Sucesiones

Definimos una sucesión como una regla de correspondencia que corresponde a cada número natural con un único número real, es decir, una sucesión es una función que parte de desde $\mathbb{N}$ y llega hasta $\mathbb{R}$ , entonces, si $a$ es una sucesión, tenemos que:

Al trabajar con sucesiones, la notación de función puede sobrecargar la nomenclatura, es por esto que la regla de correspondencia $a(n)$ para cada $n \in \mathbb{N}$ que define la sucesión usualmente se denota de la siguiente forma

De esta forma, podemos expresar a las sucesiones como conjuntos, ya sea de forma comprensiva, definiendo la regla general que define a todos los elementos del conjunto o de forma extensiva, nombrando todos sus elementos como veremos a continuación:

Aunque también se puede expresar de forma comprensiva usando las notaciones $\{ a_{n} \}_{n \in \mathbb{N}}$ o $(a_{n})$ .

Veamos en los siguientes ejemplos algunas de las sucesiones básicas. Como ejercicio mental para el lector, vea primero el conjunto que define la sucesión y piense cual es la regla general que la define.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Si consideramos la sucesión $\{ 1,1, 1, 1, 1, 1, \ldots \}$ , esta sucesión será llamada sucesión constante uno y la regla general que define a esta sucesión es $a_{n} = 1$ . De forma general, la sucesión $\{ c, c, c, c, c, c, \ldots \}$ definida por $a_{n} = c$ donde $c$ es un número real, será llamada sucesión constante $c$ .

Ejemplo 2

Si consideramos la sucesión $\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, \ldots \}$ , esta sucesión será llamada sucesión de los números naturales y la regla general que define a esta sucesión es $a_{n} = n$ .

Ejemplo 3

Si consideramos la sucesión $\left\{ 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \ldots \right\}$ , esta sucesión será llamada sucesión de proporcionalidad inversa y la regla general que define a esta sucesión es $a_{n} = \frac{1}{n}$ .

Ejemplo 4

Si consideramos la sucesión $\left\{ 0, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \ldots \right\}$ , la regla general que define a esta sucesión es $a_{n} =1- \frac{1}{n}$ .

Ejemplo 5

Si consideramos la sucesión $\{ 2, 4, 6, 8, 10, 12, \ldots \}$ , esta sucesión será llamada sucesión de los números pares y la regla general que define a esta sucesión es $a_{n} = 2n$ , notemos que se genera multiplicando cada número natural por dos.

Ejemplo 6

Si consideramos la sucesión $\{ 1, 3, 5, 7, 9, 11, \ldots \}$ , esta sucesión será llamada sucesión de los números impares y la regla general que define a esta sucesión es $a_{n} = 2n-1$ , notemos que se genera restando uno a cada número par.

Ejemplo 7

Si consideramos la sucesión $\{ -1, 1, -1, 1, -1, 1, \ldots \}$ , esta sucesión será llamada sucesión alternante y la regla general que define a esta sucesión es $a_{n} = (-1)^{n}$ .

Un comentario en “Sucesiones”

[…] sucesiones aritméticas (o progresiones aritméticas) son un tipo especial de sucesiones que parten desde un elemento básico y a partir de ahí, se suma una razón repetidas veces. […]

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