Sucesiones Geométricas

Las sucesiones geométricas (o progresiones geométricas) son un tipo especial de sucesiones que parten desde un elemento básico y a partir de ahí, se multiplica una razón repetidas veces. Formalmente, diremos que $\{ a_n \}_{n}$ es una sucesión geométrica si

Diremos que el primer elemento de la sucesión, $a_1$ es la base de la sucesión y, diremos que el número real $r > 0$ es la razón de la sucesión, podemos notar que este último está determinado por la división entre dos elementos consecutivos de la sucesión.

Consideremos en los siguientes ejemplos, algunas sucesiones geométricas para tener una idea más concreta de su comportamiento.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Si consideramos la sucesión $\left\{1,2,4,8,16,32, \ldots \right\}$ . Su base será $a_1 = 1$ y su razón será $r = 2$ . Por lo tanto, la forma general de esta sucesión está definida de la siguiente manera:

$a_n = 1 \cdot \left( 2\right)^{(n-1)}$

Ejemplo 2

Si consideramos la sucesión $\left\{-7,-70,-700,-7000,-70000,-700000, \ldots \right\}$ . Su base será $a_1 =-7$ y su razón será $r = 10$ . Por lo tanto, la forma general de esta sucesión está definida de la siguiente manera:

$a_n = -7 \cdot \left( 10\right)^{(n-1)}$

Ejemplo 3

Si consideramos la sucesión $\left\{2,\frac{4}{3},\frac{8}{9},\frac{16}{27},\frac{32}{81},\frac{64}{243}, \ldots \right\}$ . Su base será $a_1 = 2$ y su razón será $r = \frac{2}{3}$ . Por lo tanto, la forma general de esta sucesión está definida de la siguiente manera:

$a_n = 2 \cdot \left( \frac{2}{3}\right)^{(n-1)}$

Ejemplo 4

Si consideramos la sucesión $\left\{10,5,\frac{5}{2},\frac{5}{4},\frac{5}{8},\frac{5}{16}, \ldots \right\}$ . Su base será $a_1 = 10$ y su razón será $r = \frac{1}{2}$ . Por lo tanto, la forma general de esta sucesión está definida de la siguiente manera:

$a_n = 10 \cdot \left( \frac{1}{2}\right)^{(n-1)}$

Considerando una base positiva, es decir, $a_1 > 0$ , la razón de una sucesión geométrica determina el comportamiento de la misma. Veamos entonces lo que podemos concluir:

Si la razón de la sucesión es mayor que uno, es decir, $r > 1$ , entonces la sucesión es creciente y al ser creciente, el primer elemento será su mínimo (e ínfimo), además será divergente hacia infinito.
Si la razón de la sucesión es menor que uno, es decir, $0 < r < 1$ , entonces la sucesión es decreciente y al ser decreciente, el primer elemento será su máximo (y supremo), además será convergente hacia cero.

Considerando una base negativa, es decir, $a_1 < 0$ , la razón de una sucesión geométrica determina el comportamiento de la misma. Veamos entonces lo que podemos concluir:

Si la razón de la sucesión es mayor que uno, es decir, $r > 1$ , entonces la sucesión es decreciente y al ser decreciente, el primer elemento será su máximo (y supremo), además será divergente hacia menos infinito.
Si la razón de la sucesión es menor que uno, es decir, $0 < r < 1$ , entonces la sucesión es creciente y al ser creciente, el primer elemento será su mínimo (e ínfimo), además será convergente hacia cero.

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Determinar su fórmula general

Si bien hemos visto que a partir de dos elementos consecutivos de una sucesión geométrica podemos determinar la razón de la sucesión y a partir de esta podemos determinar la base de la sucesión, es posible determinar la fórmula general de una sucesión geométrica considerando dos elementos cualesquiera de esta.

Formalmente, si consideramos dos elementos de una sucesión geométrica $a_i = a_1 \cdot r^{(i-1)}$ y $a_j = a_1 \cdot r^{(j-1)}$ , podemos determinar el valor de $a_1$ y de $r$ calculando la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

Veamos en los siguientes ejemplos como determinar la fórmula general de una sucesión geométrica usando esta técnica.

Ejemplos

Ejemplo 5

Considerando $a_{4} = 39$ y $a_{70} = 37$ dos elementos de una sucesión geométrica. Determine la fórmula general de esta sucesión.

Para esto consideramos calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones dividimos ambas ecuaciones, notando que $\frac{a_1}{a_1} = 1$ para obtener la siguiente ecuación

$r^{(-66)} = \frac{39}{37}$

A partir de esta ecuación podemos despejar $r$ y para esto, elevamos ambos lados de la ecuación a la potencia $\frac{1}{-66}$ y obtener que, $r = \frac{23811}{23830}$ y sustituirlo en la ecuación de nuestra preferencia para calcular $a_1$ .

Sustituimos $r$ en la primera ecuación y despejamos $a_1$

Finalmente, $a_1 = \frac{37029145}{947196} \approx 39.0934$ y de $r = \frac{23811}{23830} \approx 0.9992$ podemos expresar la fórmula general que define a la sucesión de la siguiente manera:

$a_n = \frac{37029145}{947196} \cdot \left( \frac{23811}{23830} \right)^{(n-1)}$

Ejemplo 6

Considerando $a_{30} = 31$ y $a_{22} = 6$ dos elementos de una sucesión geométrica. Determine la fórmula general de esta sucesión.

Para esto consideramos calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones dividimos ambas ecuaciones, notando que $\frac{a_1}{a_1} = 1$ para obtener la siguiente ecuación

$r^{(8)} = \frac{31}{6}$

A partir de esta ecuación podemos despejar $r$ y para esto, elevamos ambos lados de la ecuación a la potencia $\frac{1}{8}$ y obtener que, $r = \frac{1039673}{846731}$ y sustituirlo en la ecuación de nuestra preferencia para calcular $a_1$ .

Sustituimos $r$ en la primera ecuación y despejamos $a_1$

Finalmente, $a_1 = \frac{37913}{470776} \approx 0.0805$ y de $r = \frac{1039673}{846731} \approx 1.2279$ podemos expresar la fórmula general que define a la sucesión de la siguiente manera:

$a_n = \frac{37913}{470776} \cdot \left( \frac{1039673}{846731}\right)^{(n-1)}$

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Ejemplo 7

Considerando $a_{9} = 4$ y $a_{4} = 68$ dos elementos de una sucesión geométrica. Determine la fórmula general de esta sucesión.

Para esto consideramos calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones dividimos ambas ecuaciones, notando que $\frac{a_1}{a_1} = 1$ para obtener la siguiente ecuación

$r^{(5)} = \frac{1}{17}$

A partir de esta ecuación podemos despejar $r$ y para esto, elevamos ambos lados de la ecuación a la potencia $\frac{1}{5}$ y obtener que, $r = \frac{446361}{786640}$ y sustituirlo en la ecuación de nuestra preferencia para calcular $a_1$ .

Sustituimos $r$ en la primera ecuación y despejamos $a_1$

Finalmente, $a_1 = \frac{178000961}{478238} \approx 372.2016$ y de $r = \frac{446361}{786640} \approx 0.5674$ podemos expresar la fórmula general que define a la sucesión de la siguiente manera:

$a_n = \frac{178000961}{478238} \cdot \left( \frac{446361}{786640}\right)^{(n-1)}$

Ejemplo 8

Considerando $a_{52} = 61$ y $a_{64} = 86$ dos elementos de una sucesión geométrica. Determine la fórmula general de esta sucesión.

Para esto consideramos calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones dividimos ambas ecuaciones, notando que $\frac{a_1}{a_1} = 1$ para obtener la siguiente ecuación

$r^{(-12)} = \frac{61}{86}$

A partir de esta ecuación podemos despejar $r$ y para esto, elevamos ambos lados de la ecuación a la potencia $\frac{1}{-12}$ y obtener que, $r = \frac{974057}{946572}$ y sustituirlo en la ecuación de nuestra preferencia para calcular $a_1$ .

Sustituimos $r$ en la primera ecuación y despejamos $a_1$

Finalmente, $a_1 = \frac{5274291}{372221} \approx 14.1698$ y de $r = \frac{974057}{946572} \approx 1.029$ podemos expresar la fórmula general que define a la sucesión de la siguiente manera:

$a_n = \frac{5274291}{372221} \cdot \left( \frac{974057}{946572}\right)^{(n-1)}$

3 comentarios en “Sucesiones Geométricas”

Matemáticas 31 – Sección 01 – Semestre B2021 – totumat dice:

30.10.2021 a las 3:34 pm

[…] Definición de una progresión geométrica. […]

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