Ejercicios Propuestos – Operaciones básicas entre números reales

31.05.202107.12.2022 Anthonny Arias GarcíaDeja un comentario

Calcule el resultado de las siguientes expresiones matemáticas tomando en cuenta la jerarquía de las operaciones básicas y los signos de agrupación.

$90 + 58 \cdot 13$
$-54 + 3 \cdot 48$
$8 - 10 \cdot 12$
$-25 - 78 \cdot 34$

$( 11 + 52) \cdot 13$
$( -72 + 19) \cdot 88$
$( 56 - 65) \cdot 39$
$( -51 - 33) \cdot 4$

$78 + ( 50 + 54) \cdot 72$
$5 + ( 73 - 84) \cdot 37$
$95 - ( 64 + 53) \cdot 39$
$87 - ( 64 - 27) \cdot 30$

$4^2 + ( 2 + 7) \cdot 4$
$2^3 + ( 6 - 3) \cdot 7$
$5^2 - ( 9 + 2) \cdot 4$
$4^3 - ( 9 - 10) \cdot 9$

$53 + [ 9^3 + ( 4 + 8) \cdot 2 ]$
$62 - [ 4^2 + ( 9 + 6) \cdot 6 ]$
$95 + [ 3^2 - ( 1 + 7) \cdot 6 ]$
$86 - [ 2^2 + ( 2 - 9) \cdot 9 ]$

$7 \cdot [ 4^3 + ( 7 + 1) \cdot 2 ] + 17$
$8 \cdot [ 2^2 - ( 1 + 3) \cdot 5 ] - 25$
$2 \cdot [ 4^2 - ( 3 - 8) \cdot 3 ] + 93$
$8 \cdot [ 4^2 - ( 1 - 2) \cdot 7 ] - 15$

$(7^2 + 56 ) \cdot {6 + [ 6^2 + ( 5 + 6) \cdot 7 ] + 24}$
$(2^2 - 69 ) \cdot {2 + [ 3^2 + ( 7 + 6) \cdot 7 ] - 71}$
$(8^2 + 55 ) \cdot {8 - [ 10^2 + ( 9 - 9) \cdot 5 ] + 58}$
$(2^2 - 99 ) \cdot {10 + [ 10^2 - ( 2 - 3) \cdot 1 ] + 81}$

$\dfrac{ 68 + 96 \cdot 61 }{ 49 + 13 \cdot 78 }$
$\dfrac{ 98 + 10 \cdot 28 }{ 11 - 82 \cdot 73 }$
$\dfrac{ 53 - 93 \cdot 64 }{ 93 + 88 \cdot 92 }$
$\dfrac{ 71 - 7 \cdot 77 }{ 43 - 62 \cdot 79 }$

$73 + 84 \cdot \dfrac{ 42 }{ 78 + 29 \cdot 69 }$
$8 + 85 \cdot \dfrac{ 1 }{ 11 - 39 \cdot 59 }$
$70 - 44 \cdot \dfrac{ 2 }{ 19 + 96 \cdot 38 }$
$35 - 86 \cdot \dfrac{ 62 }{ 68 - 40 \cdot 64 }$

$\dfrac{ 32 + [ 8^2 + ( 10 + 1) \cdot 6 ] }{ 19 + [ 4^3 + ( 4 + 4) \cdot 5 ] }$
$\dfrac{ 62 - [ 8^3 + ( 5 + 9) \cdot 2 ] }{ 54 - [ 10^3 - ( 2 + 4) \cdot 7 ] }$
$\dfrac{ 76 - [ 5^2 - ( 4 + 7) \cdot 10 ] }{ 11 + [ 7^2 + ( 7 - 9) \cdot 2 ] }$
$\dfrac{ 44 - [ 10^2 - ( 1 - 4) \cdot 8 ] }{ 49 - [ 5^3 - ( 1 - 1) \cdot 7 ] }$

$81 + 8^2 + \dfrac{ ( 1 - 8) \cdot 8 ] }{ 6 - [ 8^2 - ( 6 + 4) \cdot 8 ] }$
$89 + 7^3 + \dfrac{ ( 4 - 3) \cdot 8 ] }{ 88 - [ 8^3 - ( 7 + 3) \cdot 1 ] }$
$54 + 10^3 + \dfrac{ ( 3 - 4) \cdot 5 ] }{ 93 - [ 4^3 - ( 4 + 9) \cdot 9 ] }$
$52 + 4^3 + \dfrac{ ( 3 - 7) \cdot 10 ] }{ 70 - [ 5^2 - ( 7 + 8) \cdot 9 ] }$

$\dfrac{ (4^3 - 68 ) \cdot {7 + [ 5^3 - ( 1 - 9) \cdot 6 ] + 52} }{ (2^3 - 91 ) \cdot {4 + [ 3^3 - ( 5 - 5) \cdot 10 ] + 19} }$
$\dfrac{ (10^2 - 37 ) \cdot {10 + [ 9^2 - ( 10 - 4) \cdot 5 ] + 89} }{ (4^2 - 37 ) \cdot {10 + [ 9^3 - ( 4 - 10) \cdot 8 ] + 49} }$
$\dfrac{ (7^3 - 38 ) \cdot {1 + [ 6^3 - ( 3 - 6) \cdot 6 ] + 93} }{ (9^3 - 61 ) \cdot {1 + [ 6^2 - ( 4 - 8) \cdot 2 ] + 17} }$
$\dfrac{ (2^2 - 39 ) \cdot {1 + [ 3^2 - ( 3 - 1) \cdot 4 ] + 38} }{ (4^3 - 44 ) \cdot {10 + [ 6^3 - ( 10 - 2) \cdot 10 ] + 79} }$

$(5^3 + 98 ) + \dfrac{ 3\cdot{5 + [ 9^2 + ( 2 + 10) \cdot 9 ] + 20} }{ (9^3 + 48 ) \cdot {2 + [ 6^3 + ( 1 + 4) \cdot 10 ] + 95} }$
$(3^2 + 42 ) - \dfrac{ 7\cdot{3 + [ 2^3 + ( 1 + 7) \cdot 3 ] + 90} }{ (8^3 + 32 ) \cdot {8 + [ 3^2 + ( 1 + 10) \cdot 9 ] + 82} }$
$-(2^2 + 5 ) + \dfrac{ 4\cdot{8 + [ 4^3 + ( 6 + 10) \cdot 7 ] + 21} }{ (8^2 + 81 ) \cdot {7 + [ 2^3 + ( 4 + 3) \cdot 2 ] + 26} }$
$-(6^3 + 63 ) - \dfrac{ 6\cdot{5 + [ 8^2 + ( 5 + 2) \cdot 6 ] + 37} }{ (10^2 + 5 ) \cdot {1 + [ 6^2 + ( 3 + 1) \cdot 7 ] + 51} }$

Operaciones entre polinomios

16.01.202107.12.2022 Anthonny Arias García2 comentarios

Podemos definir las operaciones de suma, resta, multiplicación y división entre polinomios como una generalización de las operaciones que hemos definido entre los números reales.

También pudiera interesarte

Anuncios

Suma de polinomios

Para sumar o restar polinomios, recurrimos a la propiedad asociativa de los números reales, pues agrupamos los sumandos que tengan la misma potencia de $x$ como factor, de forma que si consideramos dos polinomios $P(x) = a_m x^m + \ldots + a_1 x + a_0$ y $Q(x) = b_n x^n + \ldots + b_1 x + b_0$ , donde el grado de $P(x)$ es mayor que el grado de $Q(x)$ , es decir, $m \geq n$ ; definimos la suma $P(x)+Q(x)$ de la siguiente forma:

De igual forma, definimos la resta $P(x)-Q(x)$ de la siguiente forma:

Notando que si el grado de $P(x)$ es estrictamente mayor que el grado de $Q(x)$ , entonces completamos el polinomio $Q(x)$ con coeficientes ceros, es decir, $b_i = 0$ para todo $i > n$ .

Veamos con algunos ejemplos como efectuar la suma de polinomios.

Anuncios

Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando los polinomios $P(x) = 3x^2 - 5x + 2$ y $Q(x) = 7x + 1$ , calcule la suma $P(x) + Q(x)$ .

Por lo tanto, $P(x) + Q(x) = 3 x^2 + 2x + 3$ .

Ejemplo 2

Considerando los polinomios $P(x) = 4x^6 + x^4 - 2x^2 + 9x + 12$ y $Q(x) = 3x^6 - 8x^5 + 4x^4 + x - 3$ , calcule la suma $P(x) + Q(x)$ .

Por lo tanto, $P(x) + Q(x) = 7x^6 + 8x^5 - 5x^4 - 2x^2 + 10x + 15$ .

Ejemplo 3

Considerando los polinomios $P(x) = 6x^3 + 7x^2 - 4$ y $Q(x) = 2x + 3$ , calcule la resta $P(x) - Q(x)$ .

Por lo tanto, $P(x) - Q(x) = 6x^3 + 7x^2 - 2x - 7$ .

Ejemplo 4

Considerando los polinomios $P(x) = -12x^6 + 3x^5 + 3x^4 - x^2 + 8x + 5$ y $Q(x) = x^6 + 5x^5 + 2x^4 - 4x^3 - 10x^2 - x$ , calcule la resta $P(x) - Q(x)$ .

Por lo tanto, $P(x) - Q(x) = 11x^6 - 2x^5 + x^4 + 4x^3 + 9x^2 + 9x + 5$ .

Anuncios

Producto de polinomios

Para multiplicar polinomios, recurrimos a la propiedad distributiva de los números reales, de forma que si consideramos dos polinomios $P(x) = a_m x^m + \ldots + a_1 x + a_0$ y $Q(x) = b_n x^n + \ldots + b_1 x + b_0$ , podemos definir el producto de estos dos polinomios distribuyendo los productos de la siguiente forma

Producto o Multiplicación de Polinomios | totumat.com

Una vez que se ha expandido este producto, lo podemos expresar como una sumatoria de la siguiente manera:

$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m a_i b_j x^{i+j}$

Este procedimiento pudiera resultar extenso y la notación del caso general pareciera engorrosa, sin embargo, efectuar el producto de polinomios no es más que la aplicación de la propiedad distributiva para los números reales y la posterior aplicación de las propiedades de las potencias para sumar los exponentes.

Veamos en los siguientes ejemplos como calcular algunos productos entre polinomios.

Anuncios

Ejemplos

Ejemplo 5

Considerando los polinomios $P(x) = 4 x + 3$ y $Q(x) = - 10 x - 4$ . Calcule el producto $P(x) \cdot Q(X)$ , es decir,

$\left( 4 x + 3 \right) \cdot \left( - 10 x - 4 \right)$

Aplicamos la propiedad distributiva y escribimos los productos resultantes en orden para facilitar la suma de los sumandos correspondientes

Por lo tanto el producto de los polinomios $P(x)$ y $Q(x)$ es igual a

$- 40 x^{2} - 46 x - 12$

Ejemplo 6

Considerando los polinomios $P(x) = 6 x^{2} - 8 x + 2$ y $Q(x) = x^{2} + 5 x + 6$ . Calcule el producto $P(x) \cdot Q(X)$ , es decir,

$\left( 6 x^{2} - 8 x + 2 \right) \cdot \left( x^{2} + 5 x + 6 \right)$

Aplicamos la propiedad distributiva y escribimos los productos resultantes en orden para facilitar la suma de los sumandos correspondientes

Por lo tanto el producto de los polinomios $P(x)$ y $Q(x)$ es igual a

$6 x^{4} + 22 x^{3} - 2 x^{2} - 38 x + 12$

Ejemplo 7

Considerando los polinomios $P(x) = 3 x^{2} - 6 x + 6$ y $Q(x) = - 9 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x + 7$ . Calcule el producto $P(x) \cdot Q(X)$ , es decir,

$\left( 3 x^{2} - 6 x + 6 \right) \cdot \left( - 9 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x + 7 \right)$

Aplicamos la propiedad distributiva y escribimos los productos resultantes en orden para facilitar la suma de los sumandos correspondientes

Por lo tanto el producto de los polinomios $P(x)$ y $Q(x)$ es igual a

$- 27 x^{5} + 39 x^{4} - 12 x^{3} - 33 x^{2} - 18 x + 42$

Ejemplo 9

Considerando los polinomios $P(x) = - 4 x^{3} + x^{2} - 2 x + 2$ y $Q(x) = 9 x^{2} - x + 4$ . Calcule el producto $P(x) \cdot Q(X)$ , es decir,

$\left( - 4 x^{3} + x^{2} - 2 x + 2 \right) \cdot \left( 9 x^{2} - x + 4 \right)$

Aplicamos la propiedad distributiva y escribimos los productos resultantes en orden para facilitar la suma de los sumandos correspondientes

Por lo tanto el producto de los polinomios $P(x)$ y $Q(x)$ es igual a

$- 36 x^{5} + 13 x^{4} - 35 x^{3} + 24 x^{2} - 10 x + 8$

Anuncios

División de polinomios

Para definir la división entre polinomios, debemos hacer algunas observaciones sobre división entre números reales pues considerando $p$ y $q$ dos números enteros, al dividir $p$ entre $q$ , buscamos un número tal que al multiplicarlo por $q$ el resultado sea exactamente $p$ , es decir, un número entero $c$ tal que

$p = c \cdot q$

En este caso, decimos que la división es exacta. Sin embargo, si no podemos encontrar este número, buscamos un número tal que al multiplicarlo por $q$ , el resultado sea mayor de los enteros menores que $p$ , es decir, un número entero $c$ tal que

$p = c \cdot q + r$

Donde $0 < r < a$ . Esta propiedad se conoce como el algoritmo de la división. Al número $r$ lo llamaremos el resto de la división y se puede calcular como $r = p - c \cdot q$ . Además notemos que si la división es exacta, entonces el resto de la división es igual a cero, es decir, $r=0$ . Veamos en los siguientes ejemplos como expresar algunas divisiones usando el algoritmo de la división.

Anuncios

Ejemplos

Ejemplo 9

Si dividimos $8$ entre $4$ , entonces buscamos un número entero tal que al multiplicarlo por $4$ el resultado sea o que está cerca de $8$ , particularmente el número que estamos buscando es $2$ pues $2 \cdot 4 = 8$ y de acuerdo con el algoritmo de la división, el resto es igual a $8 - 8 = 0$ , esto lo expresamos de la siguiente forma:

División de Números Enteros | totumat.com

Por lo tanto decimos que $8 = 2 \cdot 4 + 0$ . En este caso el resto es igual a cero, por lo tanto, decimos que la división es exacta.

Ejemplo 10

Si dividimos $13$ entre $5$ , entonces buscamos un número entero tal que al multiplicarlo por $5$ el resultado sea o que está cerca de $13$ , particularmente el número que estamos buscando es $2$ pues $2 \cdot 5 = 10$ y de acuerdo con el algoritmo de la división, el resto es igual a $13 - 10 = 3$ , esto lo expresamos de la siguiente forma:

Por lo tanto decimos que $13 = 2 \cdot 5 + 3$ . En este caso el resto es distinto de cero, por lo tanto, decimos que la división no es exacta.

Ejemplo 11

Si dividimos $21$ entre $4$ , entonces buscamos un número entero tal que al multiplicarlo por $4$ el resultado sea o que está cerca de $21$ , particularmente el número que estamos buscando es $5$ pues $5 \cdot 4 = 20$ y de acuerdo con el algoritmo de la división, el resto es igual a $21 - 20 = 1$ , esto lo expresamos de la siguiente forma:

Por lo tanto decimos que $21 = 5 \cdot 4 + 1$ . En este caso el resto es distinto de cero, por lo tanto, decimos que la división no es exacta.

Ejemplo 12

Si dividimos $21$ entre $7$ , entonces buscamos un número entero tal que al multiplicarlo por $7$ el resultado sea o que está cerca de $21$ , particularmente el número que estamos buscando es $3$ pues $3 \cdot 7 = 21$ y de acuerdo con el algoritmo de la división, el resto es igual a $21 - 21 = 1$ , esto lo expresamos de la siguiente forma:

Por lo tanto decimos que $21 = 3 \cdot 7 + 0$ . En este caso el resto es igual a cero, por lo tanto, decimos que la división es exacta.

Anuncios

El algoritmo de la división se puede generalizar al operar entre polinomios. De modo que si consideramos $P(x)$ y $Q(x)$ dos polinomios tales que el grado de $Q(x)$ es menor o igual que el grado de $P(x)$ , al dividir $P(x)$ entre $Q(x)$ , buscamos un polinomio tal que al multiplicarlo por $Q(x)$ el resultado sea exactamente $P(x)$ , es decir, un polinomio $C(x)$ tal que

$P(x) = C(x) \cdot Q(x)$

En este caso, decimos que la división es exacta. Sin embargo, si no podemos encontrar este polinomio, buscamos un polinomio tal que al multiplicarlo por $Q(x)$ el polinomio resultante tenga el mismo grado que $P(x)$ y que el grado del polinomio que define el resto sea menor que el grado de $Q(x)$ , es decir, un polinomio $C(x)$ tal que

$P(x) = C(x) \cdot Q(x) + R(x)$

Donde $gr\left( R(x) \right) < gr\left( Q(x) \right) \leq gr\left( P(x) \right)$ . Además notemos que si la división es exacta, entonces el resto de la división es igual a cero, es decir, $R(x) = 0$ . Veamos en los siguientes ejemplos el método para dividir polinomios y además, como expresar estas divisiones usando el algoritmo de la división.

Anuncios

Ejemplos

Ejemplo 13

Si dividimos el polinomio $P(x) = x^2 + x + 3$ entre el polinomio $Q(x) = x + 1$ , entonces los escribimos de la siguiente forma

El siguiente paso será buscar un polinomio tal que al multiplicarlo por el primer sumando del polinomio $Q(x) = x + 1$ el resultado sea exactamente igual al primer sumando del polinomio $P(x) = x^2 + x + 3$ , en este caso el polinomio que estamos buscando es $x$ y lo escribimos de la siguiente forma

El siguiente paso será multiplicar el polinomio $Q(x) = x + 1$ por $x$ y el resultado se lo restamos al polinomio $P(x) = x^2 + x + 3$ de la siguiente forma

Notamos que el grado del polinomio en el resto es menor que el grado del polinomio $Q(x)$ , Por lo tanto, concluimos que

$x^2 + x + 3 = x \cdot (x+1) + 3$

Ejemplo 14

Si dividimos el polinomio $P(x) = 8x^3 - 6x^2 - 2$ entre el polinomio $Q(x) = 2x^2 + x - 1$ , entonces completamos los polinomios incompletos y los escribimos de la siguiente forma

El siguiente paso será buscar un polinomio tal que al multiplicarlo por el primer sumando del polinomio $Q(x) = 2x^2 + x - 1$ el resultado sea exactamente igual al primer sumando del polinomio $P(x) = 8x^3 - 6x^2 - 2$ , en este caso el polinomio que estamos buscando es $4x$ y lo escribimos de la siguiente forma

El siguiente paso será multiplicar el polinomio $Q(x) = 2x^2 + x - 1$ por $x$ y el resultado se lo restamos al polinomio $P(x) = 8x^3 - 6x^2 - 2$ de la siguiente forma

Notamos que el grado del polinomio en el resto es menor que el grado del polinomio $Q(x)$ , por lo tanto, el siguiente paso será buscar un polinomio tal que al multiplicarlo por el primer sumando del polinomio $Q(x) = 2x^2 + x - 1$ el resultado sea exactamente igual al primer sumando del polinomio en el resto, de decir, el polinomio $-10x^2 + 4x$ .

En este caso el polinomio que estamos buscando es $-5$ y lo multiplicamos por el polinomio $Q(x) = 2x^2 + x - 1$ ; el resultado se lo restamos al polinomio $-10x^2 + 4x$ de la siguiente forma

Notamos que el grado del polinomio en el resto es menor que el grado del polinomio $Q(x)$ , Por lo tanto, concluimos que

$8x^3 - 6x^2 - 2 = (4x-5) \cdot (2x^2 + x - 1) + 9x-7$

Suma de los primeros n elementos de una sucesión geométrica

02.09.202007.12.2022 Anthonny Arias García1 comentario

Las propiedades de las potencias establecen que al multiplicar dos números que tienen la misma base, se suman los exponentes, este hecho da pie para para calcular la suma de los primeros $n$ elementos de una sucesión geométrica. Formalmente, si consideramos $a_n$ una sucesión geométrica, definimos la suma de sus primeros $n$ elementos de la siguiente forma:

$S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n$

También pudiera interesarte

Anuncios

Para deducir la fórmula que define esta suma aplicaremos algunos artilugios matemáticos pues considerando que la sucesión es geométrica, cada elemento está definido como $a_i = a_1 \cdot r^{(i-1)}$ , para todo $i=1,\ldots,n$ . Por lo tanto, tenemos que

$S_n = a_1 + a_1 \cdot r + a_1 \cdot r^{2} + \ldots + a_1 \cdot r^{(n-1)}$

Si multiplicamos $S_n$ por $-r$ , cada uno de los sumandos involucrados será multiplicado por $-r$ , obteniendo que

$-r \cdot S_n = -a_1 \cdot r - a_1 \cdot r^{2} - a_1 \cdot r^{3} - \ldots - a_1 \cdot r^{n}$

Consideremos la resta $S_n - r \cdot S_n$

Por lo tanto concluimos que $S_n - r \cdot S_n = a_1 - a_1 \cdot r^{n}$ , entonces sacando factor común $S_n$ en el lado izquierdo de la ecuación y sacando factor común $a_1$ en el lado derecho de la ecuación, obtenemos que

$S_n \cdot (1 - r) = a_1 \left(1 - r^{n} \right)$

Finalmente, despejamos $S_n$ para obtener la fórmula que nos permite calcular la suma de los primero $n$ elementos de una sucesión geométrica

Veamos en los siguientes ejemplos como aplicar esta fórmula.

Anuncios

Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la sucesión $\{ 1 \cdot 2^{(n-1)} \}_{n} = \{1,2,4,8,16,32, \ldots \}$ . Calcule la suma de los primeros 15 términos.

La base de esta sucesión es $a_1 = 1$ y su razón es $r = 2$ . Por lo tanto, la forma general para calcular los primeros 15 términos de esta sucesión está expresada de la siguiente manera:

Ejemplo 2

Considerando la sucesión $\{ -33 \cdot 2^{(n-1)} \}_{n} = \{-33,-66,-132,-264,-528,-1056, \ldots \}$ . Calcule la suma de los primeros 13 términos.

La base de esta sucesión es $a_1 = -33$ y su razón es $r = 2$ . Por lo tanto, la forma general para calcular los primeros 13 términos de esta sucesión está expresada de la siguiente manera:

Ejemplo 3

Considerando la sucesión $\{ 78 \cdot 6^{(n-1)} \}_{n} = \{78,468,2808,16848,101088,606528, \ldots \}$ . Calcule la suma de los primeros 11 términos.

La base de esta sucesión es $a_1 = 78$ y su razón es $r = 6$ . Por lo tanto, la forma general para calcular los primeros 11 términos de esta sucesión está expresada de la siguiente manera:

Ejemplo 4

Considerando la sucesión $\{ 36 \cdot 8^{(n-1)} \}_{n} = \{36,288,2304,18432,147456,1179648, \ldots \}$ . Calcule la suma de los primeros 9 términos.

La base de esta sucesión es $a_1 = 36$ y su razón es $r = 8$ . Por lo tanto, la forma general para calcular los primeros 9 términos de esta sucesión está expresada de la siguiente manera:

Ejemplo 5

Considerando la sucesión $\{ -17 \cdot 10^{(n-1)} \}_{n} = \{-17,-170,-1700,-17000,-170000,-1700000, \ldots \}$ . Calcule la suma de los primeros 7 términos.

La base de esta sucesión es $a_1 = -17$ y su razón es $r = 10$ . Por lo tanto, la forma general para calcular los primeros 7 términos de esta sucesión está expresada de la siguiente manera:

Suma de los primeros n elementos de una sucesión aritmética

21.08.202022.06.2021 Anthonny Arias GarcíaDeja un comentario

Suma de los primeros n números naturales

Una de las anécdotas más icónicas de las matemáticas nos lleva a la infancia de Carl Friedrich Gauss y lo que se relata es que durante sus estudios de primaria, se le asignó a Gauss calcular la suma de los primeros 100 números naturales y para sorpresa del profesor, el pequeño Gauss de 9 años, hizo este cálculo en cuestión de segundos. «¡¿Cómo lo hizo?!», se preguntaba el profesor, historia que se relata de forma extendida en EL BLOG DE FRANCISCO R. VILLATORO.

También pudiera interesarte

Anuncios

Para simplificar las cuentas, consideremos el caso para la suma de los primeros diez números naturales, lo que notó Gauss a su corta edad, fue que si emparejaba los sumandos de la siguiente forma: $10 + 1$ , $9 + 2$ , $8 + 3$ , etc, el resultado de cada par siempre es el mismo, $11$ . Si alineamos los números del 1 al 10 de la siguiente forma, podremos ver con mayor facilidad qué es lo que ocurre:

Entonces, sumando todos estos onces, tenía que

$11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 = 10 \cdot 11 = 110$

Pero al hacer esto, contó cada número dos veces, así que el resultado lo debía dividir entre dos para así obtener que

$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = \frac{10 \cdot 11}{2} = 55$

De esta forma se pudo generalizar la suma de los primeros $n$ número naturales, pues la suma de estos pares de números tal como él los consideró siempre es igual a $n+1$ , así que bastó con multiplicar esta suma por $n$ y posteriormente dividir entre dos, de esta forma, dedujo la fórmula para calcular la suma de los primeros $n$ números naturales y es la siguiente:

Suma de los primeros n elementos de una sucesión

La suma de los primeros números naturales da pie para calcular la suma de los primeros $n$ elementos de una sucesión aritmética. Formalmente, si consideramos $a_n$ una sucesión aritmética, definimos la suma de sus primeros $n$ elementos de la siguiente forma:

Entonces, considerando que la sucesión es aritmética, cada elemento está definido como $a_i = a_1 + (i-1) \cdot r$ , para todo $i=1,\ldots,n$ . Por lo tanto, tenemos que

Agrupando todos los elementos $a_1$ por un lado y los elementos que multiplican a $r$ de otro, obtenemos

Sumar $a_1$ $n$ veces es igual a $n \cdot a_1$ y además, podemos sacar el factor común entre los elementos que están siendo multiplicados por $r$ , así

Notando que el factor que multiplica a $r$ es exactamente la suma de los primeros $n-1$ números naturales, así que aplicando la fórmula, tenemos que

Finalmente, sacando $n$ como factor común, obtenemos una fórmula general para calcular la suma de los primeros $n$ elementos de una sucesión:

Veamos en los siguientes ejemplos como aplicar esta fórmula.

Anuncios

Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la sucesión $\{1 + 1 \cdot (n-1) \}_{n} = \{1,2,3,4,5,6, \ldots \}$ . Calcule la suma de los primeros 24 términos.

La base de esta sucesión es $a_1 = 1$ y su razón es $r = 1$ . Por lo tanto, la forma general para calcular los primeros 24 términos de esta sucesión está expresada de la siguiente manera:

Ejemplo 2

Considerando la sucesión $\{10 -6 \cdot (n-1) \}_{n} = \{10,4,-2,-8,-14,-20, \ldots \}$ . Calcule la suma de los primeros 10 términos.

La base de esta sucesión es $a_1 = 10$ y su razón es $r = -6$ . Por lo tanto, la forma general para calcular los primeros 10 términos de esta sucesión está expresada de la siguiente manera:

Ejemplo 3

Considerando la sucesión $\{-10 + 3 \cdot (n-1) \}_{n} = \{-10,-7,-4,-1,2,5, \ldots \}$ . Calcule la suma de los primeros 97 términos.

La base de esta sucesión es $a_1 = -10$ y su razón es $r = 3$ . Por lo tanto, la forma general para calcular los primeros 97 términos de esta sucesión está expresada de la siguiente manera:

Ejemplo 4

Considerando la sucesión $\{3 -1 \cdot (n-1) \}_{n} = \{3,2,1,0,-1,-2, \ldots \}$ . Calcule la suma de los primeros 62 términos.

La base de esta sucesión es $a_1 = 3$ y su razón es $r = -1$ . Por lo tanto, la forma general para calcular los primeros 62 términos de esta sucesión está expresada de la siguiente manera:

Ejemplo 5

Considerando la sucesión $\{9 + 4 \cdot (n-1) \}_{n} = \{9,13,17,21,25,29, \ldots \}$ . Calcule la suma de los primeros 15 términos.

La base de esta sucesión es $a_1 = 9$ y su razón es $r = 4$ . Por lo tanto, la forma general para calcular los primeros 15 términos de esta sucesión está expresada de la siguiente manera:

Suma de Matrices

19.06.202019.06.2020 Anthonny Arias García1 comentario

Sean $A$ y $B$ dos matrices de tamaño $m \times n$ , definimos la suma $A+B$ como una nueva matriz donde cada elemento $ij$ de esta nueva matriz, está definido como la suma del elemento $ij$ de la matriz $A$ más el elemento $ij$ de la matriz $B$ . Formalmente,