330$ Ps.

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Ejemplo 3

Suponga que en una fábrica de zapatos fija el precio de venta de $5$ pares de zapatos para dama en $130$ Ps., y el de $13$ pares de zapatos en $338$ Ps. ¿Cuál es la ecuación lineal de ingresos totales? ¿Cuál es el ingreso generado por la venta de $10$ pares de zapatos?

Debemos considerar que si el ingreso total es de $130$ Ps. por la venta de $5$ pares, podemos representar esta información como el punto $(5,130)$ ; de igual forma, si el ingreso total es de $338$ Ps. por la venta de $13$ pares, podemos representar esta información con el punto $(13,338)$ .

De esta forma, si contamos con estos dos puntos, podemos calcular la recta que pasa por ellos usando la \textbf{ecuación punto-punto}. Entonces, si $P_1 = (5,130)$ y $P_2 = (13,338)$ son dos puntos en el plano cartesiano, calculamos el valor de la pendiente,

$m = \ \frac{I_2 - I_1}{q_2 - q_1}$
$= \ \frac{338 - 130}{13 - 5}$
$= \ \frac{208}{8}$
$= \ 26$

Posteriormente aplicamos la ecuación punto-pendiente, escogiendo el punto de nuestra preferencia. Usemos el punto $P_1$

$(I - I_1) = m \cdot (q - q_1)$
$\Rightarrow \ (I - 130) = 26 \cdot (q - 5)$
$\Rightarrow \ I - 130 = 26 \cdot q - 130$
$\Rightarrow \ I = 26 \cdot q - 130 + 130$
$\Rightarrow \ I = 26 \cdot q$

Para determinar el ingreso generado por la venta de $10$ pares de zapatos para dama, debemos considerar la ecuación lineal de ingresos totales y sustituir el valor $q=10$ en ella, de la siguiente forma

$I = 26 \cdot (10) = 260$

Por lo tanto, el ingreso generado por la venta de $10$ pares de zapatos para dama es de $260$ Ps.

Suponga que usted quiere iniciar un negocio fabricando tapabocas para su venta. En vista de que estos tapabocas no aparecerán por arte de magia para que usted los venda, debe tomar en cuenta la cantidad de dinero que debe invertir para comprar los materiales necesarios y en tal caso que requiera de la ayuda de alguien, debe pagar a esa persona por sus servicios.

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Producir un bien requiere de una inversión de dinero, esta inversión de dinero se conoce como costos de producción y se puede cuantificar a usando modelos matemáticos, pero para esto debemos tener en cuenta que estos se pueden catalogar de dos formas:

Costos variables que varían dependiendo principalmente de la cantidad de unidades producidas de dicho bien (nivel de producción) y aunque también pueden depender de otros factores, por ahora nos enfocaremos sólo en el nivel de producción. Usualmente se representan con la variable $c_v$ .
Costos fijos que permanecen constantes a través del tiempo, tal como alquiler de locales, salarios de administración, pago de servicios, pago de seguros, etc; y deben pagarse incluso si hay producción o no. Usualmente se representan con la variable $c_f$ .

Considerando esto, definimos costos totales como la suma de los costos variables y los costos fijos. Formalmente, si identificamos los costos totales con la variable $c_t$ o simplemente $C$ , entonces podemos definir la siguiente ecuación:

$c_t = c_v + c_f$

Si consideramos el caso en el que los costos variables dependen únicamente del nivel de producción, podemos estudiar la relación que guarda la cantidad de unidades producidas de un artículo con los costos totales y para esto definimos un plano cartesiano cuyos ejes están definidos por los costos totales, $C$ ; y las cantidades producidas del bien, $q$ .

De forma muy particular, el caso en el que los costos variables son proporcionales al nivel de producción, de forma que si el costo de producir una unidad es de $m$ , entonces los costos variables de producir $q$ unidades están expresados de la siguiente forma:

$c_v = m \cdot q$

A partir de este hecho y representando los costos fijos con una constante $b$ para establecer una similitud con la forma pendiente-ordenada de la recta, podemos definir los costos totales como una recta, de la siguiente forma:

Establecemos una interpretación gráfica de estas relaciones notando que a medida que aumentan las cantidades producidas, también aumentan los costos totales.

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