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La Propiedad Distributiva

Al sumar números reales tenemos la libertad de asociar los números involucrados con ligereza y de igual forma, podemos asociar los números involucrados si estamos multiplicando números reales, sin embargo, debemos ser precavidos cuando nos topamos con operaciones mixtas, es decir, sumas y productos al mismo tiempo. A continuación veremos una propiedad que nos permite operar sumas y productos al mismo tiempo.

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La propiedad distributiva establece que si un número multiplica a la suma de dos números, entonces el factor involucrado se distribuye entre cada uno de los sumandos. Formalmente, si a, b y c son números reales, entonces

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Podemos también aplicar esta propiedad si dentro de los paréntesis está involucrada una resta en vez de una suma, de la siguiente forma:

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Notamos que si observamos esta igualdad de derecha a izquierda, estamos tomando el factor común que hay en ambos sumandos y lo estamos sacando a multiplicar:

a \cdot b \pm a \cdot c = a \cdot (b \pm c)

Esta es una de las propiedades más usadas en al cálculo de operaciones mixtas y a partir de ellas, se deducen algunos casos que facilitan la simplificación de expresiones matemáticas. Veamos algunos ejemplos para entender bien esta propiedad:

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Ejemplos

Ejemplo 1

Use la propiedad distributiva para expandir la expresión 2 \cdot (1 + 6). En este caso no es necesario usar la propiedad distributiva ya que podemos sumar los números que están dentro de los paréntesis y posteriormente multiplicar de la siguiente forma:

2 \cdot (1 + 6) = 2 \cdot 7 = 14

Ejemplo 2

Use la propiedad distributiva para expandir la expresión 2 \cdot \left( 1 + \sqrt{6} \right). Notemos que uno de los sumandos involucrados es la raíz cuadrada de 6, por lo tanto no se puede sumar con 1, entonces distribuimos el factor involucrado

2 \cdot \left( 1 + \sqrt{6} \right) = 2 \cdot 1 + 2 \cdot \sqrt{6} = 2 + 2 \sqrt{6}

Ejemplo 3

Use la propiedad distributiva para expandir la expresión 5 \cdot \left( x - \sqrt{10} \right). Notemos que uno de los sumandos involucrados es la raíz cuadrada de 10 y el otro es una incógnita, por lo tanto no se pueden restar, entonces distribuimos el factor involucrado

5 \cdot \left( x - \sqrt{10} \right) = 5 \cdot x - 5 \cdot \sqrt{10} = 5x - 5\sqrt{10}

Ejemplo 4

Use la propiedad distributiva para expandir la expresión x \cdot \left( x + x^2 \right). Notemos que uno de los sumandos involucrados una incógnita y el otro es una incógnita elevada al cuadrado, por lo tanto no se pueden sumar, entonces distribuimos el factor involucrado

x \cdot \left( x + x^2 \right) = x \cdot x + x \cdot x^2 = x^2 + x^3

Ejemplo 5

Use la propiedad distributiva para sacar el factor común de la expresión 18 + 3\sqrt{7}. Notemos que 18=3 \cdot 6, entonces,

18 + 3\sqrt{7} = 3 \cdot 6 + 3 \sqrt{7} = 3 \cdot \left( 6 + \sqrt{7} \right)

Ejemplo 6

Use la propiedad distributiva para sacar el factor común de la expresión x^4 - 8x. Notemos que uno de los sumandos involucrados es una incógnita elevada a la cuatro y el otro es 8 veces dicha incógnita, por lo tanto no se pueden restar, entonces

x^4 - 8x = x \cdot x^3 - x \cdot 8 = x \cdot \left( x^3 - 8 \right)

Ejemplo 7

Use la propiedad distributiva para sacar el factor común de la expresión 12x^7 + 15x^4. Estos dos elementos no se pueden sumar, entonces

12x^7 + 15x^4 = 3 \cdot 4 \cdot x^4 \cdot x^3 + 3 \cdot 5 \cdot x^4 = 3 x^4 \cdot \left( 4x^3 + 5 \right)

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Ejemplo 8

Use la propiedad distributiva para expandir la expresión 2 \cdot (3x + 4 + 7x + 5). Notemos que podemos agrupar los elementos que están dentro de los paréntesis, para obtener

2 \cdot (3x + 7x + 4 + 5)

Sumamos los elementos que están multiplicando a x y por otra parte, los términos independientes.

2 \cdot (10x + 9)

Finalmente, efectuamos la propiedad distributiva.

20x + 18

Ejemplo 9

Use la propiedad distributiva para expandir la expresión 5 \cdot (10 + x - 5x + 6y - 6 + 8y). Notemos que podemos agrupar los elementos que están dentro de los paréntesis, para obtener

5 \cdot (x - 5x + 6y +8y + 10 - 6)

Sumamos los elementos que están multiplicando a x, por otra parte los elementos que están multiplicando a y y por otra parte, los términos independientes.

5 \cdot (- 4x + 14y + 4)

Finalmente, efectuamos la propiedad distributiva.

-20x + 70y + 20

Ejemplo 10

Use la propiedad distributiva para expandir la expresión (\frac{24}{100}q + 10) \cdot q. Pese a que la variable q aparece como un factor en el lado derecho de la expresión, podemos distribuirlo en cada uno de los sumandos tal como si apareciera del lado izquierdo:

\frac{24}{100}q \cdot q + 10 \cdot q

Notando que al multiplicar $q \cdot q$, ambos factores tienen la misma base, entonces obtenemos lo siguiente

\frac{24}{100}q^2 + 10q


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6 comentarios en “La Propiedad Distributiva

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