1. Axiomas para la suma
2. Axiomas para el producto
3. Propiedad Distributiva
4. Axiomas de Orden
5. Números positivos y números negativos

Entre los números reales podemos hacer todas las operaciones que ya hemos aprendido al definir los números naturales, enteros y racionales, estas operaciones son: suma, resta, multiplicación y división. Pero, al presentarse los números reales como un contexto más general, es necesario formalizar la forma en que podemos efectuar estas operaciones.

Los Axiomas Algebraicos de los Números Reales usualmente se conocen como propiedades de los números reales y para enunciarlos, consideremos , y números reales.

Axiomas para la suma

1. El conjunto de los números reales es cerrado bajo la suma: es un número real.
2. Propiedad conmutativa:
3. Propiedad asociativa:
4. Elemento neutro: Existe un único número que llamaremos cero denotado por 0, tal que
5. Opuesto aditivo: Para todo número real a, existe un número real -a tal que al sumarlos, obtenemos como resultado el número 0, es decir,

Veamos ahora que existe cierta dualidad entre la suma y el producto, pues hay propiedades parecidas pero en el contexto del producto como se presentan a continuación:

Axiomas para el producto

1. El conjunto de los números reales es cerrado bajo el producto: es un número real.
2. Propiedad conmutativa:
3. Propiedad asociativa:
4. Elemento neutro: Existe un único número que llamaremos uno denotado por 1, tal que
5. Inverso multiplicativo: Para todo número real , existe un número real tal que al multiplicarlos, obtenemos como resultado el número 1, es decir,
6. Elemento nulo: Existe un único número que llamaremos cero denotado por 0, tal que

Finalmente, veamos una propiedad que involucra la suma y la multiplicación al mismo tiempo.

Propiedad Distributiva

Si consideramos esta igualdad en un sentido, distribuimos un producto en una suma pero en el sentido contrario haremos algo que se conoce como como sacar factor común.

Axiomas de Orden

Existen otros axiomas que cohesionan con mayor fuerza el conjunto de los números reales, particularmente, Ley de Tricotomía define una parte de los Axiomas de Orden de los números reales estableciendo una relación entre dos números reales. Formalmente, si y son números reales, entonces se cumple sólo una de las siguientes:

1.- a es igual a b, es decir, . Gráficamente tenemos que a y b se encuentran en el mismo punto de la recta real.

2.- a es menor que b, es decir, . Gráficamente tenemos que a se encuentra a la izquierda de b de la recta real.

3.- a es mayor que b, es decir, . Gráficamente tenemos que a se encuentra a la derecha de b de la recta real.

Números positivos y números negativos

Las relaciones entre cualquier número real y el número cero son muy particulares, pues el cero de cierta forma parte la recta real en dos partes, a una parte la llamaremos el Conjunto de los Reales Positivos y a la otra parte la llamaremos El Conjunto de los Reales Negativos. Entonces si es un número real, tendremos que:

• Si , diremos que es un número positivo.
• Si , diremos que es un número negativo.

Gráficamente, diremos que los números positivos están a la derecha del cero y los números negativos están a la izquierda del cero. Entonces, al trazar la recta real, siempre indicaremos con una flecha el sentido en el que se encuentran los números positivos.

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