Producto entre Matrices

Sean $A$ una matriz de tamaño $m \times n$ y $B$ una matriz de tamaño $n \times p$ , definimos el producto $A \times B$ como una nueva matriz donde cada elemento $ij$ de esta nueva matriz, está definido el «producto» de la fila $i$ de la matriz $A$ por la columna $j$ de la matriz $B$ . Formalmente,

$[A \times B]_{ij} = \sum_k^n [A]_{ij} \cdot [B]_{ij}$

Debemos notar que para poder efectuar esta operación, el número de columnas de la matriz $A$ debe ser exactamente igual al número de filas de la matriz $B$ y aunque esta operación pareciera complicada, en los siguientes ejemplos veremos el procedimiento para calcular el producto entre dos matrices.

Ejemplos

Ejemplo 13

Considerando la matriz A, de tamaño, $2 \times 2$ y la matriz B, de tamaño, $2 \times 2$ . Calcule el producto $A \times B$. Veamos en este ejemplo paso a paso como calcular este producto.

El elemento $[A \times B]_{11}$ de la nueva matriz $A \times B$ es el resultado de multiplicar la fila $1$ por la columna $1$ .

El elemento $[A \times B]_{12}$ de la nueva matriz $A \times B$ es el resultado de multiplicar la fila $1$ por la columna $2$ .

El elemento $[A \times B]_{21}$ de la nueva matriz $A \times B$ es el resultado de multiplicar la fila $2$ por la columna $1$ .

El elemento $[A \times B]_{22}$ de la nueva matriz $A \times B$ es el resultado de multiplicar la fila $2$ por la columna $2$ .

De esta forma, tenemos que

Entonces, aplicamos las operaciones involucradas

Ejemplo 14

Considerando la matriz $A$ , de tamaño, $4 \times 2$ y la matriz $B$ , de tamaño, $2 \times 1$ . Calcule el producto $A \times B$ .

Ejemplo 15

Considerando la matriz $A$ , de tamaño, $1 \times 3$ y la matriz $B$ , de tamaño, $3 \times 2$ . Calcule el producto $A \times B$ .

Ejemplo 16

Considerando la matriz $A$ , de tamaño, $4 \times 3$ y la matriz $B$ , de tamaño, $3 \times 4$ . Calcule el producto $A \times B$ .

Nota: Si podemos multiplicar $A \times B$ , no necesariamente podemos multiplicar $B \times A$ , esto quiere decir que el producto entre matrices no es conmutativo.

2 comentarios en “Producto entre Matrices”

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