Suma de los primeros n elementos de una sucesión geométrica

Las propiedades de las potencias establecen que al multiplicar dos números que tienen la misma base, se suman los exponentes, este hecho da pie para para calcular la suma de los primeros n elementos de una sucesión geométrica. Formalmente, si consideramos a_n una sucesión geométrica, definimos la suma de sus primeros n elementos de la siguiente forma:

S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n

Para deducir la fórmula que define esta suma aplicaremos algunos artilugios matemáticos pues considerando que la sucesión es geométrica, cada elemento está definido como a_i = a_1 \cdot r^{(i-1)}, para todo i=1,\ldots,n. Por lo tanto, tenemos que

S_n = a_1 + a_1 \cdot r + a_1 \cdot r^{2} + \ldots + a_1 \cdot r^{(n-1)}

Si multiplicamos S_n por -r, cada uno de los sumandos involucrados será multiplicado por -r, obteniendo que

-r \cdot S_n = -a_1 \cdot r - a_1 \cdot r^{2} - a_1 \cdot r^{3} - \ldots - a_1 \cdot r^{n}

Consideremos la resta S_n - r \cdot S_n

Por lo tanto concluimos que S_n - r \cdot S_n = a_1 - a_1 \cdot r^{n}, entonces sacando factor común S_n en el lado izquierdo de la ecuación y sacando factor común a_1 en el lado derecho de la ecuación, obtenemos que

S_n \cdot (1 - r) = a_1 \left(1 - r^{n} \right)

Finalmente, despejamos S_n para obtener la fórmula que nos permite calcular la suma de los primero n elementos de una sucesión geométrica

Veamos en los siguientes ejemplos como aplicar esta fórmula.

Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la sucesión \{ 1 \cdot 2^{(n-1)} \}_{n} = \{1,2,4,8,16,32, \ldots \}. Calcule la suma de los primeros 15 términos.

La base de esta sucesión es a_1 = 1 y su razón es r = 2. Por lo tanto, la forma general para calcular los primeros 15 términos de esta sucesión está expresada de la siguiente manera:

Ejemplo 2

Considerando la sucesión \{ -33 \cdot 2^{(n-1)} \}_{n} = \{-33,-66,-132,-264,-528,-1056, \ldots \}. Calcule la suma de los primeros 13 términos.

La base de esta sucesión es a_1 = -33 y su razón es r = 2. Por lo tanto, la forma general para calcular los primeros 13 términos de esta sucesión está expresada de la siguiente manera:

Ejemplo 3

Considerando la sucesión \{ 78 \cdot 6^{(n-1)} \}_{n} = \{78,468,2808,16848,101088,606528, \ldots \}. Calcule la suma de los primeros 11 términos.

La base de esta sucesión es a_1 = 78 y su razón es r = 6. Por lo tanto, la forma general para calcular los primeros 11 términos de esta sucesión está expresada de la siguiente manera:

Ejemplo 4

Considerando la sucesión \{ 36 \cdot 8^{(n-1)} \}_{n} = \{36,288,2304,18432,147456,1179648, \ldots \}. Calcule la suma de los primeros 9 términos.

La base de esta sucesión es a_1 = 36 y su razón es r = 8. Por lo tanto, la forma general para calcular los primeros 9 términos de esta sucesión está expresada de la siguiente manera:

Ejemplo 5

Considerando la sucesión \{ -17 \cdot 10^{(n-1)} \}_{n} = \{-17,-170,-1700,-17000,-170000,-1700000, \ldots \}. Calcule la suma de los primeros 7 términos.

La base de esta sucesión es a_1 = -17 y su razón es r = 10. Por lo tanto, la forma general para calcular los primeros 7 términos de esta sucesión está expresada de la siguiente manera:


Suma de los primeros n elementos de una sucesión aritmética

Suma de los primeros n números naturales

Una de las anécdotas más icónicas de las matemáticas nos lleva a la infancia de Carl Friedrich Gauss y lo que se relata es que durante sus estudios de primaria, se le asignó a Gauss calcular la suma de los primeros 100 números naturales y para sorpresa del profesor, el pequeño Gauss de 9 años, hizo este cálculo en cuestión de segundos. “¡¿Cómo lo hizo?!”, se preguntaba el profesor, historia que se relata de forma extendida en EL BLOG DE FRANCISCO R. VILLATORO.

Para simplificar las cuentas, consideremos el caso para la suma de los primeros diez números naturales, lo que notó Gauss a su corta edad, fue que si emparejaba los sumandos de la siguiente forma: 10 + 1, 9 + 2, 8 + 3, etc, el resultado de cada par siempre es el mismo, 11. Si alineamos los números del 1 al 10 de la siguiente forma, podremos ver con mayor facilidad qué es lo que ocurre:

Entonces, sumando todos estos onces, tenía que

11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 = 10 \cdot 11 = 110

Pero al hacer esto, contó cada número dos veces, así que el resultado lo debía dividir entre dos para así obtener que

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = \frac{10 \cdot 11}{2} = 55

De esta forma se pudo generalizar la suma de los primeros n número naturales, pues la suma de estos pares de números tal como él los consideró siempre es igual a n+1, así que bastó con multiplicar esta suma por n y posteriormente dividir entre dos, de esta forma, dedujo la fórmula para calcular la suma de los primeros n números naturales y es la siguiente:

Suma de los primeros n elementos de una sucesión

La suma de los primeros números naturales da pie para calcular la suma de los primeros n elementos de una sucesión aritmética. Formalmente, si consideramos a_n una sucesión aritmética, definimos la suma de sus primeros n elementos de la siguiente forma:

Entonces, considerando que la sucesión es aritmética, cada elemento está definido como a_i = a_1 + (i-1) \cdot r, para todo i=1,\ldots,n. Por lo tanto, tenemos que

Agrupando todos los elementos a_1 por un lado y los elementos que multiplican a r de otro, obtenemos

Sumar a_1 n veces es igual a n \cdot a_1 y además, podemos sacar el factor común entre los elementos que están siendo multiplicados por r, así

Notando que el factor que multiplica a r es exactamente la suma de los primeros n-1 números naturales, así que aplicando la fórmula, tenemos que

Finalmente, sacando n como factor común, obtenemos una fórmula general para calcular la suma de los primeros n elementos de una sucesión:

Veamos en los siguientes ejemplos como aplicar esta fórmula.

Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la sucesión \{1 + 1 \cdot (n-1) \}_{n} = \{1,2,3,4,5,6, \ldots \}. Calcule la suma de los primeros 24 términos.

La base de esta sucesión es a_1 = 1 y su razón es r = 1 . Por lo tanto, la forma general para calcular los primeros 24 términos de esta sucesión está expresada de la siguiente manera:

Ejemplo 2

Considerando la sucesión \{10 -6 \cdot (n-1) \}_{n} = \{10,4,-2,-8,-14,-20, \ldots \}. Calcule la suma de los primeros 10 términos.

La base de esta sucesión es a_1 = 10 y su razón es r = -6 . Por lo tanto, la forma general para calcular los primeros 10 términos de esta sucesión está expresada de la siguiente manera:

Ejemplo 3

Considerando la sucesión \{-10 + 3 \cdot (n-1) \}_{n} = \{-10,-7,-4,-1,2,5, \ldots \}. Calcule la suma de los primeros 97 términos.

La base de esta sucesión es a_1 = -10 y su razón es r = 3 . Por lo tanto, la forma general para calcular los primeros 97 términos de esta sucesión está expresada de la siguiente manera:

Ejemplo 4

Considerando la sucesión \{3 -1 \cdot (n-1) \}_{n} = \{3,2,1,0,-1,-2, \ldots \}. Calcule la suma de los primeros 62 términos.

La base de esta sucesión es a_1 = 3 y su razón es r = -1 . Por lo tanto, la forma general para calcular los primeros 62 términos de esta sucesión está expresada de la siguiente manera:

Ejemplo 5

Considerando la sucesión \{9 + 4 \cdot (n-1) \}_{n} = \{9,13,17,21,25,29, \ldots \}. Calcule la suma de los primeros 15 términos.

La base de esta sucesión es a_1 = 9 y su razón es r = 4 . Por lo tanto, la forma general para calcular los primeros 15 términos de esta sucesión está expresada de la siguiente manera:


Suma de Matrices

Sean A y B dos matrices de tamaño m \times n, definimos la suma A+B como una nueva matriz donde cada elemento ij de esta nueva matriz, está definido como la suma del elemento ij de la matriz A más el elemento ij de la matriz B. Formalmente,

[A+B]_{ij} = [A]_{ij} + [B]_{ij}

O escrito de forma exhaustiva, tenemos que

Veamos algunos ejemplos.

Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando las matrices A y B, de tamaño 2 \times 2, calcule la suma indicada.

Ejemplo 2

Considerando las matrices A y B, de tamaño 4 \times 3, calcule la suma indicada.

Ejemplo 3

Considerando las matrices A y B, de tamaño, 1 \times 2 calcule la suma indicada.

Ejemplo 4

Considerando las matrices A y B, de tamaño, 4 \times 2 calcule la suma indicada.


Operaciones entre matrices

Sobre el conjunto de las matrices podemos definir operaciones de suma, resta, multiplicación por un escalar y multiplicación entre dos matrices. Además, definiremos una operación que se aplica sobre una sola matriz que llamaremos transposición.

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Suma de Matrices

Sean A y B dos matrices de tamaño m \times n, definimos la suma A+B como una nueva matriz donde cada elemento ij de esta nueva matriz, está definido como la suma del elemento ij de la matriz A más el elemento ij de la matriz B. Formalmente,

[A+B]_{ij} = [A]_{ij} + [B]_{ij}

O escrito de forma exhaustiva, tenemos que

Veamos algunos ejemplos.

Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando las matrices A y B, de tamaño 2 \times 2, calcule la suma indicada.

Ejemplo 2

Considerando las matrices A y B, de tamaño 4 \times 3, calcule la suma indicada.

Ejemplo 3

Considerando las matrices A y B, de tamaño, 1 \times 2 calcule la suma indicada.

Ejemplo 4

Considerando las matrices A y B, de tamaño, 4 \times 2 calcule la suma indicada.


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Resta de Matrices

Sean A y B dos matrices de tamaño m \times n, definimos la resta A-B como una nueva matriz donde cada elemento ij de esta nueva matriz, está definido como la resta del elemento ij de la matriz A menos el elemento ij de la matriz B. Formalmente,

[A+B]_{ij} = [A]_{ij} - [B]_{ij}

O escrito de forma exhaustiva, tenemos que

Debemos tomar en cuenta que al restar la matriz B, cada uno de los elementos de esta matriz es multiplicado por -1. Veamos algunos ejemplos.

Ejemplos

Ejemplo 5

Considerando las matrices A y B, de tamaño, 2 \times2 calcule la suma indicada.

Ejemplo 6

Considerando las matrices A y B, de tamaño, 4 \times 2 calcule la suma indicada.

Ejemplo 7

Considerando las matrices A y B, de tamaño, 1 \times 4 calcule la suma indicada.

Ejemplo 8

Considerando las matrices A y B, de tamaño, 3 \times 1 calcule la suma indicada.


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Multiplicación por un escalar

Diremos que un escalar es un número real que al multiplicarla por una matriz esta nos cambia la escala de cada uno de los elementos de ella. Definimos el producto de un escalar k por una matriz A, como una nueva matriz donde cada elemento ij de esta nueva matriz, está definido como el producto del escalar k por el elemento ij de la matriz A. Formalmente,

[k \cdot A]_{ij} = k \cdot [A]

O escrito de forma exhaustiva, tenemos que

Veamos algunos ejemplos.

Ejemplos

Ejemplo 9

Considerando la matriz A, de tamaño, 2 \times 2 calcule el producto por el escalar 4.

Ejemplo 10

Considerando la matriz A, de tamaño, 3 \times 1 calcule el producto por el escalar -4.

Ejemplo 11

Considerando la matriz A, de tamaño, 4 \times 2 calcule el producto por el escalar 7.

Ejemplo 12

Considerando la matriz A, de tamaño, 3 \times 3 calcule el producto por el escalar 9.


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Producto entre Matrices

Sean A una matriz de tamaño m \times n y B una matriz de tamaño n \times p, definimos el producto A \times B como una nueva matriz donde cada elemento ij de esta nueva matriz, está definido el “producto” de la fila i de la matriz A por la columna j de la matriz B. Formalmente,

[A \times B]_{ij} = \sum_k^n [A]_{ij} \cdot [B]_{ij}

Debemos notar que para poder efectuar esta operación, el número de columnas de la matriz A debe ser exactamente igual al número de filas de la matriz B y aunque esta operación pareciera complicada, en los siguientes ejemplos veremos el procedimiento para calcular el producto entre dos matrices.

Ejemplos

Ejemplo 13

Considerando la matriz A, de tamaño, 2 \times 2 y la matriz B, de tamaño, 2 \times 2. Calcule el producto $A \times B$. Veamos en este ejemplo paso a paso como calcular este producto.

El elemento [A \times B]_{11} de la nueva matriz A \times B es el resultado de multiplicar la fila 1 por la columna 1.

El elemento [A \times B]_{12} de la nueva matriz A \times B es el resultado de multiplicar la fila 1 por la columna 2.

El elemento [A \times B]_{21} de la nueva matriz A \times B es el resultado de multiplicar la fila 2 por la columna 1.

El elemento [A \times B]_{22} de la nueva matriz A \times B es el resultado de multiplicar la fila 2 por la columna 2.

De esta forma, tenemos que

Entonces, aplicamos las operaciones involucradas

Ejemplo 14

Considerando la matriz A, de tamaño, 4 \times 2 y la matriz B, de tamaño, 2 \times 1. Calcule el producto A \times B.

Ejemplo 15

Considerando la matriz A, de tamaño, 1 \times 3 y la matriz B, de tamaño, 3 \times 2. Calcule el producto A \times B.

Ejemplo 16

Considerando la matriz A, de tamaño, 4 \times 3 y la matriz B, de tamaño, 3 \times 4. Calcule el producto A \times B.

Nota: Si podemos multiplicar A \times B, no necesariamente podemos multiplicar B \times A, esto quiere decir que el producto entre matrices no es conmutativo.


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Transposición de matrices

En ocasiones, es necesario cambiar cambiar las filas por columnas de una matriz y viceversa, para esto definimos la operación de transposición. Sea A una matriz de tamaño m \times n decimos que la transposición de la matriz A es una nueva matriz de tamaño n \times m donde los elementos de la matriz A que están en la posición ij pasan a estar en la posición ji, a esta nueva matriz se le llama A traspuesta (o traspuesta) y la denotamos por A^{T} o A'. Formalmente,

[A^{T}]_{ij} = A_{ji}

O escrito de forma exhaustiva, tenemos que

Veamos algunos ejemplos.

Ejemplos

Ejemplos 17

Considerando la matriz A, de tamaño, 3 \times 3. Calcule la matriz transpuesta de A, es decir, A^{T}.

Ejemplos 18

Considerando la matriz A, de tamaño, 4 \times 1. Calcule la matriz transpuesta de A, es decir, A^{T}.

Ejemplo 19

Considerando la matriz A, de tamaño, 4 \times 2. Calcule la matriz transpuesta de A, es decir, A^{T}.

Ejemplo 20

Considerando la matriz A, de tamaño, 3 \times 4. Calcule la matriz transpuesta de A, es decir, A^{T}.


Operaciones entre Números Enteros

¿Sumar y restar? ¿Es lo mismo?

Si consideramos los números enteros 2 y 3, entonces 3+2=5. Sin bien esta operación la podemos hacer en nuestra mente de forma inmediata, para entender de forma general la suma de dos números enteros consideremos la siguiente representación gráfica:

tres más dos es igual a cinco

Si sumamos 3+2, lo que en realidad estamos haciendo es trasladándonos dos espacios a la derecha del número 3 para caer en el número 5. Entonces, si así es la suma la pregunta natural que surge es: ¿cómo calculamos la resta?

Si sumamos 2+(-3)=2-3, estamos trasladándonos tres espacios a la izquierda del número 2 para caer en el -1. Consideremos la siguiente representación gráfica:

dos menos tres es igual a menos uno

De esta forma, podemos establecer una regla informal sobre la suma de números enteros de la siguiente forma:

Signos iguales se suman.
Signos diferentes se restan y dejamos el signo del mayor.

Ejemplos

Ejemplo 1

7 +10 = 17

Ejemplo 2

9 + (-3) = 9 - 3 = 6

Ejemplo 3

(-20) + 11 = 11 - 20 = -9

Ejemplo 4

(-37) + (-23) = - 37 - 23 = - 60


El producto de Enteros

El producto entre dos números enteros lo definiremos igual que el producto entre números naturales, pero debemos tener ciertas consideraciones sobre los signos. Sean a y b dos números naturales, entonces:

(+a) \cdot (+b) = +(a \cdot b)

(-a) \cdot (+b) = -(a \cdot b)

(+a) \cdot (-b) = -(a \cdot b)

(-a) \cdot (-b) = +(a \cdot b)

De esta forma, podemos establecer una regla informal conocida como la “Ley de Los Signos” sobre el producto de números enteros de la siguiente forma:

Más por más, más.
Más por menos, menos.
Menos por más, menos.
Menos por menos, más.

Ejemplo

Ejemplo 5

3 \cdot 3 = 9

Ejemplo 6

(-2) \cdot 5 = - ( 2 \cdot 5 ) = -10

Ejemplo 7

6 \cdot (-3) = - (6 \cdot 3) = -18

Ejemplo 8

(-4) \cdot (-8) = (4 \cdot 8) = 32


Definiendo los números enteros podemos encontrar una respuesta al problema que no se nos presentó cuando restábamos números naturales, pero aún nos queda una pregunta por responder sobre los números naturales y que se aplica también a los números enteros: ¿Qué sucede si dividimos dos números enteros?