Operaciones entre Números Enteros

Al efectuar operaciones entre números naturales tales como la suma o el producto, es poco el cuidado que tenemos sobre el signo pues el resultado siempre es positivo. Sin embargo, la resta de números naturales puede presentar algunos problemas, es por esto que hemos definido los números enteros, así que veamos como se efectúan.

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Suma y Resta de Números Enteros

Si consideramos los números enteros 2 y 3, entonces 3+2=5. Sin bien esta operación la podemos hacer en nuestra mente de forma inmediata, para entender de forma general la suma de dos números enteros consideremos la siguiente representación gráfica:

suma de números enteros tres más dos es igual a cinco | totumat.com
tres más dos es igual a cinco

Si sumamos 3+2, lo que en realidad estamos haciendo es trasladándonos dos espacios a la derecha del número 3 para caer en el número 5. Entonces, si así es la suma la pregunta natural que surge es: ¿cómo calculamos la resta?

Si sumamos 2+(-3)=2-3, estamos trasladándonos tres espacios a la izquierda del número 2 para caer en el -1. Consideremos la siguiente representación gráfica:

resta de números enteros dos menos tres es igual a menos uno | totumat.com
dos menos tres es igual a menos uno

De esta forma, podemos establecer una regla informal sobre la suma de números enteros de la siguiente forma:

Signos iguales se suman y se mantiene el signo.
Signos diferentes se restan y dejamos el signo del mayor.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Para efectuar la suma 7 +10, ambos números tienen signo positivo, así que los sumamos y mantenemos el signo positivo.

7 +10 = 17

Ejemplo 2

Para efectuar la suma 9 + (-3), estos números tienen signos diferentes, así que los restamos y dejamos del signo del mayor, en este caso, 9 es el mayor, así que dejamos el signo positivo.

9 + (-3) = 9 - 3 = 6

Ejemplo 3

Para efectuar la suma (-20) + 11, estos números tienen signos diferentes, así que los restamos y dejamos del signo del mayor, en este caso, 20 es el mayor, así que dejamos el signo negativo.

(-20) + 11 = 11 - 20 = -9

Ejemplo 4

Para efectuar la suma (-37) + (-23), ambos números tienen signo negativo, así que los sumamos y mantenemos el signo negativo.

(-37) + (-23) = - 37 - 23 = - 60


El producto de Enteros y la Ley de los Signos

El producto entre dos números enteros lo definiremos igual que el producto entre números naturales, pero debemos tener ciertas consideraciones sobre los signos. Sean a y b dos números naturales, entonces:

(+a) \cdot (+b) = +(a \cdot b)

(-a) \cdot (+b) = -(a \cdot b)

(+a) \cdot (-b) = -(a \cdot b)

(-a) \cdot (-b) = +(a \cdot b)

De esta forma, podemos establecer una regla informal conocida como la Ley de Los Signos sobre el producto de números enteros de la siguiente forma:

Más por más, más.
Más por menos, menos.
Menos por más, menos.
Menos por menos, más.

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Ejemplo

Ejemplo 5

Para efectuar el producto 3 \cdot 3, el signo de ambos factores es positivo, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo positivo.

3 \cdot 3 = 9

Ejemplo 6

Para efectuar el producto (-2) \cdot 5, el signo de ambos factores distinto, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo negativo.

(-2) \cdot 5 = - ( 2 \cdot 5 ) = -10

Ejemplo 7

Para efectuar el producto 6 \cdot (-3), el signo de ambos factores distinto, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo negativo.

6 \cdot (-3) = - (6 \cdot 3) = -18

Ejemplo 8

Para efectuar el producto (-4) \cdot (-8), el signo de ambos factores es negativo, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo positivo.

(-4) \cdot (-8) = (4 \cdot 8) = 32


Definiendo los números enteros podemos encontrar una respuesta al problema que no se nos presentó cuando restábamos números naturales, pero aún nos queda una pregunta por responder sobre los números naturales y que se aplica también a los números enteros: ¿Qué sucede si dividimos dos números enteros? Debemos entonces definir los Números Racionales.


Números Naturales

¿Cuál es la naturaleza de los números naturales?

Los números naturales son aquellos que aprendemos de forma natural contando los dedos de nuestras manos, caramelos, platos en una mesa, pelotas en una caja, billetes, etc; es decir, todos los números que podamos usar para representar una cantidad de objetos.

Empezando por el 1, definimos cada término como el anterior y sumándole 1. Los denotaremos con el símbolo \mathbb{N} y lo definiremos de la siguiente manera:

Número Naturales | totumat.com
Conjunto de los números naturales

Este conjunto continúa de manera indefinida continuando la secuencia que se estableció, es por eso que usamos tres puntos suspensivos al definirlo de forma extensiva. También será posible representar este conjunto gráficamente, disponiendo cada elemento de forma ordenada en una recta así

Representación gráfica de los números naturales

Operaciones entre números naturales

Es posible definir operaciones entre números naturales de forma intuitiva, un número natural representa una cantidad de objetos, entonces usaremos la suma para representar la cantidad de total de objetos que tendríamos al juntar dos grupos distintos de objetos. Por ejemplo, si se tiene una bolsa con tres objetos y otra bolsa con nueve objetos; y se guarda el contenido de ambas en una caja, se tendrá un total de doce objetos en la caja.

En general si se tienen dos números naturales, se pueden sumar y obtener otro número natural. La suma se denotará con el signo “+” y se lee más. Además, podemos establecer una relación entre la suma de dos números naturales y otro número natural a través de una igualdad usando el signo “=”. Retomando el último ejemplo, podemos decir que

tres más nueve es igual a doce
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Por otra parte si se tiene una cantidad de objetos y esta cantidad se repite un número de veces, entonces el producto (o multiplicación) nos representará la cantidad total de objetos que se obtendrá al agruparlos todos. Por ejemplo, si se tienen tres paquetes de caramelos y cada paquete tiene diez caramelos, en total se tendrán treinta caramelos.

En general si se tienen dos números naturales, se pueden multiplicar y obtener otro número natural. El producto se denotará con el signo ” \cdot ” (en algunos casos se usa “\times“) y se lee por. A cada uno de los términos involucrados en un producto los llamaremos factores. Retomando el último ejemplo, podemos decir que

tres por diez es igual a 30

Es posible definir otras operaciones entre números naturales, sin embargo, el resultado no siempre será un número real. Así que será necesario definir una nueva gama de números que nos permita definir nuevas operaciones entre números naturales.