Interés Simple

Suponga que usted le presta dinero a una persona, ¿qué puede hacer para motivar a esta persona para que le pague la deuda? ¿Cómo mantiene a esa persona interesada en pagar el dinero que le debe? Una solución práctica es aumentar la deuda por cada cierto periodo de tiempo que la persona no pague, aunque, no necesariamente este préstamo tiene que ser a personas.

Cuando usted guarda su dinero en un banco, usted está prestando este dinero y es por esto que cada cierto periodo de tiempo los bancos le abonan una cierta cantidad de dinero basada en lo que usted tenga guardado en el banco, este abono es conocido como interés y es posible describir esto de forma matemática.

Una vez que una persona ha depositado un monto de dinero en un banco, definimos una tasa de interés como un porcentaje del monto y que el banco retribuirá a la persona cada cierto periodo de tiempo. Formalmente, si una persona invierte un capital P en un banco que ofrece una tasa de interés del r por ciento, entonces, definimos el interés sobre este monto de la siguiente forma

I = P \cdot \frac{r}{100}

Decimos que una tasa de interés es una tasa de interés simple si este se calcula siempre sobre el capital inicial depositado por la persona, de forma que si el capital es igual a P_1, entonces tenemos que

Durante el transcurso del primer periodo, la persona habrá acumulado

P_1

Durante el transcurso del segundo periodo, la persona habrá acumulado

P_1 + I

Durante el transcurso del tercer periodo, la persona habrá acumulado

P_1 + 2I

Y así sucesivamente, podemos concluir que durante el transcurso del n-ésimo periodo, la persona habrá acumulado

P_1 + (n-1)I

Notando entonces que el monto acumulado durante el transcurso del n-ésimo periodo, está determinado por una sucesión aritmética creciente, a esta expresión se le conoce como la fórmula de interés simple y al valor P_1 se le conoce como capital inicial. Veamos entonces algunos ejemplos donde podemos aplicar esta fórmula.

Ejemplos

Ejemplo 1

Suponga que una persona ha depositado un capital P = 7457 Ps. en un banco que ofrece una tasa de interés simple del 21.5 por ciento anual. Determine cuanto capital habrá acumulado esta persona durante el transcurso del año 5.

Teniendo en cuenta que I = P \cdot \frac{r}{100} = 7457 \cdot 0.215 = 1603.26, aplicando la fórmula de interés simple, el capital acumulado viene dado de la siguiente manera:

P_n = 7457 + (5-1) \cdot 1603.26 = 13870.04

Por lo tanto, el valor de este bien en el año 5 es de 13870.04 Ps.

Ejemplo 2

Suponga que una persona ha depositado un capital P = 3167 Ps. en un banco que ofrece una tasa de interés simple del 3.65 por ciento anual. Determine cuanto capital habrá acumulado esta persona durante el transcurso del año 10.

Teniendo en cuenta que I = P \cdot \frac{r}{100} = 3167 \cdot 0.0365 = 115.6, aplicando la fórmula de interés simple, el capital acumulado viene dado de la siguiente manera:

P_n = 3167 + (10-1) \cdot 115.6 = 4207.4

Por lo tanto, el valor de este bien en el año 10 es de 4207.4 Ps.

Ejemplo 3

Suponga que una persona ha depositado un capital P = 6695 Ps. en un banco que ofrece una tasa de interés simple del 0.2 por ciento anual. Determine cuanto capital habrá acumulado esta persona durante el transcurso del año 4.

Teniendo en cuenta que I = P \cdot \frac{r}{100} = 6695 \cdot 0.002 = 13.39, aplicando la fórmula de interés simple, el capital acumulado viene dado de la siguiente manera:

P_n = 6695 + (4-1) \cdot 13.39 = 6735.17

Por lo tanto, el valor de este bien en el año 4 es de 6735.17 Ps.

Ejemplo 4

Suponga que una persona ha depositado un capital P = 5000 Ps. en un banco que ofrece una tasa de interés simple del 18.8 por ciento anual. Determine cuanto capital habrá acumulado esta persona durante el transcurso del año 8.

Teniendo en cuenta que I = P \cdot \frac{r}{100} = 5000 \cdot 0.188 = 940.0, aplicando la fórmula de interés simple, el capital acumulado viene dado de la siguiente manera:

P_n = 5000 + (8-1) \cdot 940.0 = 11580.0

Por lo tanto, el valor de este bien en el año 8 es de 11580.0 Ps.


Determinar la fórmula general de interés simple

Considerando que la fórmula de interés simple está determinada por una sucesión aritmética, es posible determinar la fórmula general conociendo el capital que ha acumulado una persona en dos años distintos.

Formalmente, si consideramos el capital acumulado en dos años distintos, digamos P_i = P_1 + (i-1) \cdot I y P_j = P_1 + (j-1) \cdot I, podemos determinar el valor de P_1 y de I calculando la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Veamos en los siguientes ejemplos como determinar la fórmula general de una sucesión aritmética usando esta técnica.

Ejemplos

Ejemplo 5

Suponga que después de haber depositado dinero en un banco, una persona ascumuló un capital de P_{4} = 5180 en el año 4 y P_{20} = 7634 en el año 20. Determine la fórmula general de interés simple para determinar cuanto capital ha acumulado esta persona durante el n-esimo año.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones restamos ambas ecuaciones, notando que P_1 - P_1 = 0 para obtener la siguiente ecuación

(-16) \cdot I = -2454

A partir de esta ecuación podemos despejar I, para obtener que I = \frac{ -2454 }{ -16 } = \frac{1227}{8} y sustituirlo en la ecuación de nuestra preferencia para calcular P_1.

Sustituimos I en la primera ecuación y despejamos P_1

Finalmente, concluimos que el capital inicial es de P_1 = \frac{37759}{8} \approx 4720 y la tasa de interés es de I = \frac{1227}{8} \approx 153 , así que podemos expresar la fórmula general que define el interés simple de la siguiente manera:

P_n = \frac{37759}{8} - (n-1) \cdot \left( \frac{1227}{8} \right)

Ejemplo 6

Suponga que después de haber depositado dinero en un banco, una persona ascumuló un capital de P_{4} = 3290 en el año 4 y P_{9} = 7619 en el año 9. Determine la fórmula general de interés simple para determinar cuanto capital ha acumulado esta persona durante el n-esimo año.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones restamos ambas ecuaciones, notando que P_1 - P_1 = 0 para obtener la siguiente ecuación

(-5) \cdot I = -4329

A partir de esta ecuación podemos despejar I, para obtener que I = \frac{ -4329 }{ -5 } = \frac{4329}{5} y sustituirlo en la ecuación de nuestra preferencia para calcular P_1.

Sustituimos I en la primera ecuación y despejamos P_1

Finalmente, concluimos que el capital inicial es de P_1 = \frac{3463}{5} \approx 693 y la tasa de interés es de I = \frac{4329}{5} \approx 866 , así que podemos expresar la fórmula general que define el interés simple de la siguiente manera:

P_n = \frac{3463}{5} - (n-1) \cdot \left( \frac{4329}{5} \right)

Ejemplo 7

Suponga que después de haber depositado dinero en un banco, una persona ascumuló un capital de P_{4} = 1899 en el año 4 y P_{16} = 3035 en el año 16. Determine la fórmula general de interés simple para determinar cuanto capital ha acumulado esta persona durante el n-esimo año.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones restamos ambas ecuaciones, notando que P_1 - P_1 = 0 para obtener la siguiente ecuación

(-12) \cdot I = -1136

A partir de esta ecuación podemos despejar I, para obtener que I = \frac{ -1136 }{ -12 } = \frac{284}{3} y sustituirlo en la ecuación de nuestra preferencia para calcular P_1.

Sustituimos I en la primera ecuación y despejamos P_1

Finalmente, concluimos que el capital inicial es de P_1 = 1615 y la tasa de interés es de I = \frac{284}{3} \approx 95 , así que podemos expresar la fórmula general que define el interés simple de la siguiente manera:

P_n = 1615 - (n-1) \cdot \left( \frac{284}{3} \right)

Ejemplo 8

Suponga que después de haber depositado dinero en un banco, una persona ascumuló un capital de P_{5} = 2454 en el año 5 y P_{17} = 4817 en el año 17. Determine la fórmula general de interés simple para determinar cuanto capital ha acumulado esta persona durante el n-esimo año.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones restamos ambas ecuaciones, notando que P_1 - P_1 = 0 para obtener la siguiente ecuación

(-12) \cdot I = -2363

A partir de esta ecuación podemos despejar I, para obtener que I = \frac{ -2363 }{ -12 } = \frac{2363}{12} y sustituirlo en la ecuación de nuestra preferencia para calcular P_1.

Sustituimos I en la primera ecuación y despejamos P_1

Finalmente, concluimos que el capital inicial es de P_1 = \frac{4999}{3} \approx 1666 y la tasa de interés es de I = \frac{2363}{12} \approx 197 , así que podemos expresar la fórmula general que define el interés simple de la siguiente manera:

P_n = \frac{4999}{3} - (n-1) \cdot \left( \frac{2363}{12} \right)


¿Cuántos periodos?

Un aspecto importante de la fórmula de interés simple es que nos permite proyectar inversiones en un banco pues, una vez que se ha depositado una cantidad de dinero, es posible determinar los periodos que deben transcurrir hasta acumular un capital determinado. Veamos en los siguiente ejemplos como determinar esto.

Ejemplos

Ejemplo 9

Suponga que una persona ha depositado la cantidad de P_1 = 2441 Ps. en un banco que ofrece una tasa de interés simple de r = 47.67 por ciento anual. Determine cuantos años deben transcurrir hasta acumular 26152 .

Aplicando la fórmula de interés simple, el capital acumulado durante el transcurso del n-ésimo año viene dado de la siguiente manera:

P_n = 2441 +1163 \cdot (n -1)

Nuestro propósito es determinar el valor de n para el cual P_n= 26152 , es decir, para el cual 2441 -47 \cdot (n -1) = 26152 y para esto, despejamos n.

Por lo tanto, esta persona acumulará un capital de 26152 en aproximadamente 21 años.

Ejemplo 10

Suponga que una persona ha depositado la cantidad de P_1 = 3618 Ps. en un banco que ofrece una tasa de interés simple de r = 10.05 por ciento anual. Determine cuantos años deben transcurrir hasta acumular 18132 .

Aplicando la fórmula de interés simple, el capital acumulado durante el transcurso del n-ésimo año viene dado de la siguiente manera:

P_n = 3618 +363 \cdot (n -1)

Nuestro propósito es determinar el valor de n para el cual P_n= 18132 , es decir, para el cual 3618 -10 \cdot (n -1) = 18132 y para esto, despejamos n.

Por lo tanto, esta persona acumulará un capital de 18132 en aproximadamente 41 años.

Ejemplo 11

Suponga que una persona ha depositado la cantidad de P_1 = 9589 Ps. en un banco que ofrece una tasa de interés simple de r = 30.87 por ciento anual. Determine cuantos años deben transcurrir hasta acumular 10896 .

Aplicando la fórmula de interés simple, el capital acumulado durante el transcurso del n-ésimo año viene dado de la siguiente manera:

P_n = 9589 +2960 \cdot (n -1)

Nuestro propósito es determinar el valor de n para el cual P_n= 10896 , es decir, para el cual 9589 -30 \cdot (n -1) = 10896 y para esto, despejamos n.

Por lo tanto, esta persona acumulará un capital de 10896 en aproximadamente 1 año.

Ejemplo 12

Suponga que una persona ha depositado la cantidad de P_1 = 4794 Ps. en un banco que ofrece una tasa de interés simple de r = 37.12 por ciento anual. Determine cuantos años deben transcurrir hasta acumular 27161 .

Aplicando la fórmula de interés simple, el capital acumulado durante el transcurso del n-ésimo año viene dado de la siguiente manera:

P_n = 4794 +1779 \cdot (n -1)

Nuestro propósito es determinar el valor de n para el cual P_n= 27161 , es decir, para el cual 4794 -37 \cdot (n -1) = 27161 y para esto, despejamos n.

Por lo tanto, esta persona acumulará un capital de 27161 en aproximadamente 14 años.


¿Tiendes dudas? ¿Requieres más ejemplos? No dudes en escribir.

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s

Este sitio usa Akismet para reducir el spam. Aprende cómo se procesan los datos de tus comentarios .