Depreciación Porcentual

Al estudiar la depreciación simple, hemos visto como un bien pierde su valor describiéndolo de forma lineal, es decir, cuando su valor ser pierde de forma constante a través del tiempo. Este no siempre será el caso, pues en ocasiones el valor de un bien se pierde dependiendo de las condiciones que se encuentre actualmente.

Digamos que este bien se adquiere en V_1 y que este se deprecia en un r por ciento cada cierto periodo de tiempo. Entonces, tenemos que

Durante el transcurso del primer periodo, este bien tiene un valor de

Durante el transcurso del segundo periodo, este bien ha perdido un r por cierto el valor que tenía en el periodo anterior, es decir, durante este periodo su valor es de V_{2} = V_{1} - V_{1} \cdot \frac{r}{100} y una vez que hemos sacado V_{1} como un factor común, obtenemos

Durante el transcurso del tercer periodo, este bien ha perdido un r por cierto el valor que tenía en el periodo anterior, es decir, durante este periodo su valor es de V_{3} = V_{2} - V_{2} \cdot \frac{r}{100} y una vez que hemos sacado V_{2} como un factor común, obtenemos

Durante el transcurso del cuarto periodo, este bien ha perdido un r por cierto el valor que tenía en el periodo anterior, es decir, durante este periodo su valor es de V_{3} - V_{3} \cdot \frac{r}{100} y una vez que hemos sacado V_{3} como un factor común, obtenemos

Durante el transcurso del n-ésimo periodo, este bien ha perdido un r por cierto el valor que tenía en el periodo anterior, es decir, durante este periodo su valor es de V_{n-1} - V_{n-1} \cdot \frac{r}{100} y una vez que hemos sacado V_{n-1} como un factor común, obtenemos

De esta forma, tenemos que en el n-ésimo periodo, el valor del bien está dado por

Notando entonces que el valor de este bien durante el transcurso del n-ésimo periodo está determinando por una sucesión geométrica decreciente, a esta expresión se le conoce como la fórmula de depreciación porcentual, al valor V_1 se le conoce como valor inicial y a r se le conoce como la tasa porcentual de depreciación. Veamos entonces algunos ejemplos donde podemos aplicar esta fórmula.

Ejemplos

Ejemplo 1

Suponga que una carnicería adquiere una moledora de carne con un valor de V_1 = 3297 Ps. y esta se deprecia en un r = 33.44 por ciento anual. Determine su valor en el año 4.

Nota: Perolitos (Ps.) es la moneda oficial de totumat.

Aplicando la fórmula, el valor de este bien viene dado de la siguiente manera:

V_n = 3297 \cdot \left(1 - \frac{ 33.44 }{ 100 } \right)^{ 4 -1} = 972.21

Por lo tanto, el valor de este bien en el año 4 es de 972.21 Ps.

Ejemplo 2

Suponga que una panificadora adquiere una amasadora con un valor de V_1 = 9175 Ps. y esta se deprecia en un r = 4.406 por ciento anual. Determine su valor en el año 10.

Aplicando la fórmula, el valor de este bien viene dado de la siguiente manera:

V_n = 9175 \cdot \left(1 - \frac{ 4.406 }{ 100 } \right)^{ 10 -1} = 6116.2

Por lo tanto, el valor de este bien en el año 10 es de 6116.2 Ps.

Ejemplo 3

Suponga que una empresa constructora adquiere una batidora de cemento con un valor de V_1 = 1655 Ps. y esta se deprecia en un r = 29.374 por ciento anual. Determine su valor en el año 8.

Aplicando la fórmula, el valor de este bien viene dado de la siguiente manera:

V_n = 1655 \cdot \left(1 - \frac{ 29.374 }{ 100 } \right)^{ 8 -1} = 145.06

Por lo tanto, el valor de este bien en el año 8 es de 145.06 Ps.

Ejemplo 4

Suponga que una cafetería adquiere una máquina de espresso con un valor de V_1 = 4308 Ps. y esta se deprecia en un r = 28.207 por ciento anual. Determine su valor en el año 2.

Aplicando la fórmula, el valor de este bien viene dado de la siguiente manera:

V_n = 4308 \cdot \left(1 - \frac{ 28.207 }{ 100 } \right)^{ 2 -1} = 3092.84

Por lo tanto, el valor de este bien en el año 2 es de 3092.84 Ps.


Determinar la fórmula general de depreciación porcentual

Considerando que la fórmula depreciación porcentual está determinada por una sucesión geométrica, es posible determinar la fórmula general de depreciación conociendo el valor que tuvo el bien en dos años distintos.

Formalmente, si consideramos el valor que el bien adquirió en dos años distintos, digamos V_i = V_1 \cdot \left(1 - \frac{r}{100} \right)^{(i-1)} y V_j = V_1 \cdot \left(1 - \frac{r}{100} \right)^{(j-1)}, podemos determinar el valor de V_1 y de r calculando la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

Veamos en los siguientes ejemplos como determinar la fórmula general de depreciación porcentual usando esta técnica.

Ejemplos

Ejemplo 5

Considerando que una moledora de carne tuvo un valor de V_{10} = 6319 en el año 10 y V_{13} = 2710 en el año 13 . Determine la fórmula general de depreciación porcentual de este bien.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones dividimos ambas ecuaciones, notando que \frac{V_1}{V_1} = 1 para obtener la siguiente ecuación

\left( 1-\frac{r}{100} \right)^{(-3)} = \frac{6319}{2710}

A partir de esta ecuación podemos despejar r y para esto, elevamos ambos lados de la ecuación a la potencia \frac{1}{-3} para obtener que

Una vez calculado r, podemos sustituir r en la ecuación de nuestra preferencia para calcular V_1. Particularmente sustituimos r en la primera ecuación y despejamos V_1

Finalmente, el valor inicial del bien es V_1 = \frac{74591179153}{931112} \approx 80109.78 y la tasa porcentual de depreciación es de r = \frac{16100067}{654793} \approx 24.59 por ciento. Entonces podemos expresar la fórmula general que define el valor de este bien de la siguiente manera:

V_n = \frac{74591179153}{931112} \cdot \left(1 - \dfrac{\frac{16100067}{654793}}{100}\right)^{(n-1)}

Ejemplo 6

Considerando que una amasadora tuvo un valor de V_{3} = 6278 en el año 3 y V_{19} = 2517 en el año 19 . Determine la fórmula general de depreciación porcentual de este bien.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones dividimos ambas ecuaciones, notando que \frac{V_1}{V_1} = 1 para obtener la siguiente ecuación

\left( 1-\frac{r}{100} \right)^{(-16)} = \frac{6278}{2517}

A partir de esta ecuación podemos despejar r y para esto, elevamos ambos lados de la ecuación a la potencia \frac{1}{-16} para obtener que

Una vez calculado r, podemos sustituir r en la ecuación de nuestra preferencia para calcular V_1. Particularmente sustituimos r en la primera ecuación y despejamos V_1

Finalmente, el valor inicial del bien es V_1 = \frac{7021696079}{997708} \approx 7037.83 y la tasa porcentual de depreciación es de r = \frac{4725327}{851057} \approx 5.55 por ciento. Entonces podemos expresar la fórmula general que define el valor de este bien de la siguiente manera:

V_n = \frac{7021696079}{997708} \cdot \left(1 - \dfrac{\frac{4725327}{851057}}{100}\right)^{(n-1)}

Ejemplo 7

Considerando que una batidora de cemento tuvo un valor de V_{2} = 4124 en el año 2 y V_{3} = 2929 en el año 3 . Determine la fórmula general de depreciación porcentual de este bien.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones dividimos ambas ecuaciones, notando que \frac{V_1}{V_1} = 1 para obtener la siguiente ecuación

\left( 1-\frac{r}{100} \right)^{(-1)} = \frac{4124}{2929}

A partir de esta ecuación podemos despejar r y para esto, elevamos ambos lados de la ecuación a la potencia \frac{1}{-1} para obtener que

Una vez calculado r, podemos sustituir r en la ecuación de nuestra preferencia para calcular V_1. Particularmente sustituimos r en la primera ecuación y despejamos V_1

Finalmente, el valor inicial del bien es V_1 = \frac{17007376}{2929} \approx 5806.55 y la tasa porcentual de depreciación es de r = \frac{29875}{1031} \approx 28.98 por ciento. Entonces podemos expresar la fórmula general que define el valor de este bien de la siguiente manera:

V_n = \frac{17007376}{2929} \cdot \left(1 - \dfrac{\frac{29875}{1031}}{100}\right)^{(n-1)}

Ejemplo 8

Considerando que una máquina de espresso tuvo un valor de V_{1} = 3501 en el año 1 y V_{17} = 2377 en el año 17 . Determine la fórmula general de depreciación porcentual de este bien.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones dividimos ambas ecuaciones, notando que \frac{V_1}{V_1} = 1 para obtener la siguiente ecuación

\left( 1-\frac{r}{100} \right)^{(-16)} = \frac{3501}{2377}

A partir de esta ecuación podemos despejar r y para esto, elevamos ambos lados de la ecuación a la potencia \frac{1}{-16} para obtener que

Una vez calcculado r, podemos sustituir r en la ecuación de nuestra preferencia para calcular V_1. Particularmente sustituimos r en la primera ecuación y despejamos V_1

Finalmente, el valor inicial del bien es V_1 = 3501 y la tasa porcentual de depreciación es de r = \frac{1236633}{517201} \approx 2.39 por ciento. Entonces podemos expresar la fórmula general que define el valor de este bien de la siguiente manera:

V_n = 3501 \cdot \left(1 - \dfrac{\frac{1236633}{517201}}{100}\right)^{(n-1)}


El valor de desecho

A medida que un bien pierde su valor, llega un punto en el que entrará en desuso o que su reventa no presentará un ingreso significativo, a este valor se le conoce como valor de desecho (o valor residual) y los años que pasan desde que se adquiere el bien hasta que su valor es igual al valor de desecho, se conoce como vida útil del bien.

Veamos en los siguientes ejemplos como calcular la vida útil de un bien considerando que su depreciación ha sido porcentual.

Ejemplos

Ejemplo 9

Suponga que una carnicería adquiere una moledora de carne con un valor de V_1 = 8379 Ps. y esta se deprecia en r = 7.159 por ciento anualmente. Determine su vida útil si su valor de desecho es igual a 4190 .

Aplicando la fórmula de depreciación, el valor de este bien durante el n-ésimo año viene dado de la siguiente manera:

V_n = 8379 \cdot \left( 1 - \frac{7.159}{100} \right)^{(n-1)}

Nuestro propósito es determinar el valor de n para el cual V_n= 4190, es decir, para el cual 8379 \cdot \left( 1 - \frac{7.159}{100} \right)^{(n-1)} = 4190 y para esto, despejamos n.

Por lo tanto, la moledora de carne tiene una vida útil de aproximadamente 10 años.

Ejemplo 10

Suponga que una panificadora adquiere una amasadora con un valor de V_1 = 6523 Ps. y esta se deprecia en r = 18.953 por ciento anualmente. Determine su vida útil si su valor de desecho es igual a 815.

Aplicando la fórmula de depreciación, el valor de este bien durante el n-ésimo año viene dado de la siguiente manera:

V_n = 6523 \cdot \left( 1 - \frac{18.953}{100} \right)^{(n-1)}

Nuestro propósito es determinar el valor de n para el cual V_n= 815, es decir, para el cual 6523 \cdot \left( 1 - \frac{18.953}{100} \right)^{(n-1)} = 815 y para esto, despejamos n.

Por lo tanto, la amasadora tiene una vida útil de aproximadamente 11 años.

Ejemplo 11

Suponga que una empresa constructora adquiere una batidora de cemento con un valor de V_1 = 9292 Ps. y esta se deprecia en r = 33.818 por ciento anualmente. Determine su vida útil si su valor de desecho es igual a 3097.

Aplicando la fórmula de depreciación, el valor de este bien durante el n-ésimo año viene dado de la siguiente manera:

V_n = 9292 \cdot \left( 1 - \frac{33.818}{100} \right)^{(n-1)}

Nuestro propósito es determinar el valor de n para el cual V_n= 3097, es decir, para el cual 9292 \cdot \left( 1 - \frac{33.818}{100} \right)^{(n-1)} = 3097 y para esto, despejamos n.

Por lo tanto, la batidora de cemento tiene una vida útil de aproximadamente 4 años.

Ejemplo 12

Suponga que una cafetería adquiere una máquina de espresso con un valor de V_1 = 6181 Ps. y esta se deprecia en r = 17.541 por ciento anualmente. Determine su vida útil si su valor de desecho es igual a 2060.

Aplicando la fórmula de depreciación, el valor de este bien durante el n-ésimo año viene dado de la siguiente manera:

V_n = 6181 \cdot \left( 1 - \frac{17.541}{100} \right)^{(n-1)}

Nuestro propósito es determinar el valor de n para el cual V_n= 2060, es decir, para el cual 6181 \cdot \left( 1 - \frac{17.541}{100} \right)^{(n-1)} = 2060 y para esto, despejamos n.

Por lo tanto, la máquina de espresso tiene una vida útil de aproximadamente 7 años.


Autor: Anthonny Arias

Coordinador de Matemáticas de la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales, Universidad de Los Andes, Mérida, Venezuela.

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