Al sumar números reales tenemos la libertad de asociar los números involucrados con ligereza y de igual forma, podemos asociar los números involucrados si estamos multiplicando números reales, sin embargo, debemos ser precavidos cuando nos topamos con operaciones mixtas, es decir, sumas y productos al mismo tiempo. A continuación veremos una propiedad que nos permite operar sumas y productos al mismo tiempo.

La propiedad distributiva establece que si un número multiplica a la suma de dos números, entonces el factor involucrado se distribuye entre cada uno de los sumandos. Formalmente, si , y son números reales, entonces

Podemos también aplicar esta propiedad si dentro de los paréntesis está involucrada una resta en vez de una suma, de la siguiente forma:

Notamos que si observamos esta igualdad de derecha a izquierda, estamos tomando el factor común que hay en ambos sumandos y lo estamos sacando a multiplicar:

Esta es una de las propiedades más usadas en al cálculo de operaciones mixtas y a partir de ellas, se deducen algunos casos que facilitan la simplificación de expresiones matemáticas. Veamos algunos ejemplos para entender bien esta propiedad:

Ejemplos

Ejemplo 1

Use la propiedad distributiva para expandir la expresión . En este caso no es necesario usar la propiedad distributiva ya que podemos sumar los números que están dentro de los paréntesis y posteriormente multiplicar de la siguiente forma:

Ejemplo 2

Use la propiedad distributiva para expandir la expresión . Notemos que uno de los sumandos involucrados es la raíz cuadrada de 6, por lo tanto no se puede sumar con 1, entonces distribuimos el factor involucrado

Ejemplo 3

Use la propiedad distributiva para expandir la expresión . Notemos que uno de los sumandos involucrados es la raíz cuadrada de 10 y el otro es una incógnita, por lo tanto no se pueden restar, entonces distribuimos el factor involucrado

Ejemplo 4

Use la propiedad distributiva para expandir la expresión . Notemos que uno de los sumandos involucrados una incógnita y el otro es una incógnita elevada al cuadrado, por lo tanto no se pueden sumar, entonces distribuimos el factor involucrado

Ejemplo 5

Use la propiedad distributiva para sacar el factor común de la expresión . Notemos que , entonces,

Ejemplo 6

Use la propiedad distributiva para sacar el factor común de la expresión . Notemos que uno de los sumandos involucrados es una incógnita elevada a la cuatro y el otro es 8 veces dicha incógnita, por lo tanto no se pueden restar, entonces

Ejemplo 7

Use la propiedad distributiva para sacar el factor común de la expresión . Estos dos elementos no se pueden sumar, entonces

Ejemplo 8

Use la propiedad distributiva para expandir la expresión . Notemos que podemos agrupar los elementos que están dentro de los paréntesis, para obtener

Sumamos los elementos que están multiplicando a y por otra parte, los términos independientes.

Finalmente, efectuamos la propiedad distributiva.

Ejemplo 9

Use la propiedad distributiva para expandir la expresión . Notemos que podemos agrupar los elementos que están dentro de los paréntesis, para obtener

Sumamos los elementos que están multiplicando a , por otra parte los elementos que están multiplicando a y por otra parte, los términos independientes.

Finalmente, efectuamos la propiedad distributiva.

Ejemplo 10

Use la propiedad distributiva para expandir la expresión . Pese a que la variable aparece como un factor en el lado derecho de la expresión, podemos distribuirlo en cada uno de los sumandos tal como si apareciera del lado izquierdo:

Notando que al multiplicar $q \cdot q$, ambos factores tienen la misma base, entonces obtenemos lo siguiente

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