Suponga que usted quiere iniciar un negocio fabricando tapabocas para su venta. En vista de que estos tapabocas no aparecerán por arte de magia para que usted los venda, debe tomar en cuenta la cantidad de dinero que debe invertir para comprar los materiales necesarios y en tal caso que requiera de la ayuda de alguien, debe pagar a esa persona por sus servicios.

Producir un bien requiere de una inversión de dinero, esta inversión de dinero se conoce como costos de producción y se puede cuantificar a usando modelos matemáticos, pero para esto debemos tener en cuenta que estos se pueden catalogar de dos formas:

• Costos variables que varían dependiendo principalmente de la cantidad de unidades producidas de dicho bien (nivel de producción) y aunque también pueden depender de otros factores, por ahora nos enfocaremos sólo en el nivel de producción. Usualmente se representan con la variable .
• Costos fijos que permanecen constantes a través del tiempo, tal como alquiler de locales, salarios de administración, pago de servicios, pago de seguros, etc; y deben pagarse incluso si hay producción o no. Usualmente se representan con la variable .

Considerando esto, definimos costos totales como la suma de los costos variables y los costos fijos. Formalmente, si identificamos los costos totales con la variable o simplemente , entonces podemos definir la siguiente ecuación:

Si consideramos el caso en el que los costos variables dependen únicamente del nivel de producción, podemos estudiar la relación que guarda la cantidad de unidades producidas de un artículo con los costos totales y para esto definimos un plano cartesiano cuyos ejes están definidos por los costos totales, ; y las cantidades producidas del bien, .

De forma muy particular, el caso en el que los costos variables son proporcionales al nivel de producción, de forma que si el costo de producir una unidad es de , entonces los costos variables de producir unidades están expresados de la siguiente forma:

A partir de este hecho y representando los costos fijos con una constante para establecer una similitud con la forma pendiente-ordenada de la recta, podemos definir los costos totales como una recta, de la siguiente forma:

Establecemos una interpretación gráfica de estas relaciones notando que a medida que aumentan las cantidades producidas, también aumentan los costos totales.

Ejemplos

Ejemplo 1

En una fábrica de harina de trigo, el costo de fabricar cada kilo de harina es de Ps. y diariamente, los costos fijos de esta empresa son de Ps. ¿Cuál es la ecuación lineal de costos totales? ¿Cuál es el costo de producir kilos?

Considerando que el costo de cada kilo de harina es de Ps., concluimos que los costos variables están expresados como , y además, los costos fijos son de Ps. De esta forma, podemos expresar la ecuación lineal de costos totales de la siguiente forma:

Para determinar el costo de fabricar kilos de harina, debemos considerar la ecuación lineal de costos totales y sustituir el valor en ella, de la siguiente forma

Por lo tanto, el costo de fabricar kilos de harina es de Ps.

La recta es llamada la Ecuación Lineal de Costos Totales. Este tipo de ecuaciones siempre tendrá pendiente positiva, su gráfica será una recta creciente y pasa por el punto .

Ejemplo 2

Suponga que para un agricultor, el costo de cultivar y cosechar kilo de zanahoria es de Ps., y el de kilos de zanahoria es de Ps. ¿Cuál es la ecuación lineal de costos totales? ¿Cuál es el costo de cultivar y cosechar kilos?

Debemos considerar que si el costo total es de Ps. para kilos, podemos representar esta información como un punto el plano cartesiano donde y , es decir, el punto ; de igual forma, si el costo total es de Ps. para kilos, podemos representar esta información con el punto .

De esta forma, si contamos con estos dos puntos, podemos calcular la recta que pasa por ellos usando la ecuación punto-punto. Entonces, si y son dos puntos en el plano cartesiano, calculamos el valor de la pendiente,

Posteriormente aplicamos la ecuación punto-pendiente, escogiendo el punto de nuestra preferencia. Usemos el punto

La recta que pasa por los puntos y es llamada la Ecuación Lineal de Costos Totales. Este tipo de ecuaciones siempre tendrá pendiente positiva y su gráfica será una recta creciente.

Para determinar el costo de cultivar y cosechar kilos de zanahoria, debemos considerar la ecuación lineal de costos totales y sustituir el valor en ella, de la siguiente forma

Por lo tanto, el costo de cultivar y cosechar kilos de zanahoria es de Ps.

Ejemplo 3

Suponga que en una fábrica de zapatos, el costo producir pares de zapatos para dama es de Ps., y el de pares de zapatos es de Ps. ¿Cuál es la ecuación lineal de costos totales? ¿Cuál es el costo de producir pares de zapatos?

Debemos considerar que si el costo total es de Ps. para pares, podemos representar esta información como el punto ; de igual forma, si el costo total es de Ps. para pares, podemos representar esta información con el punto .

De esta forma, si contamos con estos dos puntos, podemos calcular la recta que pasa por ellos usando la \textbf{ecuación punto-punto}. Entonces, si y son dos puntos en el plano cartesiano, calculamos el valor de la pendiente,

Posteriormente aplicamos la ecuación punto-pendiente, escogiendo el punto de nuestra preferencia. Usemos el punto

La recta que pasa por los puntos y es llamada la Ecuación Lineal de Costos Totales. Este tipo de ecuaciones siempre tendrá pendiente positiva y su gráfica será una recta creciente.

Para determinar el costo de producir pares de zapatos para dama, debemos considerar la ecuación lineal de costos totales y sustituir el valor en ella, de la siguiente forma

Por lo tanto, el costo de producir pares de zapatos para dama es de Ps.

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