Suma de los primeros n elementos de una sucesión aritmética

Suma de los primeros n números naturales

Una de las anécdotas más icónicas de las matemáticas nos lleva a la infancia de Carl Friedrich Gauss y lo que se relata es que durante sus estudios de primaria, se le asignó a Gauss calcular la suma de los primeros 100 números naturales y para sorpresa del profesor, el pequeño Gauss de 9 años, hizo este cálculo en cuestión de segundos. «¡¿Cómo lo hizo?!», se preguntaba el profesor, historia que se relata de forma extendida en EL BLOG DE FRANCISCO R. VILLATORO.

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Para simplificar las cuentas, consideremos el caso para la suma de los primeros diez números naturales, lo que notó Gauss a su corta edad, fue que si emparejaba los sumandos de la siguiente forma: $10 + 1$ , $9 + 2$ , $8 + 3$ , etc, el resultado de cada par siempre es el mismo, $11$ . Si alineamos los números del 1 al 10 de la siguiente forma, podremos ver con mayor facilidad qué es lo que ocurre:

Entonces, sumando todos estos onces, tenía que

$11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 = 10 \cdot 11 = 110$

Pero al hacer esto, contó cada número dos veces, así que el resultado lo debía dividir entre dos para así obtener que

$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = \frac{10 \cdot 11}{2} = 55$

De esta forma se pudo generalizar la suma de los primeros $n$ número naturales, pues la suma de estos pares de números tal como él los consideró siempre es igual a $n+1$ , así que bastó con multiplicar esta suma por $n$ y posteriormente dividir entre dos, de esta forma, dedujo la fórmula para calcular la suma de los primeros $n$ números naturales y es la siguiente:

Suma de los primeros n elementos de una sucesión

La suma de los primeros números naturales da pie para calcular la suma de los primeros $n$ elementos de una sucesión aritmética. Formalmente, si consideramos $a_n$ una sucesión aritmética, definimos la suma de sus primeros $n$ elementos de la siguiente forma:

Entonces, considerando que la sucesión es aritmética, cada elemento está definido como $a_i = a_1 + (i-1) \cdot r$ , para todo $i=1,\ldots,n$ . Por lo tanto, tenemos que

Agrupando todos los elementos $a_1$ por un lado y los elementos que multiplican a $r$ de otro, obtenemos

Sumar $a_1$ $n$ veces es igual a $n \cdot a_1$ y además, podemos sacar el factor común entre los elementos que están siendo multiplicados por $r$ , así

Notando que el factor que multiplica a $r$ es exactamente la suma de los primeros $n-1$ números naturales, así que aplicando la fórmula, tenemos que

Finalmente, sacando $n$ como factor común, obtenemos una fórmula general para calcular la suma de los primeros $n$ elementos de una sucesión:

Veamos en los siguientes ejemplos como aplicar esta fórmula.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la sucesión $\{1 + 1 \cdot (n-1) \}_{n} = \{1,2,3,4,5,6, \ldots \}$ . Calcule la suma de los primeros 24 términos.

La base de esta sucesión es $a_1 = 1$ y su razón es $r = 1$ . Por lo tanto, la forma general para calcular los primeros 24 términos de esta sucesión está expresada de la siguiente manera:

Ejemplo 2

Considerando la sucesión $\{10 -6 \cdot (n-1) \}_{n} = \{10,4,-2,-8,-14,-20, \ldots \}$ . Calcule la suma de los primeros 10 términos.

La base de esta sucesión es $a_1 = 10$ y su razón es $r = -6$ . Por lo tanto, la forma general para calcular los primeros 10 términos de esta sucesión está expresada de la siguiente manera:

Ejemplo 3

Considerando la sucesión $\{-10 + 3 \cdot (n-1) \}_{n} = \{-10,-7,-4,-1,2,5, \ldots \}$ . Calcule la suma de los primeros 97 términos.

La base de esta sucesión es $a_1 = -10$ y su razón es $r = 3$ . Por lo tanto, la forma general para calcular los primeros 97 términos de esta sucesión está expresada de la siguiente manera:

Ejemplo 4

Considerando la sucesión $\{3 -1 \cdot (n-1) \}_{n} = \{3,2,1,0,-1,-2, \ldots \}$ . Calcule la suma de los primeros 62 términos.

La base de esta sucesión es $a_1 = 3$ y su razón es $r = -1$ . Por lo tanto, la forma general para calcular los primeros 62 términos de esta sucesión está expresada de la siguiente manera:

Ejemplo 5

Considerando la sucesión $\{9 + 4 \cdot (n-1) \}_{n} = \{9,13,17,21,25,29, \ldots \}$ . Calcule la suma de los primeros 15 términos.

La base de esta sucesión es $a_1 = 9$ y su razón es $r = 4$ . Por lo tanto, la forma general para calcular los primeros 15 términos de esta sucesión está expresada de la siguiente manera:

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