El Conjugado de una Suma

A continuación definiremos una expresión que está íntimamente relacionada con la diferencia de cuadrados, pues al encontrar la suma (o la resta según sea el caso) de dos números reales, podemos definir una expresión que nos permitirá escribir dicha resta como una diferencia de cuadrados.

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Formalmente, Si a y b son dos números reales, el conjugado de la suma (a+b) está definido como (a-b). De igual forma, el conjugado de la resta (a-b) está definido como (a+b). Es decir, se cambia el signo que se encuentra entre ellos dos. La importancia del conjugado radica en que el producto de una suma por su conjugado es igual a una diferencia de cuadrados, es decir,

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Esta igualdad se puede deducir efectuando la propiedad distributiva de los números reales, veamos entonces,

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Este tipo de expresiones se encuentra a menudo en el desarrollo las operaciones algebraicas y se usa principalmente para simplificar operaciones, veamos en los siguientes ejemplos como identificar el conjugado de algunas expresiones:

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Ejemplos

Ejemplo 1

Identifique el conjugado de 12 - 5. No tiene mucho sentido identificar el conjugado de esta expresión pues podemos simplemente efectuar la resta y obtener 7 como resultado.

Ejemplo 2

Identifique el conjugado de \sqrt{12} - 5. Notemos que uno de los sumando involucrados es raíz cuadrada de doce, por lo tanto no no se puede restar con cinco, entonces, concluimos que su conjugado es \sqrt{12} + 5.

Ejemplo 3

Identifique el conjugado de 3 + \sqrt{8}. Notemos que uno de los sumando involucrados es raíz cuadrada de ocho, por lo tanto no no se puede sumar con tres, entonces, concluimos que su conjugado es 3 - \sqrt{8}.

Ejemplo 4

Identifique el conjugado de 3x - 7. Notemos que uno de los sumando involucrados es tres por una incógnita, por lo tanto no se puede restar con siete, entonces, concluimos que su conjugado es 3x + 7.

Ejemplo 5

Identifique el conjugado de 15 + 4x. Notemos que uno de los sumando involucrados es cuatro por una incógnita, por lo tanto no se puede sumar con 15, entonces, concluimos que su conjugado es 15 - 4x.

Ejemplo 6

Identifique el conjugado de 6 + \sqrt{x+2}. Esta resta no se puede efectuar, entonces, concluimos que su conjugado es 6 - \sqrt{x+2}. Notando que el signo dentro de la raíz no cambia.


La Diferencia de Cuadrados

Al efectuar operaciones matemáticas es común toparse con restas entre dos números, sin embargo, al encontrar la resta de los cuadrados de dos números diremos que esta es una diferencia de cuadrados y es de nuestro particular interés porque a través de la propiedad distributiva, podemos expresarla como el producto de dos factores.

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Formalmente, si a y b son dos números reales, entonces la diferencia de sus cuadrados será igual a la suma del primero más el segundo, multiplicado por la resta del primero por el segundo, es decir,

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Esta igualdad se puede deducir efectuando la propiedad distributiva de los números reales, veamos entonces,

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Este tipo de expresiones se encuentra a menudo en el desarrollo las operaciones algebraicas y se usa principalmente para factorizar operaciones, veamos en los siguientes ejemplos como aplicar esta operación:

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Ejemplos

Ejemplo 1

Factorice la expresión 5^2 - 3^2. Notamos que en este caso, podemos simplemente aplicar la potencia cada uno de los sumandos y efectuar la resta directamente.

5^2 - 3^2 \ =\ 25 - 9

\ =\ 16

Ejemplo 2

Factorice la expresión x^2 - 9. Notamos que en este caso, uno de los sumandos es equis al cuadrado y el otro es nueve, así que no podemos efectuar la resta entre ellos así que aplicamos la diferencia de cuadrados notando que nueve es igual a tres al cuadrado.

x^2 - 9 \ =\ x^2 - 3^2

\ =\ (x-3)(x+3)

Ejemplo 3

Factorice la expresión x^2 - 2. Notamos que en este caso, uno de los sumandos es equis al cuadrado y el otro es dos, así que no podemos efectuar la resta entre ellos así que aplicamos la diferencia de cuadrados notando que dos se puede reescribir como 2 = \left( \sqrt{2} \right)^2.

x^2 - 2 \ =\ x^2 -\left( \sqrt{2} \right)^2

\ =\ \left(x-\sqrt{2}\right) \left(x+\sqrt{2}\right)

De esta forma, podemos notar que si la raíz cuadrada de un numero no es exacta, este se puede reescribir para poder usar la diferencia de cuadrados.

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Ejemplo 4

Factorice la expresión 8 - x^6. Notamos que en este caso, uno de los sumandos es 8 y el otro es equis a la seis, así que no podemos efectuar la resta entre ellos así que aplicamos la diferencia de cuadrados notando que ocho se puede reescribir como 8 = \left( \sqrt{8} \right)^2 y equis a la seis como x^6 = \left( x^3 \right)^2.

8 - x^6 \ =\ \left( \sqrt{8} \right)^2 - \left(x^3 \right)^2

\ =\ \left(\sqrt{8}-x^3\right) \left(\sqrt{8}+x^3\right)

Ejemplo 5

Factorice la expresión 36x^4 - 5x^8. Notamos que en este caso, no podemos efectuar la resta entre ellos así que aplicamos la diferencia de cuadrados usando las observaciones expuestas en los ejemplos anteriores.

36x^4 - 5x^8 \ =\ \left( 6x^2 \right)^2 - \left( \sqrt{5}x^4 \right)^2

\ =\ \left(6x^2-\sqrt{5}x^4\right) \left(6x^2+\sqrt{5}x^4\right)


La Propiedad Distributiva | totumat.com

La Propiedad Distributiva

Al sumar números reales tenemos la libertad de asociar los números involucrados con ligereza y de igual forma, podemos asociar los números involucrados si estamos multiplicando números reales, sin embargo, debemos ser precavidos cuando nos topamos con operaciones mixtas, es decir, sumas y productos al mismo tiempo. A continuación veremos una propiedad que nos permite operar sumas y productos al mismo tiempo.

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La propiedad distributiva establece que si un número multiplica a la suma de dos números, entonces el factor involucrado se distribuye entre cada uno de los sumandos. Formalmente, si a, b y c son números reales, entonces

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Podemos también aplicar esta propiedad si dentro de los paréntesis está involucrada una resta en vez de una suma, de la siguiente forma:

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Notamos que si observamos esta igualdad de derecha a izquierda, estamos tomando el factor común que hay en ambos sumandos y lo estamos sacando a multiplicar:

a \cdot b \pm a \cdot c = a \cdot (b \pm c)

Esta es una de las propiedades más usadas en al cálculo de operaciones mixtas y a partir de ellas, se deducen algunos casos que facilitan la simplificación de expresiones matemáticas. Veamos algunos ejemplos para entender bien esta propiedad:

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Ejemplos

Ejemplo 1

Use la propiedad distributiva para expandir la expresión 2 \cdot (1 + 6). En este caso no es necesario usar la propiedad distributiva ya que podemos sumar los números que están dentro de los paréntesis y posteriormente multiplicar de la siguiente forma:

2 \cdot (1 + 6) = 2 \cdot 7 = 14

Ejemplo 2

Use la propiedad distributiva para expandir la expresión 2 \cdot \left( 1 + \sqrt{6} \right). Notemos que uno de los sumandos involucrados es la raíz cuadrada de 6, por lo tanto no se puede sumar con 1, entonces distribuimos el factor involucrado

2 \cdot \left( 1 + \sqrt{6} \right) = 2 \cdot 1 + 2 \cdot \sqrt{6} = 2 + 2 \sqrt{6}

Ejemplo 3

Use la propiedad distributiva para expandir la expresión 5 \cdot \left( x - \sqrt{10} \right). Notemos que uno de los sumandos involucrados es la raíz cuadrada de 10 y el otro es una incógnita, por lo tanto no se pueden restar, entonces distribuimos el factor involucrado

5 \cdot \left( x - \sqrt{10} \right) = 5 \cdot x - 5 \cdot \sqrt{10} = 5x - 5\sqrt{10}

Ejemplo 4

Use la propiedad distributiva para expandir la expresión x \cdot \left( x + x^2 \right). Notemos que uno de los sumandos involucrados una incógnita y el otro es una incógnita elevada al cuadrado, por lo tanto no se pueden sumar, entonces distribuimos el factor involucrado

x \cdot \left( x + x^2 \right) = x \cdot x + x \cdot x^2 = x^2 + x^3

Ejemplo 5

Use la propiedad distributiva para sacar el factor común de la expresión 18 + 3\sqrt{7}. Notemos que 18=3 \cdot 6, entonces,

18 + 3\sqrt{7} = 3 \cdot 6 + 3 \sqrt{7} = 3 \cdot \left( 6 + \sqrt{7} \right)

Ejemplo 6

Use la propiedad distributiva para sacar el factor común de la expresión x^4 - 8x. Notemos que uno de los sumandos involucrados es una incógnita elevada a la cuatro y el otro es 8 veces dicha incógnita, por lo tanto no se pueden restar, entonces

x^4 - 8x = x \cdot x^3 - x \cdot 8 = x \cdot \left( x^3 - 8 \right)

Ejemplo 7

Use la propiedad distributiva para sacar el factor común de la expresión 12x^7 + 15x^4. Estos dos elementos no se pueden sumar, entonces

12x^7 + 15x^4 = 3 \cdot 4 \cdot x^4 \cdot x^3 + 3 \cdot 5 \cdot x^4 = 3 x^4 \cdot \left( 4x^3 + 5 \right)

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Ejemplo 8

Use la propiedad distributiva para expandir la expresión 2 \cdot (3x + 4 + 7x + 5). Notemos que podemos agrupar los elementos que están dentro de los paréntesis, para obtener

2 \cdot (3x + 7x + 4 + 5)

Sumamos los elementos que están multiplicando a x y por otra parte, los términos independientes.

2 \cdot (10x + 9)

Finalmente, efectuamos la propiedad distributiva.

20x + 18

Ejemplo 9

Use la propiedad distributiva para expandir la expresión 5 \cdot (10 + x - 5x + 6y - 6 + 8y). Notemos que podemos agrupar los elementos que están dentro de los paréntesis, para obtener

5 \cdot (x - 5x + 6y +8y + 10 - 6)

Sumamos los elementos que están multiplicando a x, por otra parte los elementos que están multiplicando a y y por otra parte, los términos independientes.

5 \cdot (- 4x + 14y + 4)

Finalmente, efectuamos la propiedad distributiva.

-20x + 70y + 20

Ejemplo 10

Use la propiedad distributiva para expandir la expresión (\frac{24}{100}q + 10) \cdot q. Pese a que la variable q aparece como un factor en el lado derecho de la expresión, podemos distribuirlo en cada uno de los sumandos tal como si apareciera del lado izquierdo:

\frac{24}{100}q \cdot q + 10 \cdot q

Notando que al multiplicar $q \cdot q$, ambos factores tienen la misma base, entonces obtenemos lo siguiente

\frac{24}{100}q^2 + 10q


Video Complementario

El trinomio cuadrado perfecto

De los productos notables, que son casos particulares de la propiedad distributiva, el más importante es el que nos da como resultado el trinomio cuadrado perfecto y establece que, si a y b son dos números reales, el cuadrado de la suma de ellos dos es igual al primero al cuadrado más dos veces el producto del primero por el segundo más el segundo al cuadrado, es decir,

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Esta igualdad se puede deducir efectuando la propiedad distributiva cuando multiplicamos la suma de dos números por esa misma suma, veamos entonces,

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De igual forma, si a y b son dos números reales, el cuadrado de la resta entre ellos dos es igual al primero al cuadrado menos dos veces el producto del primero por el segundo más el segundo al cuadrado, es decir,

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Esta igualdad se puede deducir efectuando la propiedad distributiva cuando multiplicamos la resta de dos números por esa misma resta, veamos entonces,

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Este tipo de expresiones se encuentra a menudo en el desarrollo las operaciones algebraicas pues no siempre podremos efectuar la suma que se encuentra dentro de los paréntesis, veamos en los siguientes ejemplos como aplicar esta operación:

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Ejemplos

Ejemplo 1

Aplique el producto notable para expandir la expresión (3 + 2)^2. Sumamos los dos elementos dentro del paréntesis y elevamos al cuadrado de la siguiente manera:

(3 + 2)^2
\ =\ 5^2
\ =\ 25

Ejemplo 2

Aplique el producto notable para expandir la expresión (3 + \sqrt{2})^2. Notemos que uno de los sumandos involucrados es la raíz cuadrada de dos, por lo tanto no se puede sumar con tres.

(3 + \sqrt{2})^2
\ =\ 3^2 + 2(3)(\sqrt{2}) + (\sqrt{2})^2
\ =\ 9 + 6\sqrt{2} + 2
\ =\ 11+6\sqrt{2}

Ejemplo 3

Aplique el producto notable para expandir la expresión (\sqrt[3]{6} - 4)^2. Notemos que uno de los sumandos involucrados es la raíz cúbica de seis, por lo tanto no se puede restar con cuatro.

(\sqrt[3]{6} - 4)^2
\ =\ (\sqrt[3]{6})^2 -2(\sqrt[3]{6})(4) + 4^2
\ =\ (\sqrt[3]{6})^2 -8\sqrt[3]{6} +16

Ejemplo 4

Aplique el producto notable para expandir la expresión (x+7)^2. Notemos que uno de los sumandos involucrados es una incógnita, por lo tanto no se puede sumar con siete.

(x+7)^2
\ =\ x^2 + 2(x)(7) + 7^2
\ =\ x^2 +14x + 49

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Ejemplo 5

Aplique el producto notable para expandir la expresión (2x-8)^2. Notemos que uno de los sumandos involucrados es una incógnita multiplicada por dos, por lo tanto no se puede restar con ocho.

(2x-8)^2
\ =\ (2x)^2 - 2(2x)(8) + 8^2
\ =\ 4x^2 - 32x + 64

Ejemplo 6

Aplique el producto notable para expandir la expresión (x^2 + x^5)^2. Notemos que uno de los sumandos involucrados es equis al cuadrado y el otro es equis elevado a la cinco, por lo tanto no se pueden sumar.

(x^2 + x^5)^2
\ =\ (x^2)^2 + 2(x^2)(x^5) + (x^5)^2
\ =\ x^4 + 2x^7 + x^{10}


Axiomas Algebraicos de los Números Reales

Entre los números reales podemos hacer todas las operaciones que ya hemos aprendido al definir los números naturales, enteros y racionales, estas operaciones son: suma, resta, multiplicación y división. Pero, al presentarse los números reales como un contexto más general, es necesario formalizar la forma en que podemos efectuar estas operaciones.

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Los Axiomas Algebraicos de los Números Reales usualmente se conocen como propiedades de los números reales y para enunciarlos, consideremos a, b y c números reales.

Propiedades para la suma

  1. El conjunto de los números reales es cerrado bajo la suma: a+b es un número real.
  2. Propiedad conmutativa: a + b = b + a.
  3. Propiedad asociativa: a + (b + c) = (a + b)+c.
  4. Elemento neutro: Existe un único número que llamaremos cero denotado por 0, tal que a + 0 = 0 + a = a.
  5. Opuesto aditivo: Para todo número real a, existe un número real -a tal que al sumarlos, obtenemos como resultado el número 0, es decir, a + (-a) = (-a) + a = 0.

Veamos ahora que existe cierta dualidad entre la suma y el producto, pues hay propiedades parecidas pero en el contexto del producto como se presentan a continuación:

Propiedades para el producto

  1. El conjunto de los números reales es cerrado bajo el producto: a \cdot b es un número real.
  2. Propiedad conmutativa: a  \cdot  b = b  \cdot  a.
  3. Propiedad asociativa: a  \cdot  (b  \cdot  c) = (a  \cdot  b) \cdot c.
  4. Elemento neutro: Existe un único número que llamaremos uno denotado por 1, tal que a  \cdot  1 = 1  \cdot  a = a.
  5. Inverso multiplicativo: Para todo número real a \neq 0, existe un número real a^{-1} tal que al multiplicarlos, obtenemos como resultado el número 1, es decir, a  \cdot   a^{-1}  =  a^{-1}   \cdot  a = 1.
  6. Elemento nulo: Existe un único número que llamaremos cero denotado por 0, tal que a  \cdot  0 = 0  \cdot  a = 0.

Finalmente, veamos una propiedad que involucra la suma y la multiplicación al mismo tiempo.

Propiedad Distributiva

a \cdot (a + b) = a \cdot b + a \cdot c

Si consideramos esta igualdad en un sentido, distribuimos un producto en una suma pero en el sentido contrario haremos algo que se conoce como como sacar factor común.

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Axiomas de Orden

Existen otros axiomas que cohesionan con mayor fuerza el conjunto de los números reales, particularmente, Ley de Tricotomía define parte de los Axiomas de Orden de los números reales estableciendo una relación entre dos números reales. Formalmente, si a y b son números reales, entonces se cumple sólo una de las siguientes:

1.- a es igual a b, es decir, a = b. Gráficamente tenemos que a y b se encuentran en el mismo punto de la recta real.

a es igual a b

2.- a es menor que b, es decir, a < b. Gráficamente tenemos que a se encuentra a la izquierda de b de la recta real.

a es menor que b

3.- a es mayor que b, es decir, a > b. Gráficamente tenemos que a se encuentra a la derecha de b de la recta real.

a es mayor que b
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Números positivos y números negativos

Las relaciones entre cualquier número real y el número cero son muy particulares, pues el cero de cierta forma parte la recta real en dos partes, a una parte la llamaremos el Conjunto de los Reales Positivos y a la otra parte la llamaremos El Conjunto de los Reales Negativos. Entonces si a es un número real, tendremos que:

  • Si a > 0, diremos que a es un número positivo.
  • Si a < 0, diremos que a es un número negativo.

Gráficamente, diremos que los números positivos están a la derecha del cero y los números negativos están a la izquierda del cero. Entonces, al trazar la recta real, siempre indicaremos con una flecha el sentido en el que se encuentran los números positivos.