Propiedades de los Radicales

A continuación se presentará una lista de algunas propiedades de la potencia de un número, del producto y la división. Sean $a$ y $b$ números reales; $m$ y $n$ números naturales, entonces

$\sqrt{a} = a^{1/2}$
$\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$
$\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$
$\sqrt[n]{a^n} = |a|$ , si $n$ es par
$\sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a}$ , si $n$ es impar
$\sqrt[n]{0} = 0$
$\sqrt[n]{1} = 1$
$\sqrt[n]{a \cdot b} =\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$
$\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}, \ b \neq 0$

Estas propiedades se pueden usar para simplificar o expandir expresiones algebraicas, es decir, aquellas que se expresan como suma, resta, producto y división de números reales. Veamos en los siguientes ejemplos como usar estas propiedades.

Ejemplos

Ejemplo 1

Simplifique la expresión $\sqrt[3]{7^4}$ usando las propiedades de los radicales.

Cuando el exponente dentro del radical es mayor que el índice del radical, usualmente se simplifica este tipo de expresiones separando el producto que se encuentra dentro del radical, de la siguiente manera

$\sqrt[3]{7^4} = \sqrt[3]{7^3 \cdot 3} = \sqrt[3]{7^3} \cdot \sqrt[3]{7} = 7 \cdot \sqrt[3]{3}$

Ejemplo 2

Simplifique la expresión $\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{2}$ usando las propiedades de los radicales.

Notamos que los factores involucrados tienen la misma base, por lo tanto, podemos reescribir los radicales como exponentes y sumarlos,

$2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}} = 2^{\frac{5}{6}} = \sqrt[6]{2^5}$

Ejemplo 3

Simplifique la expresión $\sqrt[5]{9} \cdot \sqrt[3]{9^{4}}$ usando las propiedades de los radicales.

Notamos que los factores involucrados tienen la misma base, por lo tanto, podemos sumar sus exponentes,

$\sqrt[5]{9} \cdot \sqrt[3]{9^{4}} = 9^{\frac{1}{5}} \cdot 9^{\frac{3}{4}} = 9^{\frac{1}{5} + \frac{4}{3}} = 9^{\frac{23}{15}}$

Antes de reescribir este exponente como un radical, podemos descomponer el número $9$ en factores primos para obtener que

$9^{\frac{23}{15}} = \left( 3^2 \right)^{\frac{23}{15}} = 3^{\frac{46}{15}} = \sqrt[15]{3^{46}}$

$\sqrt[15]{3^{46}} = \sqrt[15]{3^{15} \cdot 3^{31}} = \sqrt[15]{3^{15}} \cdot \sqrt[15]{3^{31}} = 3 \cdot \sqrt[15]{3^{31}}$

Nuevamente que el exponente dentro del radical es mayor que el índice del radical,

$3\sqrt[15]{3^{31}} = 3 \sqrt[15]{3^{15} \cdot 3^{16}} = 3 \cdot 3 \cdot \sqrt[15]{3^{16}} = 3^2 \cdot \sqrt[15]{3^{16}}$

Nuevamente que el exponente dentro del radical es mayor que el índice del radical,

$3^2 \cdot \sqrt[15]{3^{16}} = 3 \sqrt[15]{3^{15} \cdot 3} = 3^{2} \cdot 3 \cdot \sqrt[15]{3^{16}} = 3^3 \cdot \sqrt[15]{3}$

Nota: Estos últimos tres pasos se pudieron resumir separando $\sqrt[15]{3^{46}}$ como $\sqrt[15]{3^{45} \cdot 3}$ y simplificando directamente el $45$ con $15$ para obtener el exponente $3$ .

Ejemplo 4

Simplifique la expresión $\sqrt[4]{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt[4]{5^3}$ usando las propiedades de los radicales.

Sumamos los exponentes de los factores con la misma base,

$3^{\frac{1}{4}} \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot 5^{\frac{3}{4}} = 3^{\frac{1}{4} + \frac{1}{2}} \cdot 5^{\frac{3}{4}} = 3^{\frac{3}{4}} \cdot 5^{\frac{3}{4}}$

Como ambas bases tienen el mismo exponente, podemos agrupar ambas bases bajo el mismo exponente,

$3^{\frac{3}{4}} \cdot 5^{\frac{3}{4}} = \left( 3 \cdot 5 \right)^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{\left( 3 \cdot 5 \right)^3}$

Ejemplo 5

Simplifique la expresión $\frac{\sqrt[5]{2^{27}}}{2}$ usando las propiedades de los radicales.

Notamos que los elementos involucrados tienen la misma base, por lo tanto, podemos restar sus exponentes,

$\frac{2^{\frac{27}{5}}}{2} = 2^{\frac{9}{5}-1} = 2^{\frac{22}{5}} = \sqrt[5]{2^{22}}$

$\sqrt[5]{2^{22}} = \sqrt[5]{2^{20} \cdot 2^{2}} = 2^{4} \cdot \sqrt[5]{2^{2}}$

Nota: Se pudo en un principio simplificar el numerador y posteriormente simplificar con el denominador.

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Publicado por Anthonny Arias

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