Interés Compuesto

Una vez que una persona ha depositado un monto de dinero en un banco, definimos una tasa de interés como un porcentaje del monto y que el banco retribuirá a la persona cada cierto periodo de tiempo. Formalmente, si una persona invierte un capital P en un banco que ofrece una tasa de interés del r por ciento, entonces, definimos el interés sobre este monto de la siguiente forma

I = P \cdot \frac{r}{100}

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Al estudiar el interés simple, hemos calculado los intereses con base en el capital inicial que se ha depositado en la cuenta, sin embargo, este no siempre será el caso, pues en ocasiones los intereses se calculan con base en el capital acumulado actualmente, a este tipo de interés se le conoce como interés compuesto, de forma que si el capital inicial es igual a P_1, entonces tenemos que

Durante el transcurso del primer periodo, esta persona ha acumulado un capital de

P_1

Durante el transcurso del \textbf{segundo periodo}, esta persona ha generado un r por ciento de intereses basado en el capital acumulado hasta el periodo anterior, es decir, durante este periodo ha acumulado un capital de P_{2} = P_{1} + P_{1} \cdot \frac{r}{100} y una vez que hemos sacado P_{1} como un factor común, obtenemos

Durante el transcurso del tercer periodo, esta persona ha generado un r por ciento de intereses basado en el capital acumulado hasta el periodo anterior, es decir, durante este periodo ha acumulado un capital de P_{3} = P_{2} + P_{2} \cdot \frac{r}{100} y una vez que hemos sacado P_{2} como un factor común, obtenemos

Durante el transcurso del cuarto periodo, esta persona ha generado un r por ciento de intereses basado en el capital acumulado hasta el periodo anterior, es decir, durante este periodo ha acumulado un capital de P_{3} + P_{3} \cdot \frac{r}{100} y una vez que hemos sacado P_{3} como un factor común, obtenemos

Durante el transcurso del n-ésimo periodo, esta persona ha generado un r por ciento de intereses basado en el capital acumulado hasta el periodo anterior, es decir, durante este periodo ha acumulado un capital de P_{n-1} + P_{n-1} \cdot \frac{r}{100} y una vez que hemos sacado P_{n-1} como un factor común, obtenemos

De esta forma, tenemos que durante el transcurso del n-ésimo periodo, el capital acumulado está dado por

Notando entonces el capital acumulado durante el transcurso del n-ésimo periodo está determinando por una sucesión geométrica creciente, a esta expresión se le conoce como la fórmula de interés compuesto, al valor P_1 se le conoce como capital inicial y a r se le conoce como la tasa interés. Veamos entonces algunos ejemplos donde podemos aplicar esta fórmula.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Suponga que una persona ha depositado un capital P = 6010 Ps. en un banco que ofrece una tasa de interés compuesto del 28.572 por ciento anual. Determine cuanto capital habrá acumulado esta persona durante el transcurso del año 10.

Aplicando la fórmula de interés compuesto, el valor de este bien viene dado de la siguiente manera:

P_n = 6010 \cdot \left(1 + \frac{ 28.572 }{ 100 } \right)^{ 10 -1} = 57702.16

Por lo tanto, el capital acumulado durante el transcurso del año 10 es de 57702.16 Ps.

Ejemplo 2

Suponga que una persona ha depositado un capital P = 9442 Ps. en un banco que ofrece una tasa de interés compuesto del 11.917 por ciento anual. Determine cuanto capital habrá acumulado esta persona durante el transcurso del año 7.

Aplicando la fórmula de interés compuesto, el valor de este bien viene dado de la siguiente manera:

P_n = 9442 \cdot \left(1 + \frac{ 11.917 }{ 100 } \right)^{ 7 -1} = 18554.12

Por lo tanto, el capital acumulado durante el transcurso del año 7 es de 18554.12 Ps.

Ejemplo 3

Suponga que una persona ha depositado un capital P = 6095 Ps. en un banco que ofrece una tasa de interés compuesto del 41.829 por ciento anual. Determine cuanto capital habrá acumulado esta persona durante el transcurso del año 2.

Aplicando la fórmula de interés compuesto, el valor de este bien viene dado de la siguiente manera:

P_n = 6095 \cdot \left(1 + \frac{ 41.829 }{ 100 } \right)^{ 2 -1} = 8644.48

Por lo tanto, el capital acumulado durante el transcurso del año 2 es de 8644.48 Ps.

Ejemplo 4

Suponga que una persona ha depositado un capital P = 9778 Ps. en un banco que ofrece una tasa de interés compuesto del 48.981 por ciento anual. Determine cuanto capital habrá acumulado esta persona durante el transcurso del año 3.

Aplicando la fórmula de interés compuesto, el valor de este bien viene dado de la siguiente manera:

P_n = 9778 \cdot \left(1 + \frac{ 48.981 }{ 100 } \right)^{ 3 -1} = 21702.6

Por lo tanto, el capital acumulado durante el transcurso del año 3 es de 21702.6 Ps.


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Determinar la fórmula general de interés compuesto

Considerando que la fórmula interés compuesto está determinada por una sucesión geométrica, es posible determinar la fórmula general de depreciación conociendo el valor que tuvo el bien en dos años distintos.

Formalmente, si consideramos el capital acumulado durante el transcurso de dos años distintos, digamos P_i = P_1 \cdot \left(1 - \frac{r}{100} \right)^{(i-1)} y P_j = P_1 \cdot \left(1 - \frac{r}{100} \right)^{(j-1)}, podemos determinar los valores de P_1 y de r calculando la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

Veamos en los siguientes ejemplos como determinar la fórmula general de interés compuesto usando esta técnica.

Ejemplos

Ejemplo 5

Después de haber depositado capital en un banco que ofrece una tasa de interés compuesto, una persona acumuló P_{3} = 6222 durante el transcurso del año 3 y P_{16} = 6609 durante el transcurso del año 16. Determine la fórmula general de interés compuesto que determina el capital acumulado durante el n-ésimo año.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones dividimos ambas ecuaciones, notando que \frac{P_1}{P_1} = 1 para obtener la siguiente ecuación

\left( 1+\frac{r}{100} \right)^{(-13)} = \frac{2074}{2203}

A partir de esta ecuación podemos despejar r y para esto, elevamos ambos lados de la ecuación a la potencia \frac{1}{-13} para obtener que

Una vez calculado r, podemos sustituir r en la ecuación de nuestra preferencia para calcular P_1. Particularmente sustituimos r en la primera ecuación y despejamos P_1

Finalmente, el capital inicial es P_1 = \frac{980033331}{158980} \approx 6164.51 y la tasa de interés compuesto es de r = \frac{239661}{515134} \approx 0.47 por ciento. Entonces podemos expresar la fórmula general que define el capital acumulado de la siguiente manera:

P_n = \frac{980033331}{158980} \cdot \left(1 + \dfrac{ \frac{239661}{515134}}{100}\right)^{(n-1)}

Ejemplo 6

Después de haber depositado capital en un banco que ofrece una tasa de interés compuesto, una persona acumuló P_{5} = 4215 durante el transcurso del año 5 y P_{7} = 7212 durante el transcurso del año 7. Determine la fórmula general de interés compuesto que determina el capital acumulado durante el n-ésimo año.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones dividimos ambas ecuaciones, notando que \frac{P_1}{P_1} = 1 para obtener la siguiente ecuación

\left( 1+\frac{r}{100} \right)^{(-2)} = \frac{1405}{2404}

A partir de esta ecuación podemos despejar r y para esto, elevamos ambos lados de la ecuación a la potencia \frac{1}{-2} para obtener que

Una vez calculado r, podemos sustituir r en la ecuación de nuestra preferencia para calcular P_1. Particularmente sustituimos r en la primera ecuación y despejamos P_1

Finalmente, el capital inicial es P_1 = \frac{252311386}{175249} \approx 1439.73 y la tasa de interés compuesto es de r = \frac{26209889}{850793} \approx 30.81 por ciento. Entonces podemos expresar la fórmula general que define el capital acumulado de la siguiente manera:

P_n = \frac{252311386}{175249} \cdot \left(1 + \dfrac{ \frac{26209889}{850793}}{100}\right)^{(n-1)}

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Ejemplo 7

Después de haber depositado capital en un banco que ofrece una tasa de interés compuesto, una persona acumuló P_{18} = 3488 durante el transcurso del año 18 y P_{20} = 9727 durante el transcurso del año 20. Determine la fórmula general de interés compuesto que determina el capital acumulado durante el n-ésimo año.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones dividimos ambas ecuaciones, notando que \frac{P_1}{P_1} = 1 para obtener la siguiente ecuación

\left( 1+\frac{r}{100} \right)^{(-2)} = \frac{3488}{9727}

A partir de esta ecuación podemos despejar r y para esto, elevamos ambos lados de la ecuación a la potencia \frac{1}{-2} para obtener que

Una vez calculado r, podemos sustituir r en la ecuación de nuestra preferencia para calcular P_1. Particularmente sustituimos r en la primera ecuación y despejamos P_1

Finalmente, el capital inicial es P_1 = \frac{533896}{934977} \approx 0.57 y la tasa de interés compuesto es de r = \frac{55050488}{821721} \approx 66.99 por ciento. Entonces podemos expresar la fórmula general que define el capital acumulado de la siguiente manera:

P_n = \frac{533896}{934977} \cdot \left(1 + \dfrac{ \frac{55050488}{821721}}{100}\right)^{(n-1)}

Ejemplo 8

Después de haber depositado capital en un banco que ofrece una tasa de interés compuesto, una persona acumuló P_{2} = 3435 durante el transcurso del año 2 y P_{13} = 5854 durante el transcurso del año 13. Determine la fórmula general de interés compuesto que determina el capital acumulado durante el n-ésimo año.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones dividimos ambas ecuaciones, notando que \frac{P_1}{P_1} = 1 para obtener la siguiente ecuación

\left( 1+\frac{r}{100} \right)^{(-11)} = \frac{3435}{5854}

A partir de esta ecuación podemos despejar r y para esto, elevamos ambos lados de la ecuación a la potencia \frac{1}{-11} para obtener que

Una vez calculado r, podemos sustituir r en la ecuación de nuestra preferencia para calcular P_1. Particularmente sustituimos r en la primera ecuación y despejamos P_1

Finalmente, el capital inicial es P_1 = \frac{3260072111}{996204} \approx 3272.49 y la tasa de interés compuesto es de r = \frac{4846307}{975937} \approx 4.97 por ciento. Entonces podemos expresar la fórmula general que define el capital acumulado de la siguiente manera:

P_n = \frac{3260072111}{996204} \cdot \left(1 + \dfrac{ \frac{4846307}{975937}}{100}\right)^{(n-1)}


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¿Cuántos periodos?

Un aspecto importante de la fórmula de interés compuesto es que nos permite proyectar inversiones en un banco pues, una vez que se ha depositado una cantidad de dinero, es posible determinar los periodos que deben transcurrir hasta acumular un capital determinado. Veamos en los siguiente ejemplos como determinar esto.

Ejemplos

Ejemplo 9

Suponga que una persona ha depositado un capital P = 4959 Ps. en un banco que ofrece una tasa de interés compuesto del r=40.554 por ciento anual. Determine el año en que esta persona ha acumulado 48239.

Aplicando la fórmula de interés compuesto, el capital acumulado durante el transcurso del n-ésimo año viene dado de la siguiente manera:

P_n = 4959 \cdot \left( 1 + \frac{40.554}{100} \right)^{(n-1)}

Nuestro propósito es determinar el valor de n para el cual P_n= 48239, es decir, para el cual 4959 \cdot \left( 1 - \frac{40.554}{100} \right)^{(n-1)} = 48239 y para esto, despejamos n.

Por lo tanto, habrá acumulado 48239 en aproximadamente 8 años.

Ejemplo 10

Suponga que una persona ha depositado un capital P = 3115 Ps. en un banco que ofrece una tasa de interés compuesto del r=38.09 por ciento anual. Determine el año en que esta persona ha acumulado 6548.

Aplicando la fórmula de interés compuesto, el capital acumulado durante el transcurso del n-ésimo año viene dado de la siguiente manera:

P_n = 3115 \cdot \left( 1 + \frac{38.09}{100} \right)^{(n-1)}

Nuestro propósito es determinar el valor de n para el cual P_n= 6548, es decir, para el cual 3115 \cdot \left( 1 - \frac{38.09}{100} \right)^{(n-1)} = 6548 y para esto, despejamos n.

Por lo tanto, habrá acumulado 6548 en aproximadamente 3 años.

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Ejemplo 11

Suponga que una persona ha depositado un capital P = 5882 Ps. en un banco que ofrece una tasa de interés compuesto del r=3.367 por ciento anual. Determine el año en que esta persona ha acumulado 36886.

Aplicando la fórmula de interés compuesto, el capital acumulado durante el transcurso del n-ésimo año viene dado de la siguiente manera:

P_n = 5882 \cdot \left( 1 + \frac{3.367}{100} \right)^{(n-1)}

Nuestro propósito es determinar el valor de n para el cual P_n= 36886, es decir, para el cual 5882 \cdot \left( 1 - \frac{3.367}{100} \right)^{(n-1)} = 36886 y para esto, despejamos n.

Por lo tanto, habrá acumulado 36886 en aproximadamente 56 años.

Ejemplo 12

Suponga que una persona ha depositado un capital P = 7201 Ps. en un banco que ofrece una tasa de interés compuesto del r=41.714 por ciento anual. Determine el año en que esta persona ha acumulado 50441.

Aplicando la fórmula de interés compuesto, el capital acumulado durante el transcurso del n-ésimo año viene dado de la siguiente manera:

P_n = 7201 \cdot \left( 1 + \frac{41.714}{100} \right)^{(n-1)}

Nuestro propósito es determinar el valor de n para el cual P_n= 50441, es decir, para el cual 7201 \cdot \left( 1 - \frac{41.714}{100} \right)^{(n-1)} = 50441 y para esto, despejamos n.

Por lo tanto, habrá acumulado 50441 en aproximadamente 7 años.


Depreciación Porcentual

Al estudiar la depreciación simple, hemos visto como un bien pierde su valor describiéndolo de forma lineal, es decir, cuando su valor ser pierde de forma constante a través del tiempo, sin embargo, este no siempre será el caso, pues en ocasiones el valor de un bien se pierde dependiendo de las condiciones que se encuentre actualmente.

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Digamos que este bien se adquiere en V_1 y que este se deprecia en un r por ciento cada cierto periodo de tiempo. Entonces, tenemos que

Durante el transcurso del primer periodo, este bien tiene un valor de

Durante el transcurso del segundo periodo, este bien ha perdido un r por cierto el valor que tenía en el periodo anterior, es decir, durante este periodo su valor es de V_{2} = V_{1} - V_{1} \cdot \frac{r}{100} y una vez que hemos sacado V_{1} como un factor común, obtenemos

Durante el transcurso del tercer periodo, este bien ha perdido un r por cierto el valor que tenía en el periodo anterior, es decir, durante este periodo su valor es de V_{3} = V_{2} - V_{2} \cdot \frac{r}{100} y una vez que hemos sacado V_{2} como un factor común, obtenemos

Durante el transcurso del cuarto periodo, este bien ha perdido un r por cierto el valor que tenía en el periodo anterior, es decir, durante este periodo su valor es de V_{3} - V_{3} \cdot \frac{r}{100} y una vez que hemos sacado V_{3} como un factor común, obtenemos

Durante el transcurso del n-ésimo periodo, este bien ha perdido un r por cierto el valor que tenía en el periodo anterior, es decir, durante este periodo su valor es de V_{n-1} - V_{n-1} \cdot \frac{r}{100} y una vez que hemos sacado V_{n-1} como un factor común, obtenemos

De esta forma, tenemos que en el n-ésimo periodo, el valor del bien está dado por

Notando entonces que el valor de este bien durante el transcurso del n-ésimo periodo está determinando por una sucesión geométrica decreciente, a esta expresión se le conoce como la fórmula de depreciación porcentual, al valor V_1 se le conoce como valor inicial y a r se le conoce como la tasa porcentual de depreciación. Veamos entonces algunos ejemplos donde podemos aplicar esta fórmula.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Suponga que una carnicería adquiere una moledora de carne con un valor de V_1 = 3297 Ps. y esta se deprecia en un r = 33.44 por ciento anual. Determine su valor en el año 4.

Nota: Perolitos (Ps.) es la moneda oficial de totumat.

Aplicando la fórmula, el valor de este bien viene dado de la siguiente manera:

V_n = 3297 \cdot \left(1 - \frac{ 33.44 }{ 100 } \right)^{ 4 -1} = 972.21

Por lo tanto, el valor de este bien en el año 4 es de 972.21 Ps.

Ejemplo 2

Suponga que una panificadora adquiere una amasadora con un valor de V_1 = 9175 Ps. y esta se deprecia en un r = 4.406 por ciento anual. Determine su valor en el año 10.

Aplicando la fórmula, el valor de este bien viene dado de la siguiente manera:

V_n = 9175 \cdot \left(1 - \frac{ 4.406 }{ 100 } \right)^{ 10 -1} = 6116.2

Por lo tanto, el valor de este bien en el año 10 es de 6116.2 Ps.

Ejemplo 3

Suponga que una empresa constructora adquiere una batidora de cemento con un valor de V_1 = 1655 Ps. y esta se deprecia en un r = 29.374 por ciento anual. Determine su valor en el año 8.

Aplicando la fórmula, el valor de este bien viene dado de la siguiente manera:

V_n = 1655 \cdot \left(1 - \frac{ 29.374 }{ 100 } \right)^{ 8 -1} = 145.06

Por lo tanto, el valor de este bien en el año 8 es de 145.06 Ps.

Ejemplo 4

Suponga que una cafetería adquiere una máquina de espresso con un valor de V_1 = 4308 Ps. y esta se deprecia en un r = 28.207 por ciento anual. Determine su valor en el año 2.

Aplicando la fórmula, el valor de este bien viene dado de la siguiente manera:

V_n = 4308 \cdot \left(1 - \frac{ 28.207 }{ 100 } \right)^{ 2 -1} = 3092.84

Por lo tanto, el valor de este bien en el año 2 es de 3092.84 Ps.


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Determinar la fórmula general de depreciación porcentual

Considerando que la fórmula depreciación porcentual está determinada por una sucesión geométrica, es posible determinar la fórmula general de depreciación conociendo el valor que tuvo el bien en dos años distintos.

Formalmente, si consideramos el valor que el bien adquirió en dos años distintos, digamos V_i = V_1 \cdot \left(1 - \frac{r}{100} \right)^{(i-1)} y V_j = V_1 \cdot \left(1 - \frac{r}{100} \right)^{(j-1)}, podemos determinar el valor de V_1 y de r calculando la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

Veamos en los siguientes ejemplos como determinar la fórmula general de depreciación porcentual usando esta técnica.

Ejemplos

Ejemplo 5

Considerando que una moledora de carne tuvo un valor de V_{10} = 6319 en el año 10 y V_{13} = 2710 en el año 13 . Determine la fórmula general de depreciación porcentual de este bien.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones dividimos ambas ecuaciones, notando que \frac{V_1}{V_1} = 1 para obtener la siguiente ecuación

\left( 1-\frac{r}{100} \right)^{(-3)} = \frac{6319}{2710}

A partir de esta ecuación podemos despejar r y para esto, elevamos ambos lados de la ecuación a la potencia \frac{1}{-3} para obtener que

Una vez calculado r, podemos sustituir r en la ecuación de nuestra preferencia para calcular V_1. Particularmente sustituimos r en la primera ecuación y despejamos V_1

Finalmente, el valor inicial del bien es V_1 = \frac{74591179153}{931112} \approx 80109.78 y la tasa porcentual de depreciación es de r = \frac{16100067}{654793} \approx 24.59 por ciento. Entonces podemos expresar la fórmula general que define el valor de este bien de la siguiente manera:

V_n = \frac{74591179153}{931112} \cdot \left(1 - \dfrac{\frac{16100067}{654793}}{100}\right)^{(n-1)}

Ejemplo 6

Considerando que una amasadora tuvo un valor de V_{3} = 6278 en el año 3 y V_{19} = 2517 en el año 19 . Determine la fórmula general de depreciación porcentual de este bien.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones dividimos ambas ecuaciones, notando que \frac{V_1}{V_1} = 1 para obtener la siguiente ecuación

\left( 1-\frac{r}{100} \right)^{(-16)} = \frac{6278}{2517}

A partir de esta ecuación podemos despejar r y para esto, elevamos ambos lados de la ecuación a la potencia \frac{1}{-16} para obtener que

Una vez calculado r, podemos sustituir r en la ecuación de nuestra preferencia para calcular V_1. Particularmente sustituimos r en la primera ecuación y despejamos V_1

Finalmente, el valor inicial del bien es V_1 = \frac{7021696079}{997708} \approx 7037.83 y la tasa porcentual de depreciación es de r = \frac{4725327}{851057} \approx 5.55 por ciento. Entonces podemos expresar la fórmula general que define el valor de este bien de la siguiente manera:

V_n = \frac{7021696079}{997708} \cdot \left(1 - \dfrac{\frac{4725327}{851057}}{100}\right)^{(n-1)}

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Ejemplo 7

Considerando que una batidora de cemento tuvo un valor de V_{2} = 4124 en el año 2 y V_{3} = 2929 en el año 3 . Determine la fórmula general de depreciación porcentual de este bien.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones dividimos ambas ecuaciones, notando que \frac{V_1}{V_1} = 1 para obtener la siguiente ecuación

\left( 1-\frac{r}{100} \right)^{(-1)} = \frac{4124}{2929}

A partir de esta ecuación podemos despejar r y para esto, elevamos ambos lados de la ecuación a la potencia \frac{1}{-1} para obtener que

Una vez calculado r, podemos sustituir r en la ecuación de nuestra preferencia para calcular V_1. Particularmente sustituimos r en la primera ecuación y despejamos V_1

Finalmente, el valor inicial del bien es V_1 = \frac{17007376}{2929} \approx 5806.55 y la tasa porcentual de depreciación es de r = \frac{29875}{1031} \approx 28.98 por ciento. Entonces podemos expresar la fórmula general que define el valor de este bien de la siguiente manera:

V_n = \frac{17007376}{2929} \cdot \left(1 - \dfrac{\frac{29875}{1031}}{100}\right)^{(n-1)}

Ejemplo 8

Considerando que una máquina de espresso tuvo un valor de V_{1} = 3501 en el año 1 y V_{17} = 2377 en el año 17 . Determine la fórmula general de depreciación porcentual de este bien.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones dividimos ambas ecuaciones, notando que \frac{V_1}{V_1} = 1 para obtener la siguiente ecuación

\left( 1-\frac{r}{100} \right)^{(-16)} = \frac{3501}{2377}

A partir de esta ecuación podemos despejar r y para esto, elevamos ambos lados de la ecuación a la potencia \frac{1}{-16} para obtener que

Una vez calcculado r, podemos sustituir r en la ecuación de nuestra preferencia para calcular V_1. Particularmente sustituimos r en la primera ecuación y despejamos V_1

Finalmente, el valor inicial del bien es V_1 = 3501 y la tasa porcentual de depreciación es de r = \frac{1236633}{517201} \approx 2.39 por ciento. Entonces podemos expresar la fórmula general que define el valor de este bien de la siguiente manera:

V_n = 3501 \cdot \left(1 - \dfrac{\frac{1236633}{517201}}{100}\right)^{(n-1)}


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El valor de desecho

A medida que un bien pierde su valor, llega un punto en el que entrará en desuso o que su reventa no presentará un ingreso significativo, a este valor se le conoce como valor de desecho (o valor residual) y los años que pasan desde que se adquiere el bien hasta que su valor es igual al valor de desecho, se conoce como vida útil del bien.

Veamos en los siguientes ejemplos como calcular la vida útil de un bien considerando que su depreciación ha sido porcentual.

Ejemplos

Ejemplo 9

Suponga que una carnicería adquiere una moledora de carne con un valor de V_1 = 8379 Ps. y esta se deprecia en r = 7.159 por ciento anualmente. Determine su vida útil si su valor de desecho es igual a 4190 .

Aplicando la fórmula de depreciación, el valor de este bien durante el n-ésimo año viene dado de la siguiente manera:

V_n = 8379 \cdot \left( 1 - \frac{7.159}{100} \right)^{(n-1)}

Nuestro propósito es determinar el valor de n para el cual V_n= 4190, es decir, para el cual 8379 \cdot \left( 1 - \frac{7.159}{100} \right)^{(n-1)} = 4190 y para esto, despejamos n.

Por lo tanto, la moledora de carne tiene una vida útil de aproximadamente 10 años.

Ejemplo 10

Suponga que una panificadora adquiere una amasadora con un valor de V_1 = 6523 Ps. y esta se deprecia en r = 18.953 por ciento anualmente. Determine su vida útil si su valor de desecho es igual a 815.

Aplicando la fórmula de depreciación, el valor de este bien durante el n-ésimo año viene dado de la siguiente manera:

V_n = 6523 \cdot \left( 1 - \frac{18.953}{100} \right)^{(n-1)}

Nuestro propósito es determinar el valor de n para el cual V_n= 815, es decir, para el cual 6523 \cdot \left( 1 - \frac{18.953}{100} \right)^{(n-1)} = 815 y para esto, despejamos n.

Por lo tanto, la amasadora tiene una vida útil de aproximadamente 11 años.

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Ejemplo 11

Suponga que una empresa constructora adquiere una batidora de cemento con un valor de V_1 = 9292 Ps. y esta se deprecia en r = 33.818 por ciento anualmente. Determine su vida útil si su valor de desecho es igual a 3097.

Aplicando la fórmula de depreciación, el valor de este bien durante el n-ésimo año viene dado de la siguiente manera:

V_n = 9292 \cdot \left( 1 - \frac{33.818}{100} \right)^{(n-1)}

Nuestro propósito es determinar el valor de n para el cual V_n= 3097, es decir, para el cual 9292 \cdot \left( 1 - \frac{33.818}{100} \right)^{(n-1)} = 3097 y para esto, despejamos n.

Por lo tanto, la batidora de cemento tiene una vida útil de aproximadamente 4 años.

Ejemplo 12

Suponga que una cafetería adquiere una máquina de espresso con un valor de V_1 = 6181 Ps. y esta se deprecia en r = 17.541 por ciento anualmente. Determine su vida útil si su valor de desecho es igual a 2060.

Aplicando la fórmula de depreciación, el valor de este bien durante el n-ésimo año viene dado de la siguiente manera:

V_n = 6181 \cdot \left( 1 - \frac{17.541}{100} \right)^{(n-1)}

Nuestro propósito es determinar el valor de n para el cual V_n= 2060, es decir, para el cual 6181 \cdot \left( 1 - \frac{17.541}{100} \right)^{(n-1)} = 2060 y para esto, despejamos n.

Por lo tanto, la máquina de espresso tiene una vida útil de aproximadamente 7 años.


Suma de los primeros n elementos de una sucesión geométrica

Las propiedades de las potencias establecen que al multiplicar dos números que tienen la misma base, se suman los exponentes, este hecho da pie para para calcular la suma de los primeros n elementos de una sucesión geométrica. Formalmente, si consideramos a_n una sucesión geométrica, definimos la suma de sus primeros n elementos de la siguiente forma:

S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n

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Para deducir la fórmula que define esta suma aplicaremos algunos artilugios matemáticos pues considerando que la sucesión es geométrica, cada elemento está definido como a_i = a_1 \cdot r^{(i-1)}, para todo i=1,\ldots,n. Por lo tanto, tenemos que

S_n = a_1 + a_1 \cdot r + a_1 \cdot r^{2} + \ldots + a_1 \cdot r^{(n-1)}

Si multiplicamos S_n por -r, cada uno de los sumandos involucrados será multiplicado por -r, obteniendo que

-r \cdot S_n = -a_1 \cdot r - a_1 \cdot r^{2} - a_1 \cdot r^{3} - \ldots - a_1 \cdot r^{n}

Consideremos la resta S_n - r \cdot S_n

Por lo tanto concluimos que S_n - r \cdot S_n = a_1 - a_1 \cdot r^{n}, entonces sacando factor común S_n en el lado izquierdo de la ecuación y sacando factor común a_1 en el lado derecho de la ecuación, obtenemos que

S_n \cdot (1 - r) = a_1 \left(1 - r^{n} \right)

Finalmente, despejamos S_n para obtener la fórmula que nos permite calcular la suma de los primero n elementos de una sucesión geométrica

Veamos en los siguientes ejemplos como aplicar esta fórmula.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la sucesión \{ 1 \cdot 2^{(n-1)} \}_{n} = \{1,2,4,8,16,32, \ldots \}. Calcule la suma de los primeros 15 términos.

La base de esta sucesión es a_1 = 1 y su razón es r = 2. Por lo tanto, la forma general para calcular los primeros 15 términos de esta sucesión está expresada de la siguiente manera:

Ejemplo 2

Considerando la sucesión \{ -33 \cdot 2^{(n-1)} \}_{n} = \{-33,-66,-132,-264,-528,-1056, \ldots \}. Calcule la suma de los primeros 13 términos.

La base de esta sucesión es a_1 = -33 y su razón es r = 2. Por lo tanto, la forma general para calcular los primeros 13 términos de esta sucesión está expresada de la siguiente manera:

Ejemplo 3

Considerando la sucesión \{ 78 \cdot 6^{(n-1)} \}_{n} = \{78,468,2808,16848,101088,606528, \ldots \}. Calcule la suma de los primeros 11 términos.

La base de esta sucesión es a_1 = 78 y su razón es r = 6. Por lo tanto, la forma general para calcular los primeros 11 términos de esta sucesión está expresada de la siguiente manera:

Ejemplo 4

Considerando la sucesión \{ 36 \cdot 8^{(n-1)} \}_{n} = \{36,288,2304,18432,147456,1179648, \ldots \}. Calcule la suma de los primeros 9 términos.

La base de esta sucesión es a_1 = 36 y su razón es r = 8. Por lo tanto, la forma general para calcular los primeros 9 términos de esta sucesión está expresada de la siguiente manera:

Ejemplo 5

Considerando la sucesión \{ -17 \cdot 10^{(n-1)} \}_{n} = \{-17,-170,-1700,-17000,-170000,-1700000, \ldots \}. Calcule la suma de los primeros 7 términos.

La base de esta sucesión es a_1 = -17 y su razón es r = 10. Por lo tanto, la forma general para calcular los primeros 7 términos de esta sucesión está expresada de la siguiente manera:


Sucesiones Geométricas

Las sucesiones geométricas (o progresiones geométricas) son un tipo especial de sucesiones que parten desde un elemento básico y a partir de ahí, se multiplica una razón repetidas veces. Formalmente, diremos que \{ a_n \}_{n} es una sucesión geométrica si

Diremos que el primer elemento de la sucesión, a_1 es la base de la sucesión y, diremos que el número real r > 0 es la razón de la sucesión, podemos notar que este último está determinado por la división entre dos elementos consecutivos de la sucesión.

Consideremos en los siguientes ejemplos, algunas sucesiones geométricas para tener una idea más concreta de su comportamiento.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Si consideramos la sucesión \left\{1,2,4,8,16,32, \ldots \right\}. Su base será a_1 = 1 y su razón será r = 2 . Por lo tanto, la forma general de esta sucesión está definida de la siguiente manera:

a_n = 1 \cdot \left( 2\right)^{(n-1)}

Ejemplo 2

Si consideramos la sucesión \left\{-7,-70,-700,-7000,-70000,-700000, \ldots \right\}. Su base será a_1 =-7 y su razón será r = 10 . Por lo tanto, la forma general de esta sucesión está definida de la siguiente manera:

a_n = -7 \cdot \left( 10\right)^{(n-1)}

Ejemplo 3

Si consideramos la sucesión \left\{2,\frac{4}{3},\frac{8}{9},\frac{16}{27},\frac{32}{81},\frac{64}{243}, \ldots \right\}. Su base será a_1 = 2 y su razón será r = \frac{2}{3} . Por lo tanto, la forma general de esta sucesión está definida de la siguiente manera:

a_n = 2 \cdot \left( \frac{2}{3}\right)^{(n-1)}

Ejemplo 4

Si consideramos la sucesión \left\{10,5,\frac{5}{2},\frac{5}{4},\frac{5}{8},\frac{5}{16}, \ldots \right\}. Su base será a_1 = 10 y su razón será r = \frac{1}{2} . Por lo tanto, la forma general de esta sucesión está definida de la siguiente manera:

a_n = 10 \cdot \left( \frac{1}{2}\right)^{(n-1)}


Considerando una base positiva, es decir, a_1 > 0, la razón de una sucesión geométrica determina el comportamiento de la misma. Veamos entonces lo que podemos concluir:

  • Si la razón de la sucesión es mayor que uno, es decir, r > 1, entonces la sucesión es creciente y al ser creciente, el primer elemento será su mínimo (e ínfimo), además será divergente hacia infinito.
  • Si la razón de la sucesión es menor que uno, es decir, 0 < r < 1, entonces la sucesión es decreciente y al ser decreciente, el primer elemento será su máximo (y supremo), además será convergente hacia cero.

Considerando una base negativa, es decir, a_1 < 0, la razón de una sucesión geométrica determina el comportamiento de la misma. Veamos entonces lo que podemos concluir:

  • Si la razón de la sucesión es mayor que uno, es decir, r > 1, entonces la sucesión es decreciente y al ser decreciente, el primer elemento será su máximo (y supremo), además será divergente hacia menos infinito.
  • Si la razón de la sucesión es menor que uno, es decir, 0 < r < 1, entonces la sucesión es creciente y al ser creciente, el primer elemento será su mínimo (e ínfimo), además será convergente hacia cero.
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Determinar su fórmula general

Si bien hemos visto que a partir de dos elementos consecutivos de una sucesión geométrica podemos determinar la razón de la sucesión y a partir de esta podemos determinar la base de la sucesión, es posible determinar la fórmula general de una sucesión geométrica considerando dos elementos cualesquiera de esta.

Formalmente, si consideramos dos elementos de una sucesión geométrica a_i = a_1 \cdot r^{(i-1)} y a_j = a_1 \cdot r^{(j-1)}, podemos determinar el valor de a_1 y de r calculando la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

Veamos en los siguientes ejemplos como determinar la fórmula general de una sucesión geométrica usando esta técnica.

Ejemplos

Ejemplo 5

Considerando a_{4} = 39 y a_{70} = 37 dos elementos de una sucesión geométrica. Determine la fórmula general de esta sucesión.

Para esto consideramos calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones dividimos ambas ecuaciones, notando que \frac{a_1}{a_1} = 1 para obtener la siguiente ecuación

r^{(-66)} = \frac{39}{37}

A partir de esta ecuación podemos despejar r y para esto, elevamos ambos lados de la ecuación a la potencia \frac{1}{-66} y obtener que, r = \frac{23811}{23830} y sustituirlo en la ecuación de nuestra preferencia para calcular a_1.

Sustituimos r en la primera ecuación y despejamos a_1

Finalmente, a_1 = \frac{37029145}{947196} \approx 39.0934 y de r = \frac{23811}{23830} \approx 0.9992 podemos expresar la fórmula general que define a la sucesión de la siguiente manera:

a_n = \frac{37029145}{947196} \cdot \left( \frac{23811}{23830} \right)^{(n-1)}

Ejemplo 6

Considerando a_{30} = 31 y a_{22} = 6 dos elementos de una sucesión geométrica. Determine la fórmula general de esta sucesión.

Para esto consideramos calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones dividimos ambas ecuaciones, notando que \frac{a_1}{a_1} = 1 para obtener la siguiente ecuación

r^{(8)} = \frac{31}{6}

A partir de esta ecuación podemos despejar r y para esto, elevamos ambos lados de la ecuación a la potencia \frac{1}{8} y obtener que, r = \frac{1039673}{846731} y sustituirlo en la ecuación de nuestra preferencia para calcular a_1.

Sustituimos r en la primera ecuación y despejamos a_1

Finalmente, a_1 = \frac{37913}{470776} \approx 0.0805 y de r = \frac{1039673}{846731} \approx 1.2279 podemos expresar la fórmula general que define a la sucesión de la siguiente manera:

a_n = \frac{37913}{470776} \cdot \left( \frac{1039673}{846731}\right)^{(n-1)}

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Ejemplo 7

Considerando a_{9} = 4 y a_{4} = 68 dos elementos de una sucesión geométrica. Determine la fórmula general de esta sucesión.

Para esto consideramos calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones dividimos ambas ecuaciones, notando que \frac{a_1}{a_1} = 1 para obtener la siguiente ecuación

r^{(5)} = \frac{1}{17}

A partir de esta ecuación podemos despejar r y para esto, elevamos ambos lados de la ecuación a la potencia \frac{1}{5} y obtener que, r = \frac{446361}{786640} y sustituirlo en la ecuación de nuestra preferencia para calcular a_1.

Sustituimos r en la primera ecuación y despejamos a_1

Finalmente, a_1 = \frac{178000961}{478238} \approx 372.2016 y de r = \frac{446361}{786640} \approx 0.5674 podemos expresar la fórmula general que define a la sucesión de la siguiente manera:

a_n = \frac{178000961}{478238} \cdot \left( \frac{446361}{786640}\right)^{(n-1)}

Ejemplo 8

Considerando a_{52} = 61 y a_{64} = 86 dos elementos de una sucesión geométrica. Determine la fórmula general de esta sucesión.

Para esto consideramos calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones dividimos ambas ecuaciones, notando que \frac{a_1}{a_1} = 1 para obtener la siguiente ecuación

r^{(-12)} = \frac{61}{86}

A partir de esta ecuación podemos despejar r y para esto, elevamos ambos lados de la ecuación a la potencia \frac{1}{-12} y obtener que, r = \frac{974057}{946572} y sustituirlo en la ecuación de nuestra preferencia para calcular a_1.

Sustituimos r en la primera ecuación y despejamos a_1

Finalmente, a_1 = \frac{5274291}{372221} \approx 14.1698 y de r = \frac{974057}{946572} \approx 1.029 podemos expresar la fórmula general que define a la sucesión de la siguiente manera:

a_n = \frac{5274291}{372221} \cdot \left( \frac{974057}{946572}\right)^{(n-1)}