Cálculo de Matriz Inversa – Regla de Cramer

Una vez que hemos definido la matriz inversa, lo natural es determinar una forma de calcular la matriz inversa, pues no siempre contaremos con ella. Existen diversos métodos para calcular la matriz inversa de una matriz no-singular $A$ , por ahora veremos solo uno de ellos.

A continuación veremos un método que nos permite calcular la inversa de una matriz usando el cálculo de determinantes y la transposición de matrices, a partir de este método se deriva una técnica para calcular la solución sistemas de ecuaciones lineales conocida como la Regla de Cramer.

Consideraremos cinco pasos que nos permitirán calcular la matriz inversa de una matriz $A$ :

Paso I: Verificamos que la matriz $A$ sea no-singular. Es decir, verificamos que

$|A| \neq 0$

Paso II: Calculamos todos los cofactores de la matriz $A$ y con ellos, construimos la matriz de cofactores $C(A)$ . Es decir, una matriz tal que,

$[C(A)]_{ij} = c(a_{ij})$

Paso III: Transponemos la matriz de cofactores. A esta nueva matriz la llamamos Matriz Adjunta de $A$ , la denotamos por

$adj(A)$

Pso IV: Definimos la inversa de la matriz $A$ como la matriz adjunta, dividida entre el determinante de $A$ . Es decir,

$A^{-1} = \frac{adj(A)}{|a|}$

Paso V: Verificamos que nuestros cálculos son correctos multiplicando

$A \times A^{-1} \text{ y } A^{-1} \times A$

Veamos con algunos ejemplos como calcular la inversa de matrices de tamaño tres, pues de esta forma podemos seguir los cálculos con facilidad.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la inversa de la matriz $A$ .

Paso I: Verificamos que la matriz $A$ sea no-singular. Es decir, verificamos que $|A| \neq 0$ .

Cálculo de Matriz Inversa - Regla Cramer | totumat.com

Paso II: Calculamos la matriz de cofactores de $A$ , es decir, $C(A)$ .

Paso III: Calculamos la matriz adjunta de $A$ , es decir, $adj(A)$ .

Paso IV: Calculamos la matriz inversa de $A$ , es decir, $A^{-1}$ .

Paso V: Queda de parte del lector verificar que $A \times A^{-1} = A^{-1} \times A = \mathbf{I}_3$ .

Ejemplo 2

Calcule la inversa de la matriz $A$ .

Paso I: Verificamos que la matriz $A$ sea no-singular. Es decir, verificamos que $|A| \neq 0$ .

Paso II: Calculamos la matriz de cofactores de $A$ , es decir, $C(A)$ .

Paso III: Calculamos la matriz adjunta de $A$ , es decir, $adj(A)$ .

Paso IV: Calculamos la matriz inversa de $A$ , es decir, $A^{-1}$ .

Paso V: Queda de parte del lector verificar que $A \times A^{-1} = A^{-1} \times A = \mathbf{I}_3$ .

Ejemplo 3

Calcule la inversa de la matriz $A$ .

Paso I: Verificamos que la matriz $A$ sea no-singular. Es decir, verificamos que $|A| \neq 0$ .

Paso II: Calculamos la matriz de cofactores de $A$ , es decir, $C(A)$ .

Paso III: Calculamos la matriz adjunta de $A$ , es decir, $adj(A)$ .

Paso IV: Calculamos la matriz inversa de $A$ , es decir, $A^{-1}$ .

Paso V: Queda de parte del lector verificar que $A \times A^{-1} = A^{-1} \times A = \mathbf{I}_3$ .

Ejemplo 4

Calcule la inversa de la matriz $A$ .

Paso I: Verificamos que la matriz $A$ sea no-singular. Es decir, verificamos que $|A| \neq 0$ .

Paso II: Calculamos la matriz de cofactores de $A$ , es decir, $C(A)$ .

Paso III: Calculamos la matriz adjunta de $A$ , es decir, $adj(A)$ .

Paso IV: Calculamos la matriz inversa de $A$ , es decir, $A^{-1}$ .

Paso V: Queda de parte del lector verificar que $A \times A^{-1} = A^{-1} \times A = \mathbf{I}_3$ .

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Ejemplos

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