Supremo e Ínfimo de una sucesión

Al estudiar las cotas de una sucesión, existen elementos que acotan a la sucesión con mayor rigurosidad que cualquier otra cota, estos son conocidos como el ínfimo y el supremo, veamos como están definidos y como identificarlos.

También pudiera interesarte

Anuncios

Supremo de una Sucesión

Si una sucesión está acotada superiormente, diremos que el supremo de esta sucesión es la menor de las cotas superiores, o en otras palabras, es el mínimo del conjunto de todas sus cotas superiores. Formalmente, diremos que una cota superior $C_0$ es el supremo de una sucesión $a_n$ , si $C_0 \leq C$ para toda cota superior $C$ de la sucesión $a_n$ . Usualmente se denota con $sup(a_n)$ .

Veamos algunos ejemplos del supremo de una sucesión:

Ejemplos

Ejemplo 1

Si consideramos la sucesión $\left\{ -n \right\}_{n} = \{ -1, -2, -3, -4, -5, -6, \ldots \}$ , ella está acotada superiormente, por lo tanto tiene supremo y este será $sup(a_n)=-1$ , pues es la menor de las cotas superiores. Veamos gráficamente el comportamiento de la sucesión y señalemos en el área rayada el conjunto de las cotas superiores.

En este caso particular, el supremo coincide con el máximo de la sucesión.

Ejemplo 2

Si consideramos la sucesión $\left\{ 1 \right\}_{n} =\{ 1, 1, 1, 1, 1, 1, \ldots \}$ , ella está acotada superiormente, por lo tanto tiene supremo y este será $sup(a_n)=1$ , pues es la menor de las cotas superiores. Veamos gráficamente el comportamiento de la sucesión y señalemos en el área rayada el conjunto de las cotas superiores.

En este caso particular, el supremo coincide con el máximo de la sucesión.

Ejemplo 3

Si consideramos la sucesión $\left\{ 1-\frac{1}{n} \right\}_{n} = \left\{ 0, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \ldots \right\}$ , ella está acotada superiormente, por lo tanto tiene supremo y este será $sup(a_n)=1$ , pues es la menor de las cotas superiores. Veamos gráficamente el comportamiento de la sucesión y señalemos en el área rayada el conjunto de las cotas superiores.

Notemos que en este caso, la sucesión no tiene máximo, sin embargo, sí tiene supremo pues toda sucesión acotada superiormente, tiene supremo. Lo hemos señalado con una línea roja.

Anuncios

Ínfimo de una Sucesión

Si una sucesión está acotada inferiormente, diremos que el ínfimo de esta sucesión es la mayor de las cotas inferiores, o en otras palabras, es el máximo del conjunto de todas sus cotas inferiores. Formalmente, diremos que una cota inferior $c_0$ es el ínfimo de una sucesión $a_n$ , si $c_0 \geq r$ para toda cota inferior $r$ de la sucesión $a_n$ . Usualmente se denota con $inf(a_n)$ .

Veamos algunos ejemplos del supremo de una sucesión: