Interés Simple

29.08.202007.12.2022 Anthonny Arias García1 comentario

Suponga que usted le presta dinero a una persona, ¿qué puede hacer para motivar a esta persona para que le pague la deuda? ¿Cómo mantiene a esa persona interesada en pagar el dinero que le debe? Una solución práctica es aumentar la deuda por cada cierto periodo de tiempo que la persona no pague, aunque, no necesariamente este préstamo tiene que ser a personas.

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Cuando usted guarda su dinero en un banco, usted está prestando este dinero y es por esto que cada cierto periodo de tiempo los bancos le abonan una cierta cantidad de dinero basada en lo que usted tenga guardado en el banco, este abono es conocido como interés y es posible describir esto de forma matemática.

Una vez que una persona ha depositado un monto de dinero en un banco, definimos una tasa de interés como un porcentaje del monto y que el banco retribuirá a la persona cada cierto periodo de tiempo. Formalmente, si una persona invierte un capital $P$ en un banco que ofrece una tasa de interés del $r$ por ciento, entonces, definimos el interés sobre este monto de la siguiente forma

$I = P \cdot \frac{r}{100}$

Decimos que una tasa de interés es una tasa de interés simple si este se calcula siempre sobre el capital inicial depositado por la persona, de forma que si el capital es igual a $P_1$ , entonces tenemos que

Durante el transcurso del primer periodo, la persona habrá acumulado

$P_1$

Durante el transcurso del segundo periodo, la persona habrá acumulado

$P_1 + I$

Durante el transcurso del tercer periodo, la persona habrá acumulado

$P_1 + 2I$

Y así sucesivamente, podemos concluir que durante el transcurso del $n$ -ésimo periodo, la persona habrá acumulado

$P_1 + (n-1)I$

Notando entonces que el monto acumulado durante el transcurso del $n$ -ésimo periodo, está determinado por una sucesión aritmética creciente, a esta expresión se le conoce como la fórmula de interés simple y al valor $P_1$ se le conoce como capital inicial. Veamos entonces algunos ejemplos donde podemos aplicar esta fórmula.

Ejemplos

Ejemplo 1

Suponga que una persona ha depositado un capital $P = 7457$ Ps. en un banco que ofrece una tasa de interés simple del 21.5 por ciento anual. Determine cuanto capital habrá acumulado esta persona durante el transcurso del año 5.

Teniendo en cuenta que $I = P \cdot \frac{r}{100} = 7457 \cdot 0.215 = 1603.26$ , aplicando la fórmula de interés simple, el capital acumulado viene dado de la siguiente manera:

$P_n = 7457 + (5-1) \cdot 1603.26 = 13870.04$

Por lo tanto, el valor de este bien en el año 5 es de 13870.04 Ps.

Ejemplo 2

Suponga que una persona ha depositado un capital $P = 3167$ Ps. en un banco que ofrece una tasa de interés simple del 3.65 por ciento anual. Determine cuanto capital habrá acumulado esta persona durante el transcurso del año 10.

Teniendo en cuenta que $I = P \cdot \frac{r}{100} = 3167 \cdot 0.0365 = 115.6$ , aplicando la fórmula de interés simple, el capital acumulado viene dado de la siguiente manera:

$P_n = 3167 + (10-1) \cdot 115.6 = 4207.4$

Por lo tanto, el valor de este bien en el año 10 es de 4207.4 Ps.

Ejemplo 3

Suponga que una persona ha depositado un capital $P = 6695$ Ps. en un banco que ofrece una tasa de interés simple del 0.2 por ciento anual. Determine cuanto capital habrá acumulado esta persona durante el transcurso del año 4.

Teniendo en cuenta que $I = P \cdot \frac{r}{100} = 6695 \cdot 0.002 = 13.39$ , aplicando la fórmula de interés simple, el capital acumulado viene dado de la siguiente manera:

$P_n = 6695 + (4-1) \cdot 13.39 = 6735.17$

Por lo tanto, el valor de este bien en el año 4 es de 6735.17 Ps.

Ejemplo 4

Suponga que una persona ha depositado un capital $P = 5000$ Ps. en un banco que ofrece una tasa de interés simple del 18.8 por ciento anual. Determine cuanto capital habrá acumulado esta persona durante el transcurso del año 8.

Teniendo en cuenta que $I = P \cdot \frac{r}{100} = 5000 \cdot 0.188 = 940.0$ , aplicando la fórmula de interés simple, el capital acumulado viene dado de la siguiente manera:

$P_n = 5000 + (8-1) \cdot 940.0 = 11580.0$

Por lo tanto, el valor de este bien en el año 8 es de 11580.0 Ps.

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Determinar la fórmula general de interés simple

Considerando que la fórmula de interés simple está determinada por una sucesión aritmética, es posible determinar la fórmula general conociendo el capital que ha acumulado una persona en dos años distintos.

Formalmente, si consideramos el capital acumulado en dos años distintos, digamos $P_i = P_1 + (i-1) \cdot I$ y $P_j = P_1 + (j-1) \cdot I$ , podemos determinar el valor de $P_1$ y de $I$ calculando la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Veamos en los siguientes ejemplos como determinar la fórmula general de una sucesión aritmética usando esta técnica.

Ejemplos

Ejemplo 5

Suponga que después de haber depositado dinero en un banco, una persona ascumuló un capital de $P_{4} = 5180$ en el año 4 y $P_{20} = 7634$ en el año 20. Determine la fórmula general de interés simple para determinar cuanto capital ha acumulado esta persona durante el $n$ -esimo año.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones restamos ambas ecuaciones, notando que $P_1 - P_1 = 0$ para obtener la siguiente ecuación

$(-16) \cdot I = -2454$

A partir de esta ecuación podemos despejar $I$ , para obtener que $I = \frac{ -2454 }{ -16 } = \frac{1227}{8}$ y sustituirlo en la ecuación de nuestra preferencia para calcular $P_1$ .

Sustituimos $I$ en la primera ecuación y despejamos $P_1$

Finalmente, concluimos que el capital inicial es de $P_1 = \frac{37759}{8} \approx 4720$ y la tasa de interés es de $I = \frac{1227}{8} \approx 153$ , así que podemos expresar la fórmula general que define el interés simple de la siguiente manera:

$P_n = \frac{37759}{8} - (n-1) \cdot \left( \frac{1227}{8} \right)$

Ejemplo 6

Suponga que después de haber depositado dinero en un banco, una persona ascumuló un capital de $P_{4} = 3290$ en el año 4 y $P_{9} = 7619$ en el año 9. Determine la fórmula general de interés simple para determinar cuanto capital ha acumulado esta persona durante el $n$ -esimo año.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones restamos ambas ecuaciones, notando que $P_1 - P_1 = 0$ para obtener la siguiente ecuación

$(-5) \cdot I = -4329$

A partir de esta ecuación podemos despejar $I$ , para obtener que $I = \frac{ -4329 }{ -5 } = \frac{4329}{5}$ y sustituirlo en la ecuación de nuestra preferencia para calcular $P_1$ .

Sustituimos $I$ en la primera ecuación y despejamos $P_1$

Finalmente, concluimos que el capital inicial es de $P_1 = \frac{3463}{5} \approx 693$ y la tasa de interés es de $I = \frac{4329}{5} \approx 866$ , así que podemos expresar la fórmula general que define el interés simple de la siguiente manera:

$P_n = \frac{3463}{5} - (n-1) \cdot \left( \frac{4329}{5} \right)$

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Ejemplo 7

Suponga que después de haber depositado dinero en un banco, una persona ascumuló un capital de $P_{4} = 1899$ en el año 4 y $P_{16} = 3035$ en el año 16. Determine la fórmula general de interés simple para determinar cuanto capital ha acumulado esta persona durante el $n$ -esimo año.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones restamos ambas ecuaciones, notando que $P_1 - P_1 = 0$ para obtener la siguiente ecuación

$(-12) \cdot I = -1136$

A partir de esta ecuación podemos despejar $I$ , para obtener que $I = \frac{ -1136 }{ -12 } = \frac{284}{3}$ y sustituirlo en la ecuación de nuestra preferencia para calcular $P_1$ .

Sustituimos $I$ en la primera ecuación y despejamos $P_1$

Finalmente, concluimos que el capital inicial es de $P_1 = 1615$ y la tasa de interés es de $I = \frac{284}{3} \approx 95$ , así que podemos expresar la fórmula general que define el interés simple de la siguiente manera:

$P_n = 1615 - (n-1) \cdot \left( \frac{284}{3} \right)$

Ejemplo 8

Suponga que después de haber depositado dinero en un banco, una persona ascumuló un capital de $P_{5} = 2454$ en el año 5 y $P_{17} = 4817$ en el año 17. Determine la fórmula general de interés simple para determinar cuanto capital ha acumulado esta persona durante el $n$ -esimo año.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones restamos ambas ecuaciones, notando que $P_1 - P_1 = 0$ para obtener la siguiente ecuación

$(-12) \cdot I = -2363$

A partir de esta ecuación podemos despejar $I$ , para obtener que $I = \frac{ -2363 }{ -12 } = \frac{2363}{12}$ y sustituirlo en la ecuación de nuestra preferencia para calcular $P_1$ .

Sustituimos $I$ en la primera ecuación y despejamos $P_1$

Finalmente, concluimos que el capital inicial es de $P_1 = \frac{4999}{3} \approx 1666$ y la tasa de interés es de $I = \frac{2363}{12} \approx 197$ , así que podemos expresar la fórmula general que define el interés simple de la siguiente manera:

$P_n = \frac{4999}{3} - (n-1) \cdot \left( \frac{2363}{12} \right)$

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¿Cuántos periodos?

Un aspecto importante de la fórmula de interés simple es que nos permite proyectar inversiones en un banco pues, una vez que se ha depositado una cantidad de dinero, es posible determinar los periodos que deben transcurrir hasta acumular un capital determinado. Veamos en los siguiente ejemplos como determinar esto.

Ejemplos

Ejemplo 9

Suponga que una persona ha depositado la cantidad de $P_1 = 2441$ Ps. en un banco que ofrece una tasa de interés simple de $r = 47.67$ por ciento anual. Determine cuantos años deben transcurrir hasta acumular 26152 .

Aplicando la fórmula de interés simple, el capital acumulado durante el transcurso del $n$ -ésimo año viene dado de la siguiente manera:

$P_n = 2441 +1163 \cdot (n -1)$

Nuestro propósito es determinar el valor de $n$ para el cual $P_n= 26152$ , es decir, para el cual $2441 -47 \cdot (n -1) = 26152$ y para esto, despejamos $n$ .

Por lo tanto, esta persona acumulará un capital de 26152 en aproximadamente 21 años.

Ejemplo 10

Suponga que una persona ha depositado la cantidad de $P_1 = 3618$ Ps. en un banco que ofrece una tasa de interés simple de $r = 10.05$ por ciento anual. Determine cuantos años deben transcurrir hasta acumular 18132 .

Aplicando la fórmula de interés simple, el capital acumulado durante el transcurso del $n$ -ésimo año viene dado de la siguiente manera:

$P_n = 3618 +363 \cdot (n -1)$

Nuestro propósito es determinar el valor de $n$ para el cual $P_n= 18132$ , es decir, para el cual $3618 -10 \cdot (n -1) = 18132$ y para esto, despejamos $n$ .

Por lo tanto, esta persona acumulará un capital de 18132 en aproximadamente 41 años.

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Ejemplo 11

Suponga que una persona ha depositado la cantidad de $P_1 = 9589$ Ps. en un banco que ofrece una tasa de interés simple de $r = 30.87$ por ciento anual. Determine cuantos años deben transcurrir hasta acumular 10896 .

Aplicando la fórmula de interés simple, el capital acumulado durante el transcurso del $n$ -ésimo año viene dado de la siguiente manera:

$P_n = 9589 +2960 \cdot (n -1)$

Nuestro propósito es determinar el valor de $n$ para el cual $P_n= 10896$ , es decir, para el cual $9589 -30 \cdot (n -1) = 10896$ y para esto, despejamos $n$ .

Por lo tanto, esta persona acumulará un capital de 10896 en aproximadamente 1 año.

Ejemplo 12

Suponga que una persona ha depositado la cantidad de $P_1 = 4794$ Ps. en un banco que ofrece una tasa de interés simple de $r = 37.12$ por ciento anual. Determine cuantos años deben transcurrir hasta acumular 27161 .

Aplicando la fórmula de interés simple, el capital acumulado durante el transcurso del $n$ -ésimo año viene dado de la siguiente manera:

$P_n = 4794 +1779 \cdot (n -1)$

Nuestro propósito es determinar el valor de $n$ para el cual $P_n= 27161$ , es decir, para el cual $4794 -37 \cdot (n -1) = 27161$ y para esto, despejamos $n$ .

Por lo tanto, esta persona acumulará un capital de 27161 en aproximadamente 14 años.

Depreciación Simple

25.08.202007.12.2022 Anthonny Arias García1 comentario

Es un hecho que el tiempo erosiona el valor de cualquier objeto, ya sea por quedar obsoleto, por desgaste o por pérdida de funcionalidad. Esta es una situación que hay que tener en consideración siempre que se adquiere un bien. Suponga de forma particular que una empresa adquiere un bien y desea determinar su valor con el pasar de los años, ya que de esta forma podrá proyectar la fecha en la que se deba desechar o sustituir por uno nuevo.

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Digamos que este bien se adquiere en $V_1$ Perolitos (Ps) y que este se deprecia a razón de $r$ Ps. por año. Entonces, tenemos que

Durante el transcurso del primer año, este bien tiene un valor de

$V_1$

Durante el transcurso del segundo año, este bien tiene un valor de

$V_1 - r$

Durante el transcurso del tercer año, este bien tiene un valor de

$V_1 - 2r$

Y así sucesivamente, podemos concluir que durante el transcurso del $n$ -ésimo año, este bien tiene un valor de

$V_1 - (n-1)r$

Notando entonces que el valor de este bien en el $n$ -ésimo año está determinando por una sucesión aritmética decreciente, a esta expresión se le conoce como la fórmula de depreciación simple, al valor $V_1$ se le conoce como valor inicial y a $r$ se le conoce como la tasa de depreciación. Veamos entonces algunos ejemplos donde podemos aplicar esta fórmula.

Ejemplos

Ejemplo 1

Suponga que una carnicería adquiere una moledora de carne con un valor de $V_1 = 9336$ Ps. y esta se deprecia anualmente en $r = 577$ Ps. Determine su valor en el año 6.

Aplicando la fórmula de depreciación simple, el valor de este bien viene dado de la siguiente manera:

$V_n = 9336 +577 \cdot ( 6 -1) = 6451$

Por lo tanto, el valor de este bien en el año 6 es de 6451 Ps.

Ejemplo 2

Suponga que una panificadora adquiere una amasadora con un valor de $V_1 = 1495$ Ps. y esta se deprecia anualmente en $r = 132$ Ps. Determine su valor en el año 8.

Aplicando la fórmula de depreciación simple, el valor de este bien viene dado de la siguiente manera:

$V_n = 1495 +132 \cdot ( 8 -1) = 571$

Por lo tanto, el valor de este bien en el año 8 es de 571 Ps.

Ejemplo 3

Suponga que una empresa constructora adquiere una batidora de cemento con un valor de $V_1 = 2002$ Ps. y esta se deprecia anualmente en $r = 160$ Ps. Determine su valor en el año 7.

Aplicando la fórmula de depreciación simple, el valor de este bien viene dado de la siguiente manera:

$V_n = 2002 +160 \cdot ( 7 -1) = 1042$

Por lo tanto, el valor de este bien en el año 7 es de 1042 Ps.

Ejemplo 4

Suponga que una cafetería adquiere una máquina de espresso con un valor de $V_1 = 9963$ Ps. y esta se deprecia anualmente en $r = 159$ Ps. Determine su valor en el año 5.

Aplicando la fórmula de depreciación simple, el valor de este bien viene dado de la siguiente manera:

$V_n = 9963 +159 \cdot ( 5 -1) = 9327$

Por lo tanto, el valor de este bien en el año 5 es de 9327 Ps.

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Determinar la fórmula general depreciación simple

Considerando que la depreciación simple está determinada por una sucesión aritmética, es posible determinar la fórmula general de depreciación conociendo el valor que tuvo el bien en dos años distintos.

Formalmente, si consideramos el valor que el bien adquirió en dos años distintos, digamos $V_i = V_1 - (i-1) \cdot r$ y $V_j = V_1 - (j-1) \cdot r$ , podemos determinar el valor de $V_1$ y de $r$ calculando la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Veamos en los siguientes ejemplos como determinar la fórmula general de una sucesión aritmética usando esta técnica.

Ejemplos

Ejemplo 5

Considerando que una moledora de carne tuvo un valor de $V_{8} = 9284$ en el año 8 y $V_{17} = 6974$ en el año 17 . Determine la fórmula general de depreciación simple de este bien.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones restamos ambas ecuaciones, notando que $V_1 - V_1 = 0$ para obtener la siguiente ecuación

$(9) \cdot r = 2310$

A partir de esta ecuación podemos despejar $r$ , para obtener que $r = \frac{ 2310 }{ 9 }$ y sustituirlo en la ecuación de nuestra preferencia para calcular $V_1$ .

Sustituimos $r$ en la primera ecuación y despejamos $V_1$

Finalmente, concluimos que el precio inicial de este bien es de $V_1 = \frac{33242}{3} \approx 11081$ latex y la tasa de depreciación es de $r = \frac{770}{3} \approx 257$ , podemos expresar la fórmula general que define a la depreciación simple del bien de la siguiente manera:

$V_n = \frac{33242}{3} - (n-1) \cdot \left( \frac{770}{3} \right)$

Ejemplo 6

Considerando que una amasadora tuvo un valor de $V_{8} = 9834$ en el año 8 y $V_{15} = 8155$ en el año 15 . Determine la fórmula general de depreciación simple de este bien.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones restamos ambas ecuaciones, notando que $V_1 - V_1 = 0$ para obtener la siguiente ecuación

$(7) \cdot r = 1679$

A partir de esta ecuación podemos despejar $r$ , para obtener que $r = \frac{ 1679 }{ 7 }$ y sustituirlo en la ecuación de nuestra preferencia para calcular $V_1$ .

Sustituimos $r$ en la primera ecuación y despejamos $V_1$

Finalmente, concluimos que el precio inicial de este bien es de $V_1 = 11513$ y la tasa de depreciación es de $r = \frac{1679}{7} \approx 240$ , podemos expresar la fórmula general que define a la depreciación simple del bien de la siguiente manera:

$V_n = 11513 - (n-1) \cdot \left( \frac{1679}{7} \right)$

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Ejemplo 7

Considerando que una batidora de cemento tuvo un valor de $V_{15} = 9091$ en el año 15 y $V_{17} = 1535$ en el año 17 . Determine la fórmula general de depreciación simple de este bien.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones restamos ambas ecuaciones, notando que $V_1 - V_1 = 0$ para obtener la siguiente ecuación

$(2) \cdot r = 7556$

A partir de esta ecuación podemos despejar $r$ , para obtener que $r = \frac{ 7556 }{ 2 }$ y sustituirlo en la ecuación de nuestra preferencia para calcular $V_1$ .

Sustituimos $r$ en la primera ecuación y despejamos $V_1$

Finalmente, concluimos que el precio inicial de este bien es de $V_1 = 61983$ y la tasa de depreciación es de $r = 3778$ , podemos expresar la fórmula general que define a la depreciación simple del bien de la siguiente manera:

$V_n = 61983 - (n-1) \cdot \left( 3778 \right)$

Ejemplo 8

Considerando que una máquina de espresso tuvo un valor de $V_{3} = 3486$ en el año 3 y $V_{7} = 3439$ en el año 7 . Determine la fórmula general de depreciación simple de este bien.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones restamos ambas ecuaciones, notando que $V_1 - V_1 = 0$ para obtener la siguiente ecuación

$(4) \cdot r = 47$

A partir de esta ecuación podemos despejar $r$ , para obtener que $r = \frac{ 47 }{ 4 }$ y sustituirlo en la ecuación de nuestra preferencia para calcular $V_1$ .

Sustituimos $r$ en la primera ecuación y despejamos $V_1$

Finalmente, concluimos que el precio inicial de este bien es de $V_1 = \frac{7019}{2} \approx 3510$ latex y la tasa de depreciación es de $r = \frac{47}{4} \approx 12$ , podemos expresar la fórmula general que define a la depreciación simple del bien de la siguiente manera:

$V_n = \frac{7019}{2} - (n-1) \cdot \left( \frac{47}{4} \right)$

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El valor de desecho

A medida que un bien pierde su valor, llega un punto en el que entrará en desuso o que su reventa no presentará un ingreso significativo, a este valor se le conoce como valor de desecho (o valor residual) y los años que pasan desde que se adquiere el bien hasta que su valor es igual al valor de desecho, se conoce como vida útil del bien.

Veamos en los siguientes ejemplos como calcular la vida útil de un bien.

Ejemplos

Ejemplo 9

Suponga que una carnicería adquiere una moledora de carne con un valor de $V_1 = 6397$ Ps. y esta se deprecia anualmente en $r = 541$ Ps. Determine su vida útil si su valor de desecho es igual a 1066.

Aplicando la fórmula de depreciación, el valor de este bien durante el $n$ -ésimo año viene dado de la siguiente manera:

$V_n = 6397 - 541 \cdot (n -1)$

Nuestro propósito es determinar el valor de $n$ para el cual $V_n= 1066$ , es decir, para el cual $6397 +541 \cdot (n -1) = 1066$ y para esto, despejamos $n$ .

Por lo tanto, la moledora de carne tiene una vida útil de aproximadamente 11 años.

Ejemplo 10

Suponga que una panificadora adquiere una amasadora con un valor de $V_1 = 8059$ Ps. y esta se deprecia anualmente en $r = 376$ Ps. Determine su vida útil si su valor de desecho es igual a 1343.

Aplicando la fórmula de depreciación, el valor de este bien durante el $n$ -ésimo año viene dado de la siguiente manera:

$V_n = 8059 - 376 \cdot (n -1)$

Nuestro propósito es determinar el valor de $n$ para el cual $V_n= 1343$ , es decir, para el cual $8059 +376 \cdot (n -1) = 1343$ y para esto, despejamos $n$ .

Por lo tanto, la amasadora tiene una vida útil de aproximadamente 19 años.

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Ejemplo 11

Suponga que una empresa constructora adquiere una batidora de cemento con un valor de $V_1 = 2663$ Ps. y esta se deprecia anualmente en $r = 161$ Ps. Determine su vida útil si su valor de desecho es igual a 666.

Aplicando la fórmula de depreciación, el valor de este bien durante el $n$ -ésimo año viene dado de la siguiente manera:

$V_n = 2663 - 161 \cdot (n -1)$

Nuestro propósito es determinar el valor de $n$ para el cual $V_n= 666$ , es decir, para el cual $2663 +161 \cdot (n -1) = 666$ y para esto, despejamos $n$ .

Por lo tanto, la batidora de cemento tiene una vida útil de aproximadamente 13 años.

Ejemplo 12

Suponga que una cafetería adquiere una máquina de espresso con un valor de $V_1 = 8530$ Ps. y esta se deprecia anualmente en $r = 206$ Ps. Determine su vida útil si su valor de desecho es igual a 2132.

Aplicando la fórmula de depreciación, el valor de este bien durante el $n$ -ésimo año viene dado de la siguiente manera:

$V_n = 8530 - 206 \cdot (n -1)$

Nuestro propósito es determinar el valor de $n$ para el cual $V_n= 2132$ , es decir, para el cual $8530 +206 \cdot (n -1) = 2132$ y para esto, despejamos $n$ .

Por lo tanto, la máquina de espresso tiene una vida útil de aproximadamente 32 años.

Suma de los primeros n elementos de una sucesión aritmética

21.08.202022.06.2021 Anthonny Arias GarcíaDeja un comentario

Suma de los primeros n números naturales

Una de las anécdotas más icónicas de las matemáticas nos lleva a la infancia de Carl Friedrich Gauss y lo que se relata es que durante sus estudios de primaria, se le asignó a Gauss calcular la suma de los primeros 100 números naturales y para sorpresa del profesor, el pequeño Gauss de 9 años, hizo este cálculo en cuestión de segundos. «¡¿Cómo lo hizo?!», se preguntaba el profesor, historia que se relata de forma extendida en EL BLOG DE FRANCISCO R. VILLATORO.

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Para simplificar las cuentas, consideremos el caso para la suma de los primeros diez números naturales, lo que notó Gauss a su corta edad, fue que si emparejaba los sumandos de la siguiente forma: $10 + 1$ , $9 + 2$ , $8 + 3$ , etc, el resultado de cada par siempre es el mismo, $11$ . Si alineamos los números del 1 al 10 de la siguiente forma, podremos ver con mayor facilidad qué es lo que ocurre:

Entonces, sumando todos estos onces, tenía que

$11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 = 10 \cdot 11 = 110$

Pero al hacer esto, contó cada número dos veces, así que el resultado lo debía dividir entre dos para así obtener que

$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = \frac{10 \cdot 11}{2} = 55$

De esta forma se pudo generalizar la suma de los primeros $n$ número naturales, pues la suma de estos pares de números tal como él los consideró siempre es igual a $n+1$ , así que bastó con multiplicar esta suma por $n$ y posteriormente dividir entre dos, de esta forma, dedujo la fórmula para calcular la suma de los primeros $n$ números naturales y es la siguiente:

Suma de los primeros n elementos de una sucesión

La suma de los primeros números naturales da pie para calcular la suma de los primeros $n$ elementos de una sucesión aritmética. Formalmente, si consideramos $a_n$ una sucesión aritmética, definimos la suma de sus primeros $n$ elementos de la siguiente forma:

Entonces, considerando que la sucesión es aritmética, cada elemento está definido como $a_i = a_1 + (i-1) \cdot r$ , para todo $i=1,\ldots,n$ . Por lo tanto, tenemos que

Agrupando todos los elementos $a_1$ por un lado y los elementos que multiplican a $r$ de otro, obtenemos

Sumar $a_1$ $n$ veces es igual a $n \cdot a_1$ y además, podemos sacar el factor común entre los elementos que están siendo multiplicados por $r$ , así

Notando que el factor que multiplica a $r$ es exactamente la suma de los primeros $n-1$ números naturales, así que aplicando la fórmula, tenemos que

Finalmente, sacando $n$ como factor común, obtenemos una fórmula general para calcular la suma de los primeros $n$ elementos de una sucesión:

Veamos en los siguientes ejemplos como aplicar esta fórmula.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la sucesión $\{1 + 1 \cdot (n-1) \}_{n} = \{1,2,3,4,5,6, \ldots \}$ . Calcule la suma de los primeros 24 términos.

La base de esta sucesión es $a_1 = 1$ y su razón es $r = 1$ . Por lo tanto, la forma general para calcular los primeros 24 términos de esta sucesión está expresada de la siguiente manera:

Ejemplo 2

Considerando la sucesión $\{10 -6 \cdot (n-1) \}_{n} = \{10,4,-2,-8,-14,-20, \ldots \}$ . Calcule la suma de los primeros 10 términos.

La base de esta sucesión es $a_1 = 10$ y su razón es $r = -6$ . Por lo tanto, la forma general para calcular los primeros 10 términos de esta sucesión está expresada de la siguiente manera:

Ejemplo 3

Considerando la sucesión $\{-10 + 3 \cdot (n-1) \}_{n} = \{-10,-7,-4,-1,2,5, \ldots \}$ . Calcule la suma de los primeros 97 términos.

La base de esta sucesión es $a_1 = -10$ y su razón es $r = 3$ . Por lo tanto, la forma general para calcular los primeros 97 términos de esta sucesión está expresada de la siguiente manera:

Ejemplo 4

Considerando la sucesión $\{3 -1 \cdot (n-1) \}_{n} = \{3,2,1,0,-1,-2, \ldots \}$ . Calcule la suma de los primeros 62 términos.

La base de esta sucesión es $a_1 = 3$ y su razón es $r = -1$ . Por lo tanto, la forma general para calcular los primeros 62 términos de esta sucesión está expresada de la siguiente manera:

Ejemplo 5

Considerando la sucesión $\{9 + 4 \cdot (n-1) \}_{n} = \{9,13,17,21,25,29, \ldots \}$ . Calcule la suma de los primeros 15 términos.

La base de esta sucesión es $a_1 = 9$ y su razón es $r = 4$ . Por lo tanto, la forma general para calcular los primeros 15 términos de esta sucesión está expresada de la siguiente manera:

Sucesiones Aritméticas

20.08.202007.12.2022 Anthonny Arias García3 comentarios

Las sucesiones aritméticas (o progresiones aritméticas) son un tipo especial de sucesiones que parten desde un elemento básico y a partir de ahí, se suma una razón repetidas veces. Formalmente, diremos que $\{ a_n \}_{n}$ es una sucesión aritmética si

Diremos que el primer elemento de la sucesión, $a_1$ es la base de la sucesión y, diremos que el número real $r$ es la razón de la sucesión, podemos notar que este último está determinado por la diferencia entre dos elementos consecutivos de la sucesión.

Consideremos en los siguientes ejemplos, algunas sucesiones aritméticas para tener una idea más concreta de su comportamiento.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Si consideramos la sucesión $\{1,2,3,4,5,6, \ldots\}$ . Su base será $a_1 = 1$ y su razón será $r = 1$ . Por lo tanto, la forma general de esta sucesión está definida de la siguiente manera:

$a_n = 1 + 1 \cdot (n-1)$

Ejemplo 2

Si consideramos la sucesión $\{5,8,11,14,17,20, \ldots\}$ . Su base será $a_1 = 5$ y su razón será $r = 3$ . Por lo tanto, la forma general de esta sucesión está definida de la siguiente manera:

$a_n = 5 + 3 \cdot (n-1)$

Ejemplo 3

Si consideramos la sucesión $\{-4,-14,-24,-34,-44,-54, \ldots\}$ . Su base será $a_1 = -4$ y su razón será $r = -10$ . Por lo tanto, la forma general de esta sucesión está definida de la siguiente manera:

$a_n = -4 -10 \cdot (n-1)$

Ejemplo 4

Si consideramos la sucesión $\{8,1,-6,-13,-20,-27, \ldots\}$ . Su base será $a_1 = 8$ y su razón será $r = -7$ . Por lo tanto, la forma general de esta sucesión está definida de la siguiente manera:

$a_n = 8 -7 \cdot (n-1)$

Ejemplo 5

Si consideramos la sucesión $\{7,9,11,13,15,17, \ldots\}$ . Su base será $a_1 = 7$ y su razón será $r = 2$ . Por lo tanto, la forma general de esta sucesión está definida de la siguiente manera:

$a_n = 7 + 2 \cdot (n-1)$

Considerando la razón de una sucesión aritmética podemos determinar el comportamiento de la misma. Veamos entonces lo que podemos concluir:

Si la razón de la sucesión es positiva, es decir, $r > 0$ , entonces la sucesión es creciente y al ser creciente, el primer elemento será su mínimo (e ínfimo), además será divergente hacia más infinito.
Si la razón de la sucesión es negativa, es decir, $r < 0$ , entonces la sucesión es decreciente y al ser decreciente, el primer elemento será su máximo (y supremo), además será divergente hacia menos infinito.

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Determinar la fórmula general

Si bien hemos visto que a partir de dos elementos consecutivos de una sucesión aritmética podemos determinar la razón de la sucesión y a partir de esta podemos determinar la base de la sucesión, es posible determinar la fórmula general de una sucesión aritmética considerando dos elementos cualesquiera de esta.

Formalmente, si consideramos dos elementos de una sucesión aritmética $a_i = a_1 + (i-1) \cdot r$ y $a_j = a_1 + (j-1) \cdot r$ , podemos determinar el valor de $a_1$ y de $r$ calculando la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Veamos en los siguientes ejemplos como determinar la fórmula general de una sucesión aritmética usando esta técnica.

Ejemplos

Ejemplo 6

Considerando $a_{76} = 93$ y $a_{35} = -95$ dos elementos de una sucesión aritmética. Determine la fórmula general de esta sucesión.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones restamos ambas ecuaciones, notando que $a_1 - a_1 = 0$ para obtener la siguiente ecuación

$(41) \cdot r = 188$

A partir de esta ecuación podemos despejar $r$ , para obtener que $r = \frac{ 188 }{ 41 }$ y sustituirlo en la ecuación de nuestra preferencia para calcular $a_1$ .

Sustituimos $r$ en la primera ecuación y despejamos $a_1$

Finalmente, $a_1 = \frac{-10287}{41}$ y de $r = \frac{188}{41}$ , podemos expresar la fórmula general que define a la sucesión de la siguiente manera:

$a_n = \frac{-10287}{41} + (n-1) \cdot \frac{188}{41}$

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Ejemplo 7

Considerando $a_{96} = 38$ y $a_{59} = 57$ dos elementos de una sucesión aritmética. Determine la fórmula general de esta sucesión.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones restamos ambas ecuaciones, notando que $a_1 - a_1 = 0$ para obtener la siguiente ecuación

$(37) \cdot r = -19$

A partir de esta ecuación podemos despejar $r$ , para obtener que $r = \frac{ -19 }{ 37 }$ y sustituirlo en la ecuación de nuestra preferencia para calcular $a_1$ .

Sustituimos $r$ en la primera ecuación y despejamos $a_1$

Finalmente, $a_1 = \frac{3211}{37}$ y de $r = \frac{-19}{37}$ , podemos expresar la fórmula general que define a la sucesión de la siguiente manera:

$a_n = \frac{3211}{37} + (n-1) \cdot \frac{-19}{37}$

Ejemplo 8

Considerando $a_{64} = -5$ y $a_{51} = -98$ dos elementos de una sucesión aritmética. Determine la fórmula general de esta sucesión.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones restamos ambas ecuaciones, notando que $a_1 - a_1 = 0$ para obtener la siguiente ecuación

$(13) \cdot r = 93$

A partir de esta ecuación podemos despejar $r$ , para obtener que $r = \frac{ 93 }{ 13 }$ y sustituirlo en la ecuación de nuestra preferencia para calcular $a_1$ .

Sustituimos $r$ en la primera ecuación y despejamos $a_1$

Finalmente, $a_1 = \frac{-5924}{13}$ y de $r = \frac{93}{13}$ , podemos expresar la fórmula general que define a la sucesión de la siguiente manera:

$a_n = \frac{-5924}{13} + (n-1) \cdot \frac{93}{13}$

Ejemplo 9

Considerando $a_{20} = -98$ y $a_{99} = -69$ dos elementos de una sucesión aritmética. Determine la fórmula general de esta sucesión.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones restamos ambas ecuaciones, notando que $a_1 - a_1 = 0$ para obtener la siguiente ecuación

$(-79) \cdot r = -29$

A partir de esta ecuación podemos despejar $r$ , para obtener que $r = \frac{ -29 }{ -79 }$ y sustituirlo en la ecuación de nuestra preferencia para calcular $a_1$ .

Sustituimos $r$ en la primera ecuación y despejamos $a_1$

Finalmente, $a_1 = \frac{-8293}{79}$ y de $r = \frac{29}{79}$ , podemos expresar la fórmula general que define a la sucesión de la siguiente manera:

$a_n = \frac{-8293}{79} + (n-1) \cdot \frac{29}{79}$

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Determinar la fórmula general de interés simple

Ejemplos

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Ejemplo 7

Ejemplo 8

¿Cuántos periodos?

Ejemplos

Ejemplo 9

Ejemplo 10

Ejemplo 11

Ejemplo 12

Comparte

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Determinar la fórmula general depreciación simple

Ejemplos

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Ejemplo 7

Ejemplo 8

El valor de desecho

Ejemplos

Ejemplo 9

Ejemplo 10

Ejemplo 11

Ejemplo 12

Comparte

Suma de los primeros n números naturales

Suma de los primeros n elementos de una sucesión

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Comparte

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Determinar la fórmula general

Ejemplos

Ejemplo 6

Ejemplo 7

Ejemplo 8

Ejemplo 9

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