Propiedades de los Radicales

A continuación se presentará una lista de algunas propiedades del radical de un número, del producto y la división. Sean a y b números reales; m y n números naturales, entonces

1. \sqrt{a} = \sqrt[2]{a} = a^{1/2}, si el radical de un número no tiene índice, se sobreentiende que es la raíz cuadrada. Más aún, la segunda raíz se puede expresar como la potencia \frac{1}{2}.

2. \sqrt[n]{a} = a^{1/n}, la n-ésima raíz se puede expresar como la potencia \frac{1}{n}.

3. \sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}, la n-ésima raíz de la m-ésima potencia se puede expresar como la potencia \frac{m}{n}.

4. \sqrt[n]{a^n} = |a|, si n es par; la n-ésima raíz de la n-ésima potencia es el valor absoluto, siempre que n se par. Esto se debe a que el resultado de esta operación siempre será positivo.

5. \sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a}, si n es impar; la n-ésima raíz de la n-ésima potencia del opuesto aditivo de un número negativo es el opuesto aditivo, de la la n-ésima raíz de la n-ésima potencia del número. Esto se debe a que al multiplicar un número negativo, por sí mismo un número impar de veces, resulta en un número negativo.

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6. \sqrt[n]{0} = 0, la raíz n-ésima de cero es igual a cero, esto se debe a que cero multiplicado por sí mismo, n veces, es igual a cero.

7. \sqrt[n]{1} = 1, la raíz n-ésima de uno es igual a uno, esto se debe a que uno multiplicado por sí mismo, n veces, es igual a uno.

8. \sqrt[n]{a \cdot b} =\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}, la raíz n-ésima del producto de dos números, es igual al producto de las raíces n-ésimas de dichos números.

9. \sqrt[n]{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}, \ b \neq 0 , la raíz n-ésima de la división de dos números, es igual a la división de las raíces n-ésimas de dichos números.

Esta lista es citada por algunos autores como la Ley de los Radicales o Leyes de Radicación, pero estas en realidad, son propiedades que se deducen de la propiedades de las potencias. De forma resumida, tenemos que

\sqrt{a} = a^{1/2}

\sqrt[n]{a} = a^{1/n}

\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}

\sqrt[n]{a^n} = |a|, si n es par

\sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a}, si n es impar

\sqrt[n]{0} = 0

\sqrt[n]{1} = 1

\sqrt[n]{a \cdot b} =\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}

\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}, \ b \neq 0

Estas propiedades se pueden usar para simplificar o expandir expresiones algebraicas, es decir, aquellas que se expresan como suma, resta, producto y división de números reales. Veamos en los siguientes ejemplos como usar estas propiedades.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Simplifique la expresión \sqrt[3]{7^4} usando las propiedades de los radicales.

Cuando el exponente dentro del radical es mayor que el índice del radical, usualmente se simplifica este tipo de expresiones separando el producto que se encuentra dentro del radical, de la siguiente manera

\sqrt[3]{7^4} = \sqrt[3]{7^3 \cdot 3} = \sqrt[3]{7^3} \cdot \sqrt[3]{7} = 7 \cdot \sqrt[3]{3}

Ejemplo 2

Simplifique la expresión \sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{2} usando las propiedades de los radicales.

Notamos que los factores involucrados tienen la misma base, por lo tanto, podemos reescribir los radicales como exponentes y sumarlos,

2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}} = 2^{\frac{5}{6}} = \sqrt[6]{2^5}

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Ejemplo 3

Simplifique la expresión \sqrt[5]{9} \cdot \sqrt[3]{9^{4}} usando las propiedades de los radicales.

Notamos que los factores involucrados tienen la misma base, por lo tanto, podemos sumar sus exponentes,

\sqrt[5]{9} \cdot \sqrt[3]{9^{4}} = 9^{\frac{1}{5}} \cdot 9^{\frac{3}{4}} = 9^{\frac{1}{5} + \frac{4}{3}} = 9^{\frac{23}{15}}

Antes de reescribir este exponente como un radical, podemos descomponer el número 9 en factores primos para obtener que

9^{\frac{23}{15}} = \left( 3^2 \right)^{\frac{23}{15}} = 3^{\frac{46}{15}} = \sqrt[15]{3^{46}}

Cuando el exponente dentro del radical es mayor que el índice del radical, usualmente se simplifica este tipo de expresiones separando el producto que se encuentra dentro del radical, de la siguiente manera

\sqrt[15]{3^{46}} = \sqrt[15]{3^{15} \cdot 3^{31}} = \sqrt[15]{3^{15}} \cdot \sqrt[15]{3^{31}} = 3 \cdot \sqrt[15]{3^{31}}

Nuevamente que el exponente dentro del radical es mayor que el índice del radical,

3\sqrt[15]{3^{31}} = 3 \sqrt[15]{3^{15} \cdot 3^{16}} = 3 \cdot 3 \cdot \sqrt[15]{3^{16}} = 3^2 \cdot \sqrt[15]{3^{16}}

Nuevamente que el exponente dentro del radical es mayor que el índice del radical,

3^2 \cdot \sqrt[15]{3^{16}} = 3 \sqrt[15]{3^{15} \cdot 3} = 3^{2} \cdot 3 \cdot \sqrt[15]{3^{16}} = 3^3 \cdot \sqrt[15]{3}

Nota: Estos últimos tres pasos se pudieron resumir separando \sqrt[15]{3^{46}} como \sqrt[15]{3^{45} \cdot 3} y simplificando directamente el 45 con 15 para obtener el exponente 3.

Ejemplo 4

Simplifique la expresión \sqrt[4]{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt[4]{5^3} usando las propiedades de los radicales.

Sumamos los exponentes de los factores con la misma base,

3^{\frac{1}{4}} \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot 5^{\frac{3}{4}} = 3^{\frac{1}{4} + \frac{1}{2}} \cdot 5^{\frac{3}{4}} = 3^{\frac{3}{4}} \cdot 5^{\frac{3}{4}}

Como ambas bases tienen el mismo exponente, podemos agrupar ambas bases bajo el mismo exponente,

3^{\frac{3}{4}} \cdot 5^{\frac{3}{4}} = \left( 3 \cdot 5 \right)^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{\left( 3 \cdot 5 \right)^3}

Ejemplo 5

Simplifique la expresión \frac{\sqrt[5]{2^{27}}}{2} usando las propiedades de los radicales.

Notamos que los elementos involucrados tienen la misma base, por lo tanto, podemos restar sus exponentes,

\frac{2^{\frac{27}{5}}}{2} = 2^{\frac{9}{5}-1} = 2^{\frac{22}{5}} = \sqrt[5]{2^{22}}

Cuando el exponente dentro del radical es mayor que el índice del radical, usualmente se simplifica este tipo de expresiones separando el producto que se encuentra dentro del radical, de la siguiente manera

\sqrt[5]{2^{22}} = \sqrt[5]{2^{20} \cdot 2^{2}} = 2^{4} \cdot \sqrt[5]{2^{2}}

Nota: Se pudo en un principio simplificar el numerador y posteriormente simplificar con el denominador, sin embargo, no se hizo así para demostrar como aplicar las propiedades.


2 comentarios en “Propiedades de los Radicales

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