Supremo e Ínfimo de una sucesión

Al estudiar las cotas de una sucesión, existen elementos que acotan a la sucesión con mayor rigurosidad que cualquier otra cota, estos son conocidos como el ínfimo y el supremo, veamos como están definidos y como identificarlos.

Supremo de una Sucesión

Si una sucesión está acotada superiormente, diremos que el supremo de esta sucesión es la menor de las cotas superiores, o en otras palabras, es el mínimo del conjunto de todas sus cotas superiores. Formalmente, diremos que una cota superior C_0 es el supremo de una sucesión a_n, si C_0 \leq C para toda cota superior C de la sucesión a_n. Usualmente se denota con sup(a_n).

Veamos algunos ejemplos del supremo de una sucesión:

Ejemplos

Ejemplo 1

Si consideramos la sucesión \left\{ -n \right\}_{n} = \{ -1, -2, -3, -4, -5, -6, \ldots \}, ella está acotada superiormente, por lo tanto tiene supremo y este será sup(a_n)=-1, pues es la menor de las cotas superiores. Veamos gráficamente el comportamiento de la sucesión y señalemos en el área rayada el conjunto de las cotas superiores.

En este caso particular, el supremo coincide con el máximo de la sucesión.

Ejemplo 2

Si consideramos la sucesión \left\{ 1 \right\}_{n} =\{ 1, 1, 1, 1, 1, 1, \ldots \}, ella está acotada superiormente, por lo tanto tiene supremo y este será sup(a_n)=1, pues es la menor de las cotas superiores. Veamos gráficamente el comportamiento de la sucesión y señalemos en el área rayada el conjunto de las cotas superiores.

En este caso particular, el supremo coincide con el máximo de la sucesión.

Ejemplo 3

Si consideramos la sucesión \left\{ 1-\frac{1}{n} \right\}_{n} = \left\{ 0, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \ldots \right\}, ella está acotada superiormente, por lo tanto tiene supremo y este será sup(a_n)=1, pues es la menor de las cotas superiores. Veamos gráficamente el comportamiento de la sucesión y señalemos en el área rayada el conjunto de las cotas superiores.

Notemos que en este caso, la sucesión no tiene máximo, sin embargo, sí tiene supremo pues toda sucesión acotada superiormente, tiene supremo. Lo hemos señalado con una línea roja.

Ínfimo de una Sucesión

Si una sucesión está acotada inferiormente, diremos que el ínfimo de esta sucesión es la mayor de las cotas inferiores, o en otras palabras, es el máximo del conjunto de todas sus cotas inferiores. Formalmente, diremos que una cota inferior $c_0$ es el ínfimo de una sucesión a_n, si $c_0 \geq r$ para toda cota inferior r de la sucesión a_n. Usualmente se denota con inf(a_n).

Veamos algunos ejemplos del supremo de una sucesión:

Ejemplos

Ejemplo 4

Si consideramos la sucesión \left\{ n \right\}_{n} = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, \ldots \}, ella está acotada inferiormente, por lo tanto tiene ínfimo y este será inf(a_n)=1, pues es la mayor de las cotas inferiores. Veamos gráficamente el comportamiento de la sucesión y señalemos en el área rayada el conjunto de las cotas inferiores.

En este caso particular, el ínfimo coincide con el mínimo de la sucesión.

Ejemplo 5

Si consideramos la sucesión \left\{ 3 \right\}_{n} = \{ 3, 3, 3, 3, 3, 3, \ldots \}, ella está acotada inferiormente, por lo tanto tiene ínfimo y este será inf(a_n)=3, pues es la mayor de las cotas inferiores. Veamos gráficamente el comportamiento de la sucesión y señalemos en el área rayada el conjunto de las cotas inferiores.

En este caso particular, el ínfimo coincide con el mínimo de la sucesión.

Ejemplo 6

Si consideramos la sucesión \left\{ \frac{1}{n} \right\}_{n} =\left\{ 0, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \ldots \right\}, ella está acotada inferiormente, por lo tanto tiene ínfimo y este será inf(a_n)=0, pues es la mayor de las cotas inferiores. Veamos gráficamente el comportamiento de la sucesión y señalemos en el área rayada el conjunto de las cotas inferiores.

Notemos que en este caso, la sucesión no tiene mínimo, sin embargo, sí tiene ínfimo pues toda sucesión acotada inferiormente, tiene ínfimo. Lo hemos señalado con una línea roja.


¿Tiendes dudas? ¿Requieres más ejemplos? No dudes en escribir.

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