Ley de los Signos

Al efectuar el producto entre números reales, debemos ser estar muy atentos al signo de los factores involucrados para llegar a la conclusión correcta. Es por esto que enunciaremos los cuatro casos que se pueden presentar al efectuar el producto de de dos factores.

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Consideremos dos números reales a y b; y para ser enfáticos, los denotaremos con +a y +b. En contraparte, consideremos sus opuestos aditivos denotados con -a y -b, entonces tenemos que:

(+a) \cdot (+b) = +(a \cdot b)

(-a) \cdot (+b) = -(a \cdot b)

(+a) \cdot (-b) = -(a \cdot b)

(-a) \cdot (-b) = +(a \cdot b)

De esta forma, podemos establecer una regla informal conocida como la Ley de Los Signos sobre el producto de números enteros de la siguiente forma:

Más por más, más.
Más por menos, menos.
Menos por más, menos.
Menos por menos, más.

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Ejemplo

Ejemplo 1

Para efectuar el producto 3 \cdot 3, el signo de ambos factores es positivo, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo positivo.

3 \cdot 3 = 9

Ejemplo 2

Para efectuar el producto 2 \cdot \sqrt(5), el signo de ambos factores es positivo, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo positivo.

2 \cdot \sqrt{5} = 2 \sqrt{5}

Ejemplo 3

Para efectuar el producto (-2) \cdot 5, el signo de ambos factores distinto, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo negativo.

(-2) \cdot 5 = - ( 2 \cdot 5 ) = -10

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Ejemplo 4

Para efectuar el producto (-3) \cdot \frac{1}{3}, el signo de ambos factores distinto, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo negativo.

(-3) \cdot  \frac{1}{3}  = - ( 3 \cdot  \frac{1}{3} ) = -1

Ejemplo 5

Para efectuar el producto 6 \cdot (-3), el signo de ambos factores distinto, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo negativo.

6 \cdot (-3) = - (6 \cdot 3) = -18

Ejemplo 6

Para efectuar el producto 10 \cdot (-\sqrt{7}), el signo de ambos factores distinto, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo negativo.

10 \cdot (- \sqrt{7}) = - (10 \cdot  \sqrt{7}) = -10 \sqrt{7}

Ejemplo 7

Para efectuar el producto (-4) \cdot (-8), el signo de ambos factores es negativo, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo positivo.

(-4) \cdot (-8) = (4 \cdot 8) = 32

Ejemplo 8

Para efectuar el producto (-x) \cdot (-x), donde x es una variable real. Notemos que si bien no sabemos si la variable es positiva o negativa, el signo de ambos factores es negativo, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo positivo.

(-x) \cdot (-x) = (x \cdot x) = x^2


Permutaciones

Suponga que usted está desarrollando un proyecto y debe designar una comisión de tres personas para llevar a cabo ciertas tareas. Esta comisión debe tener un coordinador, un secretario y un vocero. Entonces, considerando tres personas, ¿de cuántas formas se puede conformar la comisión? Para responder a esta pregunta, debemos tener clara una definición.

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Considerando una colección de objetos distintos, una permutación de estos es simplemente una forma de ordenarlos uno tras otro. Por ejemplo, si tenemos tres bolas, una azul, una roja y una amarilla, una permutación es la siguiente:

Permutaciones de bolas de colores | totumat.com

Y reordenándolas, consideremos todas las permutaciones, incluyendo la que ya vimos

Permutaciones de bolas de colores | totumat.com

En total podemos contar seis permutaciones, pero listar todas las permutaciones posibles para después contarlas puede resultar en un proceso engorroso cuando tenemos muchos más objetos distintos, es por esto que debemos entonces recurrir a los métodos de conteo que ya hemos visto. Entonces, si queremos ordenar estas tres bolas:

  • Para fijar la primera bola, podemos considerar tres opciones.
Permutaciones de bolas de colores | totumat.com
  • Para fijar la segunda bola, como ya hemos fijado una, podemos considerar sólo dos opciones.
Permutaciones de bolas de colores | totumat.com
  • Para fijar la tercera bola, como ya hemos fijado dos, podemos considerar sólo una opción.
Permutaciones de bolas de colores | totumat.com

El Método del Producto nos indica que la cantidad total de permutaciones será el producto de las opciones para cada posición, es decir, 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6.

Permutaciones de bolas de colores | totumat.com

De formar general, si consideramos n objetos distintos, el total de permutaciones distintas se calcula con el siguiente producto:

n \ \cdot \ (n-1) \ \cdot \ (n-2) \ \cdot \ \ldots \ \cdot \ 3 \ \cdot \ 2 \ \cdot \ 1

Este producto se puede resumir usando la notación de factorial, que se expresa con un signo de exclamación de la siguiente forma:

n!

Veamos con algunos ejemplos como contar todas las permutaciones en distintas situaciones.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Suponga que usted está desarrollando un proyecto y debe designar una comisión de tres personas para llevar a cabo ciertas tareas. Esta comisión debe tener un coordinador, un secretario y un vocero. Entonces, considerando tres personas, ¿de cuántas formas se puede conformar la comisión?

Este problema se puede abordar contando todas las formas en que se pueden ordenar tres personas, es decir, contando todas las permutaciones posibles de tres objetos y estas son:

3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6

Ejemplo 2

Considerando una bolsa con cinco bolas de distinto color, si se sacan todas una a una, ¿de cuántas formas distintas se pueden sacar?

Este problema se puede abordar contando todas las formas en que se pueden ordenar cinco bolas de distinto color, es decir, contando todas las permutaciones posibles de cinco objetos y estas son:

5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120

Ejemplo 3

En una carrera de 100 metros planos compiten ocho personas, ¿de cuántas formas posibles puede culminar esta carrera?

Este problema se puede abordar contando todas las formas en que se pueden ordenar ocho personas, es decir, contando todas las permutaciones posibles de ocho objetos y estas son:

8! = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 40320


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r-Permutaciones

Habiendo definido las permutaciones de una colección de objetos, pueden surgir otro tipo de situaciones. Suponga que usted está desarrollando un proyecto y debe designar una comisión de tres personas para llevar a cabo ciertas tareas. Esta comisión debe tener un coordinador, un secretario y un vocero. Entonces, considerando 5 personas, ¿de cuántas formas podemos conformar la comisión? Para responder a esta pregunta, debemos tener clara una definición.

Considerando una colección de objetos distintos, una r-permutación de estos es simplemente una forma de ordenar r de estos objetos uno tras otro. Por ejemplo, si tenemos cuatro bolas, una azul, una roja, una amarilla y una verde. Una 3-permutación es la siguiente:

r-Permutaciones de bolas de colores | totumat.com

Y reordenándolas, consideremos todas las 3-permutaciones, incluyendo la que ya vimos

r-Permutaciones de bolas de colores | totumat.com

En total podemos contar veinticuatro permutaciones, pero listar todas las permutaciones posibles para después contarlas puede resultar en un proceso engorroso cuando tenemos muchos más objetos distintos, es por esto que debemos entonces recurrir a los métodos de conteo que ya hemos visto. Entonces, si queremos ordenar tres bolas de las cuatro bolas:

  • Para fijar la primera bola, podemos considerar cuatro opciones.
r-Permutaciones de bolas de colores | totumat.com
  • Para fijar la segunda bola, como ya hemos fijado una, podemos considerar sólo tres opciones.
r-Permutaciones de bolas de colores | totumat.com
  • Para fijar la tercera bola, como ya hemos fijado dos, podemos considerar sólo dos opciones.
r-Permutaciones de bolas de colores | totumat.com

El Método del Producto nos indica que la cantidad total de 3-permutaciones será el producto de las opciones para cada posición, es decir, 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24.

r-Permutaciones de bolas de colores | totumat.com

De formar general, si consideramos n objetos distintos, el total de r-permutaciones distintas se calcula con el siguiente producto:

n \ \cdot \ (n-1) \ \cdot \ (n-2) \ \cdot \ \ldots \ \cdot \ (n - r + 1)

Las r-permutaciones de n objetos se denota de la forma P(n,r), y usando expresiones factoriales, también podemos reescribir el producto que las definen de la siguiente forma:

\dfrac{n!}{(n-r)!}

Tomando en cuenta que el factorial de cero es igual a uno, es decir, 0! = 1. Entonces, notamos que una n-permutación de una colección de n objetos, es justamente una permutación como la hemos definido originalmente. Veamos con algunos ejemplos como contar todas las r-permutaciones en distintas situaciones.

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Ejemplos

Ejemplo 4

Suponga que usted está desarrollando un proyecto y debe designar una comisión de tres personas para llevar a cabo ciertas tareas. Esta comisión debe tener un coordinador, un secretario y un vocero. Entonces, considerando cinco personas, ¿de cuántas formas se puede conformar la comisión?

Este problema se puede abordar contando todas las 3-permutaciones posibles de cinco objetos y estas son:

P(5,3) = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60

Ejemplo 5

Considerando una bolsa con siete bolas de distinto color, si se sacan cuatro bolas una a una, ¿de cuántas formas distintas se pueden sacar cuatro de ellas?

Este problema se puede abordar contando todas las 4-permutaciones posibles de siete objetos y estas son:

P(7,4) = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 = 840

Ejemplo 6

En una carrera de 100 metros planos compiten ocho personas, ¿de cuántas formas posibles pueden otorgarse las medallas de oro, plata y bronce al culminar esta carrera?

Este problema se puede abordar contando todas las 3-permutaciones posibles de ocho objetos y estas son:

P(8,3) = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336


Producto entre Matrices

Sean A una matriz de tamaño m \times n y B una matriz de tamaño n \times p, definimos el producto A \times B como una nueva matriz donde cada elemento ij de esta nueva matriz, está definido el “producto” de la fila i de la matriz A por la columna j de la matriz B. Formalmente,

[A \times B]_{ij} = \sum_k^n [A]_{ij} \cdot [B]_{ij}

Debemos notar que para poder efectuar esta operación, el número de columnas de la matriz A debe ser exactamente igual al número de filas de la matriz B y aunque esta operación pareciera complicada, en los siguientes ejemplos veremos el procedimiento para calcular el producto entre dos matrices.

Ejemplos

Ejemplo 13

Considerando la matriz A, de tamaño, 2 \times 2 y la matriz B, de tamaño, 2 \times 2. Calcule el producto $A \times B$. Veamos en este ejemplo paso a paso como calcular este producto.

El elemento [A \times B]_{11} de la nueva matriz A \times B es el resultado de multiplicar la fila 1 por la columna 1.

El elemento [A \times B]_{12} de la nueva matriz A \times B es el resultado de multiplicar la fila 1 por la columna 2.

El elemento [A \times B]_{21} de la nueva matriz A \times B es el resultado de multiplicar la fila 2 por la columna 1.

El elemento [A \times B]_{22} de la nueva matriz A \times B es el resultado de multiplicar la fila 2 por la columna 2.

De esta forma, tenemos que

Entonces, aplicamos las operaciones involucradas

Ejemplo 14

Considerando la matriz A, de tamaño, 4 \times 2 y la matriz B, de tamaño, 2 \times 1. Calcule el producto A \times B.

Ejemplo 15

Considerando la matriz A, de tamaño, 1 \times 3 y la matriz B, de tamaño, 3 \times 2. Calcule el producto A \times B.

Ejemplo 16

Considerando la matriz A, de tamaño, 4 \times 3 y la matriz B, de tamaño, 3 \times 4. Calcule el producto A \times B.

Nota: Si podemos multiplicar A \times B, no necesariamente podemos multiplicar B \times A, esto quiere decir que el producto entre matrices no es conmutativo.


Multiplicación de una matriz por un escalar

Diremos que un escalar es un número real que al multiplicarla por una matriz esta nos cambia la escala de cada uno de los elementos de ella. Definimos el producto de un escalar k por una matriz A, como una nueva matriz donde cada elemento ij de esta nueva matriz, está definido como el producto del escalar k por el elemento ij de la matriz A. Formalmente,

[k \cdot A]_{ij} = k \cdot [A]

O escrito de forma exhaustiva, tenemos que

Multiplicación de una matriz por un escalar | totumat.com

Veamos algunos ejemplos.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la matriz A, de tamaño, 2 \times 2 calcule el producto por el escalar 4.

Multiplicación de una matriz por un escalar | totumat.com

Ejemplo 2

Considerando la matriz A, de tamaño, 3 \times 1 calcule el producto por el escalar -4.

Multiplicación de una matriz por un escalar | totumat.com

Ejemplo 3

Considerando la matriz A, de tamaño, 4 \times 2 calcule el producto por el escalar 7.

Multiplicación de una matriz por un escalar | totumat.com

Ejemplo 4

Considerando la matriz A, de tamaño, 3 \times 3 calcule el producto por el escalar 9.

Multiplicación de una matriz por un escalar | totumat.com

Ejemplo 5

Considerando la matriz A, de tamaño, 3 \times 3 calcule el producto por el escalar \frac{3}{4} .

Multiplicación de una matriz por un escalar | totumat.com

Pero notamos que varias de las fracciones involucradas en la matriz se pueden reducir, de esta forma, obtenemos

Multiplicación de una matriz por un escalar | totumat.com

Potencias y Exponentes

Al estudiar el producto entre números nos podemos encontrar con el producto de un número multiplicado por él mismo dos o más veces. Este tipo de productos tiene propiedades muy particulares. Formalmente, si a es un número real, definimos su n-ésima potencia como el producto de a multiplicado por él mismo n veces, donde n es un número natural, y lo denotamos la siguiente forma:

Potenciación, potencias base y exponente | totumat.com

Esta expresión se puede leer como a elevado a la n o formalmente, a elevada a la n-ésima potencia. También diremos que a es la base y n es el exponente.

Potenciación, potencias base y exponente | totumat.com

Veamos algunos ejemplos.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Efectúe el producto que se está definiendo en la expresión 5^{2}.

En este caso la base es igual a 5 y el exponente es igual a 2, entonces estamos multiplicando el número cinco por sí mismo dos veces de la siguiente forma:

5^{2} = 5 \cdot 5 = 25

Nota: La potencia 2 también se llama cuadrado, entonces 5^{2} se puede leer como cinco al cuadrado.

Ejemplo 2

Efectúe el producto que se está definiendo en la expresión (-6)^{2}.

En este caso la base es igual a -6 y el exponente es igual a 2, entonces estamos multiplicando el número menos seis por sí mismo dos veces de la siguiente forma:

(-6)^{2} = (-6) \cdot (-6) = 36

Nota: Todo número elevado al cuadrado es positivo, esto se debe a la ley de los signos, pues el producto de dos números negativos es positivo.

Ejemplo 3

Efectúe el producto que se está definiendo en la expresión 2^{3}.

En este caso la base es igual a 2 y el exponente es igual a 3, entonces estamos multiplicando el número dos por sí mismo tres veces de la siguiente forma:

2^{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8

Nota: La potencia 3 también se llama cubo, entonces 2^{3} se puede leer como dos al cubo.

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Ejemplo 4

Efectúe el producto que se está definiendo en la expresión 7^{10}.

En este caso la base es igual a 7 y el exponente es igual a 10, entonces estamos multiplicando el número siete por sí mismo diez veces de la siguiente forma:

7^{10} = 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 = 282475249

Ejemplo 5

Efectúe el producto que se está definiendo en la expresión \left( \frac{1}{2} \right)^{6}.

En este caso la base es igual a \left( \frac{1}{2} \right) y el exponente es igual a 6, entonces estamos multiplicando el número un medio por sí mismo seis veces de la siguiente forma:

\left( \frac{1}{2} \right)^{6} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{64}

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Ejemplo 6

Efectúe la operación \left( -\frac{5}{2} \right)^2 usando la definición de potencia y las operaciones entre números racionales.

Debemos tomar en cuenta que si elevamos un número al cuadrado, esto es multiplicar un número por él mismo, dos veces. Entonces,

\left( -\frac{5}{2} \right)^2 = \left( -\frac{5}{2} \right) \cdot \left( -\frac{5}{2} \right)

Por otra parte, la fracción -\frac{5}{2} se puede reescribir como \frac{-5}{2}, entonces podemos reescribir este producto de la siguiente forma:

\left( -\frac{5}{2} \right) \cdot \left( -\frac{5}{2} \right) = \frac{-5}{2} \cdot \frac{-5}{2}

Finalmente, podemos efectuar el producto de las fracciones y recurriendo a la ley de los signos en el numerador, obtenemos lo siguiente:

\frac{(-5) \cdot (-5)}{2 \cdot 2} = \frac{25}{4}

Ejemplo 7

Efectúe la operación \left( -\frac{2}{3} \right)^3 usando la definición de potencia y las operaciones entre números racionales.

Debemos tomar en cuenta que si elevamos un número al cubo, esto es multiplicar un número por él mismo, tres veces. Entonces,

\left( -\frac{2}{3} \right)^3 = \left( -\frac{2}{3} \right) \cdot \left( -\frac{2}{3} \right) \cdot \left( -\frac{2}{3} \right)

Por otra parte, la fracción -\frac{2}{3} se puede reescribir como \frac{-2}{3}, , entonces podemos reescribir este producto de la siguiente forma:

\left( -\frac{2}{3} \right) \cdot \left( -\frac{2}{3} \right) \cdot \left( -\frac{2}{3} \right) = \frac{-2}{3} \cdot \frac{-2}{3} \cdot \frac{-2}{3}

Finalmente, podemos efectuar el producto de las fracciones y recurriendo a la ley de los signos en el numerador, obtenemos lo siguiente:

\frac{(-2) \cdot (-2) \cdot (-2)}{3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{-8}{27} = - \frac{8}{27}