La Notación Científica

¡Cuenta rápido! ¿Cuántos ceros hay en el siguiente número entero?

3870 0000 0000 0000 0000 0000

¡Cuenta más rápido! ¿Cuántos ceros hay en el siguiente número decimal?

0,00 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0419

¿Cuánto demoraste en contar todos estos ceros? Yo ni los conté. Es claro que los números que hemos expuesto son demasiado largos como para determinar a simple vista que tan grandes o que tan pequeños son. Es por esto que debemos definir una nueva forma de reescribir este tipo de números de forma que sea más fácil identificarlos.

También pudiera interesarte

Anuncios

Abreviar números usando múltiplos de 10

Una forma de abreviar este tipo de números consiste en notar que todo número se puede descomponer en unidades, decenas, centenas, unidades de mil, etc; usaremos este hecho para corresponder cada componente con un múltiplo de 10. Ilustremos esta idea considerando directamente los múltiplos de 10.

10 = \ 1 \cdot 10
100 = \ 1 \cdot 10^2
1000 = \ 1 \cdot 10^3
10000 = \ 1 \cdot 10^4
\vdots
1\underbrace{0 \ldots 0}_{n-ceros} = \ 1 \cdot 10^n

Intuitivamente, lo que está ocurriendo es que al considerar un número, al multiplicar por 10, estamos moviendo la coma que separa la parte decimal hacia la derecha. Por ejemplo, si consideramos el número 123000, notamos que hay tres ceros después de la cadena de dígitos 123, entonces podemos abreviar los ceros de este número reescribiéndolo como

123 \cdot 10^{3}

De igual forma, podemos notar que la parte decimal de todo número también se puede descomponer en unidades, decenas, centenas, unidades de mil, etc; usaremos este hecho para corresponder cada componente con un múltiplo inverso de 10. Ilustremos esta idea considerando directamente los múltiplos inversos de 10.

0,1 = \ 1 \cdot 10^{-1}
0,01 = \ 1 \cdot 10^{-2}
0,001 = \ 1 \cdot 10^{-3}
0,0001 = \ 1 \cdot 10^{-4}
\vdots
0,\underbrace{0 \ldots 0}_{n-ceros}1 = \ 1 \cdot 10^{-n}

Intuitivamente, lo que está ocurriendo es que al considerar un número, al multiplicar por 10^{-1}, estamos moviendo la coma que separa la parte decimal hacia la izquierda. Por ejemplo, si consideramos el número 0,0000074, notamos que hay cinco ceros entre la coma y 74, entonces podemos abreviar los ceros de este número reescribiéndolo como

0,74 \cdot 10^{-5}

La Notación Científica

Partiendo de estos principios, definimos la notación científica como una forma de reescribir cualquier número multiplicándolo por múltiplos o múltiplos inversos de 10 para dejar sólo un dígito para su parte entera.

Para ilustrar esta idea, consideremos en los siguientes ejemplos algunos números y veamos la técnica para reescribirlos en notación científica.

Anuncios

Ejemplos

Ejemplo 1

Reescriba el número 4084 en notación científica indicando el procedimiento paso a paso. Considerando que la parte decimal de todo número entero es igual a cero, podemos escribir este número como 4084,0, entonces

Movemos la coma en un espacio hacia la izquierda, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10 y así obtener,

408,4 \cdot 10

Movemos la coma en un espacio hacia la izquierda, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10 y así obtener,

40,84 \cdot 10^{2}

Finalmente movemos la coma en un espacio hacia la izquierda, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10 y así obtener el número 4084 expresado en notación científica de la siguiente forma:

4,084 \cdot 10^{3}

Notemos que al multiplicar 4,084 \cdot 10^{3} obtenemos el número original, 4084.

Ejemplo 2

Reescriba el número 83295 en notación científica indicando el procedimiento paso a paso. Considerando que la parte decimal de todo número entero es igual a cero, podemos escribir este número como 83295,0.

Movemos la coma en un espacio hacia la izquierda, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10 y así obtener,

8329,5 \cdot 10

Movemos la coma en un espacio hacia la izquierda, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10 y así obtener,

832,95 \cdot 10^{2}

Movemos la coma en un espacio hacia la izquierda, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10 y así obtener,

83,295 \cdot 10^{3}

Finalmente movemos la coma en un espacio hacia la izquierda, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10 y así obtener el número 83295 expresado en notación científica de la siguiente forma:

8,3295 \cdot 10^{4}

Notemos que al multiplicar 8.3295 \cdot 10^{4}, obtenemos el número original, latex 83295.

Ejemplo 3

Reescriba el número 1334621 en notación científica indicando el procedimiento paso a paso. Considerando que la parte decimal de todo número entero es igual a cero, podemos escribir este número como 1334621,0, entonces

Movemos la coma en un espacio hacia la izquierda, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10 y así obtener,

133462,1 \cdot 10

Movemos la coma en un espacio hacia la izquierda, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10 y así obtener,

13346,21 \cdot 10^{2}

Movemos la coma en un espacio hacia la izquierda, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10 y así obtener,

1334,621 \cdot 10^{3}

Movemos la coma en un espacio hacia la izquierda, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10 y así obtener,

133,4621 \cdot 10^{4}

Movemos la coma en un espacio hacia la izquierda, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10 y así obtener,

13,34621 \cdot 10^{5}

Finalmente, movemos la coma en un espacio hacia la izquierda, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10 y así obtener el número 1334621 expresado en notación científica de la siguiente forma:

1,334621 \cdot 10^{6}

Notemos que al multiplicar 1,334621 \cdot 10^{6} obtenemos el número original, 1334621.

Anuncios

Ejemplo 4

Reescriba el número 0,004167 en notación científica indicando el procedimiento paso a paso.

Movemos la coma en un espacio hacia la derecha, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10^{-1} y así obtener,

0,04167 \cdot 10^{-1}

Movemos la coma en un espacio hacia la derecha, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10^{-1} y así obtener,

0,4167 \cdot 10^{-2}

Finalmente, movemos la coma en un espacio hacia la derecha, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10^{-1} y así obtener,

4,167 \cdot 10^{-3}

Notemos que al multiplicar 4,167 \cdot 10^{-3} obtenemos el número original, 0,004167.

Ejemplo 5

Reescriba el número 0,00058016 en notación científica indicando el procedimiento paso a paso.

Movemos la coma en un espacio hacia la derecha, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10^{-1} y así obtener,

0,0058016 \cdot 10^{-1}

Movemos la coma en un espacio hacia la derecha, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10^{-1} y así obtener,

0,058016 \cdot 10^{-2}

Movemos la coma en un espacio hacia la derecha, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10^{-1} y así obtener,

0,58016 \cdot 10^{-3}

Finalmente, movemos la coma en un espacio hacia la derecha, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10^{-1} y así obtener,

5,8016 \cdot 10^{-4}

Notemos que al multiplicar 5,8016 \cdot 10^{-4} obtenemos el número original, 0,00058016.

Ejemplo 6

Reescriba el número 0,00000082935 en notación científica indicando el procedimiento paso a paso.

Movemos la coma en un espacio hacia la derecha, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10^{-1} y así obtener,

0,0000082935 \cdot 10^{-1}

Movemos la coma en un espacio hacia la derecha, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10^{-1} y así obtener,

0,000082935 \cdot 10^{-2}

Movemos la coma en un espacio hacia la derecha, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10^{-1} y así obtener,

0,00082935 \cdot 10^{-3}

Movemos la coma en un espacio hacia la derecha, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10^{-1} y así obtener,

0,0082935 \cdot 10^{-4}

Movemos la coma en un espacio hacia la derecha, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10^{-1} y así obtener,

0,082935 \cdot 10^{-5}

Movemos la coma en un espacio hacia la derecha, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10^{-1} y así obtener,

0,82935 \cdot 10^{-6}

Finalmente, movemos la coma en un espacio hacia la derecha, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10^{-1} y así obtener,

8,2935 \cdot 10^{-7}

Notemos que al multiplicar 8,2935 \cdot 10^{-7} obtenemos el número original, 0,00000082935.


Anuncios

Los números que hemos considerado en los ejemplos no pudieran no necesitar se reescritos en notación científica, sin embargo, en la práctica son muy necesarios para poder agilizar la comprensión de la información. Hay ejemplos notables de la notación científica, por ejemplo,

De acuerdo con Wikipedia, una de las siete magnitudes físicas fundamentales del Sistema Internacional de Unidades es el mol y es la unidad con que se mide la cantidad de sustancia. Particularmente, la Constante de Avogadro o a veces referida como el Número de Avogadro es el número de partículas constituyentes (usualmente átomos o moléculas) que se encuentran en la cantidad de sustancia de un mol, este es aproximadamente

6,022 \cdot 10^{-23}

Un gúgol es uno de los números grandes con nombre propio, su nombre en inglés es googol y de ahí se derivó el nombre de la empresa cibernética google. Este número se escribe como un 1 seguido de 100 ceros, de aquí la necesidad de escribirlo con notación científica de la siguiente forma,

1 \cdot 10^{100}

La Notación Científica en las Calculadoras

Debido a lo limitadas que son las pantallas de las calculadoras y también por comodidad, estas presentarán los números muy grandes o los muy pequeños usando notación científica, sin embargo, dependiendo del modelo de la calculadora puede usarse la notación e-N o E-N en vez de \times 10^{n}. Veamos algunos ejemplos para entender esto,

  • En una calculadora, el número 4.49496e-29 representa 4,49496 \cdot 10^{-29}.
  • En una calculadora, el número 8.112E-7 representa 8,112 \cdot 10^{-7}.
  • En una calculadora, el número 3.87e23 representa 3,87 \cdot 10^{23}.
  • En una calculadora, el número 9.6301E200 representa 9,6301 \cdot 10^{200}.

Propiedades de los Radicales

A continuación se presentará una lista de algunas propiedades del radical de un número, del producto y la división. Sean a y b números reales; m y n números naturales, entonces

1. \sqrt{a} = \sqrt[2]{a} = a^{1/2}, si el radical de un número no tiene índice, se sobreentiende que es la raíz cuadrada. Más aún, la segunda raíz se puede expresar como la potencia \frac{1}{2}.

2. \sqrt[n]{a} = a^{1/n}, la n-ésima raíz se puede expresar como la potencia \frac{1}{n}.

3. \sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}, la n-ésima raíz de la m-ésima potencia se puede expresar como la potencia \frac{m}{n}.

4. \sqrt[n]{a^n} = |a|, si n es par; la n-ésima raíz de la n-ésima potencia es el valor absoluto, siempre que n se par. Esto se debe a que el resultado de esta operación siempre será positivo.

5. \sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a}, si n es impar; la n-ésima raíz de la n-ésima potencia del opuesto aditivo de un número negativo es el opuesto aditivo, de la la n-ésima raíz de la n-ésima potencia del número. Esto se debe a que al multiplicar un número negativo, por sí mismo un número impar de veces, resulta en un número negativo.

También pudiera interesarte

Anuncios

6. \sqrt[n]{0} = 0, la raíz n-ésima de cero es igual a cero, esto se debe a que cero multiplicado por sí mismo, n veces, es igual a cero.

7. \sqrt[n]{1} = 1, la raíz n-ésima de uno es igual a uno, esto se debe a que uno multiplicado por sí mismo, n veces, es igual a uno.

8. \sqrt[n]{a \cdot b} =\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}, la raíz n-ésima del producto de dos números, es igual al producto de las raíces n-ésimas de dichos números.

9. \sqrt[n]{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}, \ b \neq 0 , la raíz n-ésima de la división de dos números, es igual a la división de las raíces n-ésimas de dichos números.

Esta lista es citada por algunos autores como la Ley de los Radicales o Leyes de Radicación, pero estas en realidad, son propiedades que se deducen de la propiedades de las potencias. De forma resumida, tenemos que

\sqrt{a} = a^{1/2}

\sqrt[n]{a} = a^{1/n}

\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}

\sqrt[n]{a^n} = |a|, si n es par

\sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a}, si n es impar

\sqrt[n]{0} = 0

\sqrt[n]{1} = 1

\sqrt[n]{a \cdot b} =\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}

\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}, \ b \neq 0

Estas propiedades se pueden usar para simplificar o expandir expresiones algebraicas, es decir, aquellas que se expresan como suma, resta, producto y división de números reales. Veamos en los siguientes ejemplos como usar estas propiedades.

Anuncios

Ejemplos

Ejemplo 1

Simplifique la expresión \sqrt[3]{7^4} usando las propiedades de los radicales.

Cuando el exponente dentro del radical es mayor que el índice del radical, usualmente se simplifica este tipo de expresiones separando el producto que se encuentra dentro del radical, de la siguiente manera

\sqrt[3]{7^4} = \sqrt[3]{7^3 \cdot 3} = \sqrt[3]{7^3} \cdot \sqrt[3]{7} = 7 \cdot \sqrt[3]{3}

Ejemplo 2

Simplifique la expresión \sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{2} usando las propiedades de los radicales.

Notamos que los factores involucrados tienen la misma base, por lo tanto, podemos reescribir los radicales como exponentes y sumarlos,

2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}} = 2^{\frac{5}{6}} = \sqrt[6]{2^5}

Anuncios

Ejemplo 3

Simplifique la expresión \sqrt[5]{9} \cdot \sqrt[3]{9^{4}} usando las propiedades de los radicales.

Notamos que los factores involucrados tienen la misma base, por lo tanto, podemos sumar sus exponentes,

\sqrt[5]{9} \cdot \sqrt[3]{9^{4}} = 9^{\frac{1}{5}} \cdot 9^{\frac{3}{4}} = 9^{\frac{1}{5} + \frac{4}{3}} = 9^{\frac{23}{15}}

Antes de reescribir este exponente como un radical, podemos descomponer el número 9 en factores primos para obtener que

9^{\frac{23}{15}} = \left( 3^2 \right)^{\frac{23}{15}} = 3^{\frac{46}{15}} = \sqrt[15]{3^{46}}

Cuando el exponente dentro del radical es mayor que el índice del radical, usualmente se simplifica este tipo de expresiones separando el producto que se encuentra dentro del radical, de la siguiente manera

\sqrt[15]{3^{46}} = \sqrt[15]{3^{15} \cdot 3^{31}} = \sqrt[15]{3^{15}} \cdot \sqrt[15]{3^{31}} = 3 \cdot \sqrt[15]{3^{31}}

Nuevamente que el exponente dentro del radical es mayor que el índice del radical,

3\sqrt[15]{3^{31}} = 3 \sqrt[15]{3^{15} \cdot 3^{16}} = 3 \cdot 3 \cdot \sqrt[15]{3^{16}} = 3^2 \cdot \sqrt[15]{3^{16}}

Nuevamente que el exponente dentro del radical es mayor que el índice del radical,

3^2 \cdot \sqrt[15]{3^{16}} = 3 \sqrt[15]{3^{15} \cdot 3} = 3^{2} \cdot 3 \cdot \sqrt[15]{3^{16}} = 3^3 \cdot \sqrt[15]{3}

Nota: Estos últimos tres pasos se pudieron resumir separando \sqrt[15]{3^{46}} como \sqrt[15]{3^{45} \cdot 3} y simplificando directamente el 45 con 15 para obtener el exponente 3.

Ejemplo 4

Simplifique la expresión \sqrt[4]{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt[4]{5^3} usando las propiedades de los radicales.

Sumamos los exponentes de los factores con la misma base,

3^{\frac{1}{4}} \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot 5^{\frac{3}{4}} = 3^{\frac{1}{4} + \frac{1}{2}} \cdot 5^{\frac{3}{4}} = 3^{\frac{3}{4}} \cdot 5^{\frac{3}{4}}

Como ambas bases tienen el mismo exponente, podemos agrupar ambas bases bajo el mismo exponente,

3^{\frac{3}{4}} \cdot 5^{\frac{3}{4}} = \left( 3 \cdot 5 \right)^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{\left( 3 \cdot 5 \right)^3}

Ejemplo 5

Simplifique la expresión \frac{\sqrt[5]{2^{27}}}{2} usando las propiedades de los radicales.

Notamos que los elementos involucrados tienen la misma base, por lo tanto, podemos restar sus exponentes,

\frac{2^{\frac{27}{5}}}{2} = 2^{\frac{9}{5}-1} = 2^{\frac{22}{5}} = \sqrt[5]{2^{22}}

Cuando el exponente dentro del radical es mayor que el índice del radical, usualmente se simplifica este tipo de expresiones separando el producto que se encuentra dentro del radical, de la siguiente manera

\sqrt[5]{2^{22}} = \sqrt[5]{2^{20} \cdot 2^{2}} = 2^{4} \cdot \sqrt[5]{2^{2}}

Nota: Se pudo en un principio simplificar el numerador y posteriormente simplificar con el denominador, sin embargo, no se hizo así para demostrar como aplicar las propiedades.


Radicales

Al definir las potencias, encontramos una forma de denotar el producto de un número multiplicado por él mismo reiteradas veces. De esta forma tenemos que

  • Al considerar el número nueve, tres es un número tal que al multiplicarlo por él mismo, el resultado es exactamente nueve, es decir,
    3^2 = 9.
  • Al considerar el número cuatro, dos es un número tal que al multiplicarlo por él mismo, el resultado es exactamente cuatro, es decir,
    4^2 = 36.
  • Al considerar el número sesenta y cuatro, ocho es un número tal que al multiplicarlo por él mismo, el resultado es exactamente sesenta y cuatro, es decir,
    8^2 = 64.

También pudiera interesarte

Anuncios

Esta idea es bastante intuitiva pero, ¿y si consideramos el número dos? ¿Cuál el número tal que al multiplicarlo por sí mismo, el resultado es exactamente dos? ¿Será uno? ¿Dos? ¿Uno y un medio? ¿Uno y un cuarto? Los números número enteros o fracciones de enteros en los que podemos pensar no aportarán ninguna solución. Es por esto que recurrimos a un nuevo número que satisface esta condición, lo llamaremos es la raíz cuadrada de dos y usamos la notación de radical (\sqrt{ \ \ }) para denotarlo de la siguiente manera

raíz cuadrada de dos | totumat.com

Aunque no sepamos exactamente toda la extensión decimal de este número sabemos que, por definición, es un número tal que al multiplicarlo por él mismo, el resultado es exactamente dos, es decir, \left( \sqrt{2} \right)^2 = 2. Esta notación se puede extender para otros números en los que se presente la misma situación.

  • Al considerar el número cinco, la raíz cuadrada de cinco es un número tal que al multiplicarlo por él mismo, el resultado es exactamente cinco, es decir,
    \left( \sqrt{5} \right)^2 = 5.
  • Al considerar el número doce, la raíz cuadrada de doce es un número tal que al multiplicarlo por él mismo, el resultado es exactamente doce, es decir,
    \left( \sqrt{12} \right)^2 = 12.
  • Al considerar el número treinta, la raíz cuadrada de treinta es un número tal que al multiplicarlo por él mismo, el resultado es exactamente treinta, es decir,
    \left( \sqrt{30} \right)^2 = 30.
  • Al considerar el número uno, la raíz cuadrada de uno es un número tal que al multiplicarlo por él mismo, el resultado es exactamente uno, es decir,
    \left( \sqrt{1} \right)^2 = 1.
    En este caso, notemos que \sqrt{1} = 1.
  • Al considerar el número menos tres, podemos decir de forma general que la raíz cuadrada de un número negativo no está definida pues no existe un número que multiplicado por sí mismo sea un número negativo.
Anuncios

Muy bien, ahora, ¿cuál el número tal que al multiplicarlo por sí mismo tres veces, el resultado es exactamente dos? A este número lo llamaremos es la raíz cúbica de dos y usamos la notación de radical (\sqrt{ \ \ }) con el índice tres para denotarlo de la siguiente manera

raíz cúbica de dos | totumat.com

Aunque no sepamos exactamente toda la extensión decimal de este número sabemos que, por definición, es un número tal que al multiplicarlo por él mismo tres veces, el resultado es exactamente dos, es decir, \left( \sqrt[3]{2} \right)^3 = 2. Esta notación se puede extender para otros números en los que se presente la misma situación.

  • Al considerar el número siete, la raíz cúbica de siete es un número tal que al multiplicarlo por él mismo tres veces, el resultado es exactamente siete, es decir,
    \left( \sqrt[3]{7} \right)^{3} = 7.
  • Al considerar el número quince, la raíz cúbica de quince es un número tal que al multiplicarlo por él mismo tres veces, el resultado es exactamente quince, es decir,
    \left( \sqrt[3]{15} \right)^{3} = 15.
  • Al considerar el número menos uno, la raíz cúbica de menos uno es un número tal que al multiplicarlo por él mismo tres veces, el resultado es exactamente menos uno, es decir,
    \left( \sqrt[3]{-1} \right)^{3} = -1.
    En este caso, notemos que \sqrt[3]{-1} = -1.
  • Al considerar el número menos veinticuatro, la raíz cúbica de menos veinticuatro es un número tal que al multiplicarlo por él mismo tres veces, el resultado es exactamente menos veinticuatro, es decir,
    \left( \sqrt[3]{-24} \right)^{3} = -24.

Los radicales se pueden usar para expresar números que cumplen con este tipo de condiciones. De forma general podemos decir que si consideramos un número a y n un número entero mayor que uno, entonces definimos la raíz n-ésima de a como un número tal que al multiplicarlo por sí mismo n veces, el resultado es exactamente a, usamos la notación de radical (\sqrt{ \ \ }) con el índice n para denotarlo de la siguiente manera

radicales, índice y base | totumat.com

Considerando que si n es un número par, la raíz n-ésima de a está definida sólo si a \geq 0. De esta forma, tenemos que

  • Al considerar el número ocho, la raíz sexta de ocho es un número tal que al multiplicarlo por él mismo seis veces, el resultado es exactamente ocho, es decir,
    \left( \sqrt[6]{8} \right)^{6} = 8.
  • Al considerar el número menos diez, la raíz quinta de menos diez es un número tal que al multiplicarlo por él mismo cinco veces, el resultado es exactamente menos diez, es decir,
    \left( \sqrt[5]{-10} \right)^{5} = -10.
  • Al considerar el número trece, la raíz vigésima de trece es un número tal que al multiplicarlo por él mismo veinte veces, el resultado es exactamente trece, es decir,
    \left( \sqrt[20]{13} \right)^{20} = 13.