Etiqueta: Suma

Operaciones entre matrices

Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Sobre el conjunto de las matrices podemos definir operaciones de suma, resta, multiplicación por un escalar y multiplicación entre dos matrices. Además, definiremos una operación que se aplica sobre una sola matriz que llamaremos transposición.

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Suma de Matrices

Sean A y B dos matrices de tamaño m \times n, definimos la suma A+B como una nueva matriz donde cada elemento ij de esta nueva matriz, está definido como la suma del elemento ij de la matriz A más el elemento ij de la matriz B. Formalmente,

[A+B]_{ij} = [A]_{ij} + [B]_{ij}

O escrito de forma exhaustiva, tenemos que

Veamos algunos ejemplos.

Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando las matrices A y B, de tamaño 2 \times 2, calcule la suma indicada.

Ejemplo 2

Considerando las matrices A y B, de tamaño 4 \times 3, calcule la suma indicada.

Ejemplo 3

Considerando las matrices A y B, de tamaño, 1 \times 2 calcule la suma indicada.

Ejemplo 4

Considerando las matrices A y B, de tamaño, 4 \times 2 calcule la suma indicada.

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Resta de Matrices

Sean A y B dos matrices de tamaño m \times n, definimos la resta A-B como una nueva matriz donde cada elemento ij de esta nueva matriz, está definido como la resta del elemento ij de la matriz A menos el elemento ij de la matriz B. Formalmente,

[A+B]_{ij} = [A]_{ij} - [B]_{ij}

O escrito de forma exhaustiva, tenemos que

Debemos tomar en cuenta que al restar la matriz B, cada uno de los elementos de esta matriz es multiplicado por -1. Veamos algunos ejemplos.

Ejemplos

Ejemplo 5

Considerando las matrices A y B, de tamaño, 2 \times2 calcule la suma indicada.

Ejemplo 6

Considerando las matrices A y B, de tamaño, 4 \times 2 calcule la suma indicada.

Ejemplo 7

Considerando las matrices A y B, de tamaño, 1 \times 4 calcule la suma indicada.

Ejemplo 8

Considerando las matrices A y B, de tamaño, 3 \times 1 calcule la suma indicada.

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Multiplicación por un escalar

Diremos que un escalar es un número real que al multiplicarla por una matriz esta nos cambia la escala de cada uno de los elementos de ella. Definimos el producto de un escalar k por una matriz A, como una nueva matriz donde cada elemento ij de esta nueva matriz, está definido como el producto del escalar k por el elemento ij de la matriz A. Formalmente,

[k \cdot A]_{ij} = k \cdot [A]

O escrito de forma exhaustiva, tenemos que

Veamos algunos ejemplos.

Ejemplos

Ejemplo 9

Considerando la matriz A, de tamaño, 2 \times 2 calcule el producto por el escalar 4.

Ejemplo 10

Considerando la matriz A, de tamaño, 3 \times 1 calcule el producto por el escalar -4.

Ejemplo 11

Considerando la matriz A, de tamaño, 4 \times 2 calcule el producto por el escalar 7.

Ejemplo 12

Considerando la matriz A, de tamaño, 3 \times 3 calcule el producto por el escalar 9.

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Producto entre Matrices

Sean A una matriz de tamaño m \times n y B una matriz de tamaño n \times p, definimos el producto A \times B como una nueva matriz donde cada elemento ij de esta nueva matriz, está definido el «producto» de la fila i de la matriz A por la columna j de la matriz B. Formalmente,

[A \times B]_{ij} = \sum_k^n [A]_{ij} \cdot [B]_{ij}

Debemos notar que para poder efectuar esta operación, el número de columnas de la matriz A debe ser exactamente igual al número de filas de la matriz B y aunque esta operación pareciera complicada, en los siguientes ejemplos veremos el procedimiento para calcular el producto entre dos matrices.

Ejemplos

Ejemplo 13

Considerando la matriz A, de tamaño, 2 \times 2 y la matriz B, de tamaño, 2 \times 2. Calcule el producto A \times B. Veamos en este ejemplo paso a paso como calcular este producto.

El elemento [A \times B]_{11} de la nueva matriz A \times B es el resultado de multiplicar la fila 1 por la columna 1.

El elemento [A \times B]_{12} de la nueva matriz A \times B es el resultado de multiplicar la fila 1 por la columna 2.

El elemento [A \times B]_{21} de la nueva matriz A \times B es el resultado de multiplicar la fila 2 por la columna 1.

El elemento [A \times B]_{22} de la nueva matriz A \times B es el resultado de multiplicar la fila 2 por la columna 2.

De esta forma, tenemos que

Entonces, aplicamos las operaciones involucradas

Ejemplo 14

Considerando la matriz A, de tamaño, 4 \times 2 y la matriz B, de tamaño, 2 \times 1. Calcule el producto A \times B.

Ejemplo 15

Considerando la matriz A, de tamaño, 1 \times 3 y la matriz B, de tamaño, 3 \times 2. Calcule el producto A \times B.

Ejemplo 16

Considerando la matriz A, de tamaño, 4 \times 3 y la matriz B, de tamaño, 3 \times 4. Calcule el producto A \times B.

Nota: Si podemos multiplicar A \times B, no necesariamente podemos multiplicar B \times A, esto quiere decir que el producto entre matrices no es conmutativo.

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Transposición de matrices

En ocasiones, es necesario cambiar las filas por columnas de una matriz y viceversa, para esto definimos la operación de transposición. Sea A una matriz de tamaño m \times n decimos que la transposición de la matriz A es una nueva matriz de tamaño n \times m donde los elementos de la matriz A que están en la posición ij pasan a estar en la posición ji, a esta nueva matriz se le llama A traspuesta (o traspuesta) y la denotamos por A^{T} o A'. Formalmente,

[A^{T}]_{ij} = A_{ji}

O escrito de forma exhaustiva, tenemos que

Veamos algunos ejemplos.

Ejemplos

Ejemplos 17

Considerando la matriz A, de tamaño, 3 \times 3. Calcule la matriz transpuesta de A, es decir, A^{T}.

Ejemplos 18

Considerando la matriz A, de tamaño, 4 \times 1. Calcule la matriz transpuesta de A, es decir, A^{T}.

Ejemplo 19

Considerando la matriz A, de tamaño, 4 \times 2. Calcule la matriz transpuesta de A, es decir, A^{T}.

Ejemplo 20

Considerando la matriz A, de tamaño, 3 \times 4. Calcule la matriz transpuesta de A, es decir, A^{T}.

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El Conjugado de una Suma

Anthonny Arias-García4 comentarios

A continuación definiremos una expresión que está íntimamente relacionada con la diferencia de cuadrados, pues al encontrar la suma (o la resta según sea el caso) de dos números reales, podemos definir una expresión que nos permitirá escribir dicha resta como una diferencia de cuadrados.

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Formalmente, Si a y b son dos números reales, el conjugado de la suma (a+b) está definido como (a-b). De igual forma, el conjugado de la resta (a-b) está definido como (a+b). Es decir, se cambia el signo que se encuentra entre ellos dos. La importancia del conjugado radica en que el producto de una suma por su conjugado es igual a una diferencia de cuadrados, es decir,

El Conjugado de una Suma | totumat.com

Esta igualdad se puede deducir efectuando la propiedad distributiva de los números reales, veamos entonces,

El Conjugado de una Suma | totumat.com

Este tipo de expresiones se encuentra a menudo en el desarrollo las operaciones algebraicas y se usa principalmente para simplificar operaciones, veamos en los siguientes ejemplos como identificar el conjugado de algunas expresiones:

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Ejemplos

Ejemplo 1

Identifique el conjugado de 12 - 5. No tiene mucho sentido identificar el conjugado de esta expresión pues podemos simplemente efectuar la resta y obtener 7 como resultado.

Ejemplo 2

Identifique el conjugado de \sqrt{12} - 5. Notemos que uno de los sumando involucrados es raíz cuadrada de doce, por lo tanto no no se puede restar con cinco, entonces, concluimos que su conjugado es \sqrt{12} + 5.

Ejemplo 3

Identifique el conjugado de 3 + \sqrt{8}. Notemos que uno de los sumando involucrados es raíz cuadrada de ocho, por lo tanto no no se puede sumar con tres, entonces, concluimos que su conjugado es 3 - \sqrt{8}.

Ejemplo 4

Identifique el conjugado de 3x - 7. Notemos que uno de los sumando involucrados es tres por una incógnita, por lo tanto no se puede restar con siete, entonces, concluimos que su conjugado es 3x + 7.

Ejemplo 5

Identifique el conjugado de 15 + 4x. Notemos que uno de los sumando involucrados es cuatro por una incógnita, por lo tanto no se puede sumar con 15, entonces, concluimos que su conjugado es 15 - 4x.

Ejemplo 6

Identifique el conjugado de 6 + \sqrt{x+2}. Esta resta no se puede efectuar, entonces, concluimos que su conjugado es 6 - \sqrt{x+2}. Notando que el signo dentro de la raíz no cambia.

La Propiedad Distributiva | totumat.com

La Propiedad Distributiva

Anthonny Arias-García6 comentarios

Al sumar números reales tenemos la libertad de asociar los números involucrados con ligereza y de igual forma, podemos asociar los números involucrados si estamos multiplicando números reales, sin embargo, debemos ser precavidos cuando nos topamos con operaciones mixtas, es decir, sumas y productos al mismo tiempo. A continuación veremos una propiedad que nos permite operar sumas y productos al mismo tiempo.

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La propiedad distributiva establece que si un número multiplica a la suma de dos números, entonces el factor involucrado se distribuye entre cada uno de los sumandos. Formalmente, si a, b y c son números reales, entonces

La Propiedad Distributiva | totumat.com

Podemos también aplicar esta propiedad si dentro de los paréntesis está involucrada una resta en vez de una suma, de la siguiente forma:

totumat.com

Notamos que si observamos esta igualdad de derecha a izquierda, estamos tomando el factor común que hay en ambos sumandos y lo estamos sacando a multiplicar:

a \cdot b \pm a \cdot c = a \cdot (b \pm c)

Esta es una de las propiedades más usadas en al cálculo de operaciones mixtas y a partir de ellas, se deducen algunos casos que facilitan la simplificación de expresiones matemáticas. Veamos algunos ejemplos para entender bien esta propiedad:

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Ejemplos

Ejemplo 1

Use la propiedad distributiva para expandir la expresión 2 \cdot (1 + 6). En este caso no es necesario usar la propiedad distributiva ya que podemos sumar los números que están dentro de los paréntesis y posteriormente multiplicar de la siguiente forma:

2 \cdot (1 + 6) = 2 \cdot 7 = 14

Ejemplo 2

Use la propiedad distributiva para expandir la expresión 2 \cdot \left( 1 + \sqrt{6} \right). Notemos que uno de los sumandos involucrados es la raíz cuadrada de 6, por lo tanto no se puede sumar con 1, entonces distribuimos el factor involucrado

2 \cdot \left( 1 + \sqrt{6} \right) = 2 \cdot 1 + 2 \cdot \sqrt{6} = 2 + 2 \sqrt{6}

Ejemplo 3

Use la propiedad distributiva para expandir la expresión 5 \cdot \left( x - \sqrt{10} \right). Notemos que uno de los sumandos involucrados es la raíz cuadrada de 10 y el otro es una incógnita, por lo tanto no se pueden restar, entonces distribuimos el factor involucrado

5 \cdot \left( x - \sqrt{10} \right) = 5 \cdot x - 5 \cdot \sqrt{10} = 5x - 5\sqrt{10}

Ejemplo 4

Use la propiedad distributiva para expandir la expresión x \cdot \left( x + x^2 \right). Notemos que uno de los sumandos involucrados una incógnita y el otro es una incógnita elevada al cuadrado, por lo tanto no se pueden sumar, entonces distribuimos el factor involucrado

x \cdot \left( x + x^2 \right) = x \cdot x + x \cdot x^2 = x^2 + x^3

Ejemplo 5

Use la propiedad distributiva para sacar el factor común de la expresión 18 + 3\sqrt{7}. Notemos que 18=3 \cdot 6, entonces,

18 + 3\sqrt{7} = 3 \cdot 6 + 3 \sqrt{7} = 3 \cdot \left( 6 + \sqrt{7} \right)

Ejemplo 6

Use la propiedad distributiva para sacar el factor común de la expresión x^4 - 8x. Notemos que uno de los sumandos involucrados es una incógnita elevada a la cuatro y el otro es 8 veces dicha incógnita, por lo tanto no se pueden restar, entonces

x^4 - 8x = x \cdot x^3 - x \cdot 8 = x \cdot \left( x^3 - 8 \right)

Ejemplo 7

Use la propiedad distributiva para sacar el factor común de la expresión 12x^7 + 15x^4. Estos dos elementos no se pueden sumar, entonces

12x^7 + 15x^4 = 3 \cdot 4 \cdot x^4 \cdot x^3 + 3 \cdot 5 \cdot x^4 = 3 x^4 \cdot \left( 4x^3 + 5 \right)

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Ejemplo 8

Use la propiedad distributiva para expandir la expresión 2 \cdot (3x + 4 + 7x + 5). Notemos que podemos agrupar los elementos que están dentro de los paréntesis, para obtener

2 \cdot (3x + 7x + 4 + 5)

Sumamos los elementos que están multiplicando a x y por otra parte, los términos independientes.

2 \cdot (10x + 9)

Finalmente, efectuamos la propiedad distributiva.

20x + 18

Ejemplo 9

Use la propiedad distributiva para expandir la expresión 5 \cdot (10 + x - 5x + 6y - 6 + 8y). Notemos que podemos agrupar los elementos que están dentro de los paréntesis, para obtener

5 \cdot (x - 5x + 6y +8y + 10 - 6)

Sumamos los elementos que están multiplicando a x, por otra parte los elementos que están multiplicando a y y por otra parte, los términos independientes.

5 \cdot (- 4x + 14y + 4)

Finalmente, efectuamos la propiedad distributiva.

-20x + 70y + 20

Ejemplo 10

Use la propiedad distributiva para expandir la expresión (\frac{24}{100}q + 10) \cdot q. Pese a que la variable q aparece como un factor en el lado derecho de la expresión, podemos distribuirlo en cada uno de los sumandos tal como si apareciera del lado izquierdo:

\frac{24}{100}q \cdot q + 10 \cdot q

Notando que al multiplicar $q \cdot q$, ambos factores tienen la misma base, entonces obtenemos lo siguiente

\frac{24}{100}q^2 + 10q

Video Complementario

Números Naturales

Anthonny Arias-García3 comentarios
  1. ¿Cuál es la «naturaleza» de los números naturales?
  2. Operaciones entre números naturales
    1. La suma de números naturales
    2. El producto entre números naturales
  3. Conjunto cerrado respecto a una operación
    1. La resta de números naturales
    2. La división entre números naturales

¿Cuál es la «naturaleza» de los números naturales?

Los números naturales son aquellos que aprendemos de forma natural contando los dedos de nuestras manos, caramelos, platos en una mesa, pelotas en una caja, billetes, etc; es decir, todos los números que podamos usar para representar una cantidad de objetos.

Empezando por el 1, definimos cada uno de los siguientes términos como el anterior, sumándole 1. Denotaremos el conjunto de los números naturales con con el símbolo \mathbb{N} y lo definiremos extensivamente de la siguiente manera:

\mathbb{N} = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,\ldots\}

Este conjunto continúa de manera indefinida sumando siempre 1 al número anterior, es por eso que usamos tres puntos suspensivos al definirlo de forma extensiva. También será posible representar este conjunto gráficamente, disponiendo cada elemento de forma ordenada en una recta, así

Representación gráfica de los números naturales. Una línea recta con números demarcados de forma perpendicular. | totuma.com

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Operaciones entre números naturales

La suma de números naturales

Es posible definir operaciones entre números naturales, de forma intuitiva, un número natural representa una cantidad de objetos, entonces usaremos la suma para representar la cantidad de total de objetos que tendríamos al juntar distintos grupos de objetos. Por ejemplo, si se tiene una bolsa con tres objetos y otra bolsa con nueve objetos; y se guarda el contenido de ambas en una caja, se tendrá un total de doce objetos en la caja.

En general si se tienen dos números naturales, se pueden sumar y obtener otro número natural. La suma se denotará con el signo «+» y se lee más. Además, podemos establecer una relación entre la suma de dos números naturales y otro número natural a través de una igualdad usando el signo «=» que se lee igual que o igual a. Retomando el último ejemplo, podemos decir que

3 + 9 = 12
tres más nueve es igual a doce

El producto entre números naturales

Por otra parte si se tiene una cantidad de objetos y esta cantidad se repite un número de veces, entonces el producto (o multiplicación) nos representará la cantidad total de objetos que se obtendrá al agruparlos todos. Por ejemplo, si se tienen tres paquetes de caramelos y cada paquete tiene diez caramelos, en total se tendrán treinta caramelos.

En general si se tienen dos números naturales, se pueden multiplicar y obtener otro número natural. El producto se denotará con el signo » \cdot » (en algunos casos se usa «\times«) y se lee por. A cada uno de los términos involucrados en un producto los llamaremos factores. Retomando el último ejemplo, podemos decir que

3 \cdot 10 = 30
tres por diez es igual a treinta

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Conjunto cerrado respecto a una operación

Decimos que un conjunto es cerrado respecto a la suma, si al efectuar la suma entre dos elementos del conjunto, el resultado estará contenido en el conjunto. Por ejemplo, el conjunto de los números naturales es cerrado respecto a la suma, pues al sumar dos números naturales, el resultado es un número natural.

Decimos que un conjunto es cerrado respecto al producto, si al efectuar el producto entre dos elementos del conjunto, el resultado estará contenido en el conjunto. Por ejemplo, el conjunto de los números naturales es cerrado respecto al producto, pues al multiplicar dos números naturales, el resultado es un número natural.

De forma genera, diremos que un conjunto es cerrado respecto a una operación, si al efectuar dicha operación entre dos elementos del conjunto, el resultado estará contenido en el conjunto.

La resta de números naturales

Un número natural representa una cantidad de objetos, entonces usaremos la resta para representar la cantidad de total de objetos que tendríamos al juntar retirar una cantidad de objetos de un conjunto de objetos. Por ejemplo, si se tiene una bolsa con quince objetos y de esta bolsa se retiran seis objetos; dentro de la bolsa, habrá un total de nueve objetos.

En ocasiones, si se tienen dos números naturales, se pueden restar y obtener otro número natural. La resta se denotará con el signo «-» y se lee menos. Además, podemos establecer una relación entre la resta de dos números naturales y otro número natural a través de una igualdad usando el signo «=» que se lee igual que o igual a. Retomando el último ejemplo, podemos decir que

15 - 6 = 9
quince menos seis es igual a nueve

Sin embargo, el conjunto de los números naturales no es cerrado respecto a la resta, pues la resta de dos números naturales no siempre resulta en otro número natural. Por ejemplo, ¿cuál es el resultado de restar siete menos siete? ¿Cuál es el resultado de restar cinco menos veinte?

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La división entre números naturales

Un número natural representa una cantidad de objetos, entonces usaremos la división para representar la forma equitativa en que podemos repartir esta cantidad de objetos. Por ejemplo, si se tienen dieciocho objetos y estos se guardan de forma equitativa en tres cajas; dentro de cada caja, habrá un total de seis objetos en cada caja.

En ocasiones, si se tienen dos números naturales, se pueden dividir y obtener otro número natural. La resta se denotará con el signo «÷» y se lee dividido entre. Además, podemos establecer una relación entre la división de dos números naturales y otro número natural a través de una igualdad usando el signo «=» que se lee igual que o igual a. Retomando el último ejemplo, podemos decir que

18 \div 6 = 3
dieciocho dividido entre seis es igual a tres

Sin embargo, el conjunto de los números naturales no es cerrado respecto a la división, pues la división de dos números naturales no siempre resulta en otro número natural. Por ejemplo, ¿cuál es el resultado de dividir uno menos dos? ¿Cuál es el resultado de restar trece entre cuatro?

Hemos visto que el conjunto de los números naturales no es cerrado respecto a la resta ni a la división, entonces, es necesario definir un nuevo conjunto que sea cerrado respecto a la resta.