La Propiedad Distributiva

Al sumar números reales tenemos la libertad de asociar los números involucrados con ligereza, de igual forma si estamos multiplicando números reales, sin embargo, debemos ser precavidos cuando nos topamos con operaciones mixtas, es decir, sumas y productos al mismo tiempo. A continuación veremos una propiedad que nos permite operar sumas y productos al mismo tiempo:

La propiedad distributiva establece que si un número multiplica a la suma de dos números, entonces el factor involucrado se distribuye entre cada uno de los sumandos. Formalmente, si a, b y c son números reales, entonces

Podemos también aplicar esta propiedad si dentro de los paréntesis está involucrada una resta en vez de una suma, de la siguiente forma:

Notamos que si observamos esta igualdad de derecha a izquierda, estamos tomando el factor común que hay en ambos sumandos y lo estamos sacando a multiplicar:

a \cdot b \pm a \cdot c = a \cdot (b \pm c)

Esta es una de las propiedades más usadas en al cálculo de operaciones mixtas y a partir de ellas se deducen algunos casos que facilitan la simplificación de expresiones matemáticas. Veamos algunos ejemplos para entender bien esta propiedad:

Ejemplos

Ejemplo 1

Use la propiedad distributiva para expandir la expresión 2 \cdot (1 + 6). En este caso no es necesario usar la propiedad distributiva ya que podemos sumar los números que están dentro de los paréntesis y posteriormente multiplicar de la siguiente forma:

2 \cdot (1 + 6) = 2 \cdot 7 = 14

Ejemplo 2

Use la propiedad distributiva para expandir la expresión 2 \cdot \left( 1 + \sqrt{6} \right). Notemos que uno de los sumandos involucrados es la raíz cuadrada de 6, por lo tanto no se puede sumar con 1, entonces distribuimos el factor involucrado

2 \cdot \left( 1 + \sqrt{6} \right) = 2 \cdot 1 + 2 \cdot \sqrt{6} = 2 + 2 \sqrt{6}

Ejemplo 3

Use la propiedad distributiva para expandir la expresión 5 \cdot \left( x - \sqrt{10} \right). Notemos que uno de los sumandos involucrados es la raíz cuadrada de 10 y el otro es una incógnita, por lo tanto no se puede restar, entonces distribuimos el factor involucrado

5 \cdot \left( x - \sqrt{10} \right) = 5 \cdot x - 5 \cdot \sqrt{10} = 5x - 5\sqrt{10}

Ejemplo 4

Use la propiedad distributiva para expandir la expresión x \cdot \left( x + x^2 \right). Notemos que uno de los sumandos involucrados una incógnita y el otro es una incógnita elevada al cuadrado, por lo tanto no se puede sumar, entonces distribuimos el factor involucrado

x \cdot \left( x + x^2 \right) = x \cdot x + x \cdot x^2 = x^2 + x^3

Ejemplo 5

Use la propiedad distributiva para \emph{sacar} el factor común de la expresión 18 + 3\sqrt{7}. Notemos que 18=3 \cdot 6, entonces,

18 + 3\sqrt{7} = 3 \cdot 6 + 3 \sqrt{7} = 3 \cdot \left( 6 + \sqrt{7} \right)

Ejemplo 6

Use la propiedad distributiva para sacar el factor común de la expresión x^4 - 8x. Notemos que uno de los sumandos involucrados es una incógnita elevada a la cuatro y el otro es 8 veces dicha incógnita, por lo tanto no se pueden restar, entonces

x^4 - 8x = x \cdot x^3 - x \cdot 8 = x \cdot \left( x^3 - 8 \right)

Ejemplo 7

Use la propiedad distributiva para sacar el factor común de la expresión 12x^7 + 15x^4. Estos dos elementos no se pueden sumar, entonces

12x^7 + 15x^4 = 3 \cdot 4 \cdot x^4 \cdot x^3 + 3 \cdot 5 \cdot x^4 = 3 x^4 \cdot \left( 4x^3 + 5 \right)


¿Tiendes dudas? ¿Requieres más ejemplos? No dudes en escribir.

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