Sucesiones Aritméticas

Las sucesiones aritméticas (o progresiones aritméticas) son un tipo especial de sucesiones que parten desde un elemento básico y a partir de ahí, se suma una razón repetidas veces. Formalmente, diremos que $\{ a_n \}_{n}$ es una sucesión aritmética si

Diremos que el primer elemento de la sucesión, $a_1$ es la base de la sucesión y, diremos que el número real $r$ es la razón de la sucesión, podemos notar que este último está determinado por la diferencia entre dos elementos consecutivos de la sucesión.

Consideremos en los siguientes ejemplos, algunas sucesiones aritméticas para tener una idea más concreta de su comportamiento.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Si consideramos la sucesión $\{1,2,3,4,5,6, \ldots\}$ . Su base será $a_1 = 1$ y su razón será $r = 1$ . Por lo tanto, la forma general de esta sucesión está definida de la siguiente manera:

$a_n = 1 + 1 \cdot (n-1)$

Ejemplo 2

Si consideramos la sucesión $\{5,8,11,14,17,20, \ldots\}$ . Su base será $a_1 = 5$ y su razón será $r = 3$ . Por lo tanto, la forma general de esta sucesión está definida de la siguiente manera:

$a_n = 5 + 3 \cdot (n-1)$

Ejemplo 3

Si consideramos la sucesión $\{-4,-14,-24,-34,-44,-54, \ldots\}$ . Su base será $a_1 = -4$ y su razón será $r = -10$ . Por lo tanto, la forma general de esta sucesión está definida de la siguiente manera:

$a_n = -4 -10 \cdot (n-1)$

Ejemplo 4

Si consideramos la sucesión $\{8,1,-6,-13,-20,-27, \ldots\}$ . Su base será $a_1 = 8$ y su razón será $r = -7$ . Por lo tanto, la forma general de esta sucesión está definida de la siguiente manera:

$a_n = 8 -7 \cdot (n-1)$

Ejemplo 5

Si consideramos la sucesión $\{7,9,11,13,15,17, \ldots\}$ . Su base será $a_1 = 7$ y su razón será $r = 2$ . Por lo tanto, la forma general de esta sucesión está definida de la siguiente manera:

$a_n = 7 + 2 \cdot (n-1)$

Considerando la razón de una sucesión aritmética podemos determinar el comportamiento de la misma. Veamos entonces lo que podemos concluir:

Si la razón de la sucesión es positiva, es decir, $r > 0$ , entonces la sucesión es creciente y al ser creciente, el primer elemento será su mínimo (e ínfimo), además será divergente hacia más infinito.
Si la razón de la sucesión es negativa, es decir, $r < 0$ , entonces la sucesión es decreciente y al ser decreciente, el primer elemento será su máximo (y supremo), además será divergente hacia menos infinito.

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Determinar la fórmula general

Si bien hemos visto que a partir de dos elementos consecutivos de una sucesión aritmética podemos determinar la razón de la sucesión y a partir de esta podemos determinar la base de la sucesión, es posible determinar la fórmula general de una sucesión aritmética considerando dos elementos cualesquiera de esta.

Formalmente, si consideramos dos elementos de una sucesión aritmética $a_i = a_1 + (i-1) \cdot r$ y $a_j = a_1 + (j-1) \cdot r$ , podemos determinar el valor de $a_1$ y de $r$ calculando la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Veamos en los siguientes ejemplos como determinar la fórmula general de una sucesión aritmética usando esta técnica.

Ejemplos

Ejemplo 6

Considerando $a_{76} = 93$ y $a_{35} = -95$ dos elementos de una sucesión aritmética. Determine la fórmula general de esta sucesión.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones restamos ambas ecuaciones, notando que $a_1 - a_1 = 0$ para obtener la siguiente ecuación

$(41) \cdot r = 188$

A partir de esta ecuación podemos despejar $r$ , para obtener que $r = \frac{ 188 }{ 41 }$ y sustituirlo en la ecuación de nuestra preferencia para calcular $a_1$ .

Sustituimos $r$ en la primera ecuación y despejamos $a_1$

Finalmente, $a_1 = \frac{-10287}{41}$ y de $r = \frac{188}{41}$ , podemos expresar la fórmula general que define a la sucesión de la siguiente manera:

$a_n = \frac{-10287}{41} + (n-1) \cdot \frac{188}{41}$

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Ejemplo 7

Considerando $a_{96} = 38$ y $a_{59} = 57$ dos elementos de una sucesión aritmética. Determine la fórmula general de esta sucesión.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones restamos ambas ecuaciones, notando que $a_1 - a_1 = 0$ para obtener la siguiente ecuación

$(37) \cdot r = -19$

A partir de esta ecuación podemos despejar $r$ , para obtener que $r = \frac{ -19 }{ 37 }$ y sustituirlo en la ecuación de nuestra preferencia para calcular $a_1$ .

Sustituimos $r$ en la primera ecuación y despejamos $a_1$

Finalmente, $a_1 = \frac{3211}{37}$ y de $r = \frac{-19}{37}$ , podemos expresar la fórmula general que define a la sucesión de la siguiente manera:

$a_n = \frac{3211}{37} + (n-1) \cdot \frac{-19}{37}$

Ejemplo 8

Considerando $a_{64} = -5$ y $a_{51} = -98$ dos elementos de una sucesión aritmética. Determine la fórmula general de esta sucesión.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones restamos ambas ecuaciones, notando que $a_1 - a_1 = 0$ para obtener la siguiente ecuación

$(13) \cdot r = 93$

A partir de esta ecuación podemos despejar $r$ , para obtener que $r = \frac{ 93 }{ 13 }$ y sustituirlo en la ecuación de nuestra preferencia para calcular $a_1$ .

Sustituimos $r$ en la primera ecuación y despejamos $a_1$

Finalmente, $a_1 = \frac{-5924}{13}$ y de $r = \frac{93}{13}$ , podemos expresar la fórmula general que define a la sucesión de la siguiente manera:

$a_n = \frac{-5924}{13} + (n-1) \cdot \frac{93}{13}$

Ejemplo 9

Considerando $a_{20} = -98$ y $a_{99} = -69$ dos elementos de una sucesión aritmética. Determine la fórmula general de esta sucesión.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones restamos ambas ecuaciones, notando que $a_1 - a_1 = 0$ para obtener la siguiente ecuación

$(-79) \cdot r = -29$

A partir de esta ecuación podemos despejar $r$ , para obtener que $r = \frac{ -29 }{ -79 }$ y sustituirlo en la ecuación de nuestra preferencia para calcular $a_1$ .