Ecuaciones Exactas y No Exactas

Diferencial Exacto

Consideremos una función definida en varias variables expresada de la forma $z=f(x,y)$ y supongamos que sus derivadas parciales son continuas en una región $R$ del plano $XY$ . Definimos su diferencial como

$dz = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy$

Particularmente, si la variable $z$ permanece constante, su diferencial será igual a cero, entonces estará expresado de la siguiente forma:

$0 = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy$

Tomando en cuenta el diferencial de $z$ y su particularidad cuando $z=c$ , decimos que una expresión de la forma $M(x,y) dx + N(x,y)dy$ es un diferencial exacto en una región $R$ del plano $XY$ si corresponde con el diferencial de una función $f(x,y)$ , es decir, tal que

$M(x,y) = \frac{\partial f}{\partial x} \ \text{ y } \ N(x,y) = \frac{\partial f}{\partial y}$

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Ecuaciones Exactas

Los diferenciales exactos sientan una base para definir una nueva clasificación para las ecuaciones diferenciales. Formalmente, si consideramos una ecuación diferencial ordinaria expresada de la forma

$M(x,y) dx + N(x,y)dy = 0$

Diremos que esta es una Ecuación Exacta si $M(x,y) dx + N(x,y)dy$ es un diferencial exacto.

A continuación veremos entonces un criterio que nos determinará las condiciones que deben cumplir las funciones $M$ y $N$ para que estás definan un diferencial exacto.

Teorema (Criterio para un Diferencial Exacto)

Sean $M(x,y)$ y $N(x,y)$ dos funciones continuas con derivadas parciales continuas en un una región $R$ una región rectangular en el plano $XY$ en su interior, entonces una condición necesaria y suficiente para que $M(x,y) dx + N(x,y)dy$ sea un diferencial exacto es

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$

Estableciendo este criterio, veamos ahora que si consideramos una ecuación diferencial expresada de la forma $M(x,y) dx + N(x,y)dy = 0$ entonces podemos seguir un procedimiento que nos permitirá calcular la solución de ésta.

En los siguientes ejemplos ilustraremos como calcular la solución de este tipo de ecuaciones diferenciales, usando indistintamente la notación $M_y$ para $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $N_x$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ pues así facilitamos la escritura.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la solución de la siguiente ecuación diferencial ordinaria

$(2x + 3)dx + (13y - 4)dy = 0$

Antes de empezar a calcular la solución de esta ecuación, debemos verificar si ésta es una ecuación exacta pues de otra forma no podemos aplicar el procedimiento. Para esto identificamos las funciones $M$ y $N$ ; y posteriormente calculamos sus derivadas parciales $M_y$ y $N_x$ .

$M(x,y) = 2x+3 \; \Rightarrow \; M_y(x,y) = 0$
$N(x,y) = 13y-4 \; \Rightarrow \; N_x(x,y) = 0$

Ambas derivadas parciales son iguales a cero, es decir, $M_y = N_x$ . Esta conclusión desata una serie de implicaciones como sigue: $(2x + 3)dx + (13y - 4)dy$ es un diferencial exacto, entonces, la ecuación diferencial planteada es exacta, entonces, las funciones $M$ y $N$ corresponden a los elementos del diferencial de una función, entonces,

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x + 3 \ \text{ y } \ \frac{\partial f}{\partial y} = 13y - 4$

Nuestro propósito será el de determinar cual es la función $f(x,y)$ que define este diferencial, y ya que contamos con sus derivas parciales procedemos a integrar una de ellas.

Si consideramos $\frac{\partial f}{\partial x} = 2x + 3$ e integramos esta función respecto a la variable $x$ , obtenemos la función $f(x,y)$ de la siguiente manera:

$\int \frac{\partial f}{\partial x} dx = \int (2x + 3) dx \Rightarrow f(x,y) = x^2 + 3x + g(y)$

Notemos que al ser $f(x,y)$ una función que depende de $x$ y de $y$ , al calcular la integral de esta respecto a $x$ , la variable $y$ se comporta como una constante, entonces $g(y)$ será nuestra constante de integración.

Para determinar la función $g(y)$ , calculamos la derivada de $f(x,y) = x^2 + 3x + g(y)$ respecto a la variable $y$ para obtener que

$\frac{\partial f}{\partial y} = g'(y)$

Pero si tomamos en cuenta que la ecuación diferencial es exacta, entonces $N(x,y)$ corresponde con el elemento $\frac{\partial f}{\partial y}$ del diferencial de $f(x,y)$ , es decir, $\frac{\partial f}{\partial y} = 13y - 4$ . Entonces a partir de este hecho y la última igualdad, tenemos

$g'(y) = 13y - 4$

Entonces integramos $g'(y)$ respecto a la variable $y$ para obtener

$g(y) = \frac{13}{2}y^2 - 4y$

Sustituimos $g(y)$ y concluimos que la función $f$ está definida como

$f(x,y) = x^2 + 3x + \frac{13}{2}y^2 - 4y$

Y recordando que la ecuación diferencial está definida a partir del diferencial de $f(x,y)$ cuando esta función permanece constante, entonces la solución general de nuestra ecuación diferencial viene dada por

$x^2 + 3x + \frac{13}{2}y^2 - 4y = c$

Ejemplo 2

Calcule la solución de la siguiente ecuación diferencial ordinaria

$(1 + x^2y^3)dx + (x^3y^2)dy = 0$

$M(x,y) = 1 + x^2y^3 \; \Rightarrow \; M_y(x,y) = 3x^2y^2$
$N(x,y) = x^3y^2 \; \Rightarrow \; N_x(x,y) = 3x^2y^2$

Ambas derivadas parciales son iguales a $3x^2y^2$ , es decir, $M_y = N_x$ . Esta conclusión desata una serie de implicaciones como sigue: $(1 + x^2y^3)dx + (x^3y^2)dy$ es un diferencial exacto, entonces, la ecuación diferencial planteada es exacta, entonces, las funciones $M$ y $N$ corresponden a los elementos del diferencial de una función, entonces,

$\frac{\partial f}{\partial x} = 1 + x^2y^3 \ \text{ y } \ \frac{\partial f}{\partial y} = x^3y^2$

Nuestro propósito será el de determinar cual es la función $f(x,y)$ que define este diferencial, y ya que contamos con sus derivas parciales procedemos a integrar una de ellas.

Si consideramos $\frac{\partial f}{\partial y} = x^3y^2$ e integramos esta función respecto a la variable $y$ , obtenemos la función $f(x,y)$ de la siguiente manera:

$\int \frac{\partial f}{\partial y} dy = \int x^3y^2 dy \Rightarrow f(x,y) = \frac{x^3y^3}{3} + h(x)$

Notemos que al ser $f(x,y)$ una función que depende de $x$ y de $y$ , al calcular la integral de esta respecto a $y$ , la variable $x$ se comporta como una constante, entonces $h(x)$ será nuestra constante de integración.

Para determinar la función $h(x)$ , calculamos la derivada de $f(x,y) = \frac{x^3y^3}{3} + h(x)$ respecto a la variable $x$ para obtener que

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^2y^3 + h'(x)$

Pero si tomamos en cuenta que la ecuación diferencial es exacta, entonces $M(x,y)$ corresponde con el elemento $\frac{\partial f}{\partial x}$ del diferencial de $f(x,y)$ , es decir, $\frac{\partial f}{\partial x} = 1 + x^2y^3$ . Entonces a partir de este hecho y la última igualdad, tenemos

$1 + x^2y^3 = x^2y^3 + h'(x) \Rightarrow h'(x) = 1$

Entonces integramos $h'(x)$ respecto a la variable $x$ para obtener

$h(x) = x$

Sustituimos $h(x)$ y concluimos que la función $f$ está definida como

$f(x,y) = \frac{x^3y^3}{3} + x$

$\frac{x^3y^3}{3} + x = c$

Ecuaciones No Exactas

Si bien el criterio para un diferencial exacto determina condiciones, no garantiza que todas las ecuaciones sean exactas pues, es posible toparse con ecuaciones diferenciales de la forma

$M(x,y) dx + N(x,y)dy = 0 \text{ tal que } M_y \neq N_x$

En este caso decimos que es una ecuación no exacta pues no se cumple la condición del criterio para un diferencial exacto. Sin embargo, es posible definir un factor $\mu(x,y)$ análogo al factor integrante que definimos para las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de primer orden, la idea ahora es que al multiplicar este factor por cada uno de los sumandos de nuestra ecuación, obtenemos una ecuación exacta

$\mu(x,y)M(x,y) dx + \mu(x,y)N(x,y)dy = 0$

Definimos este nuevo factor integrante de la siguiente manera:

Si $\frac{M_y - N_x}{N}$ es una función que depende únicamente de la variable $x$ , entonces el factor integrante está definido como $\mu(x) = \textit{\huge e}^{\int \frac{M_y - N_x}{N}dx}$
Si $\frac{N_x - M_y}{M}$ es una función que depende únicamente de la variable $y$ , entonces el factor integrante está definido como $\mu(y) = \textit{\huge e}^{\int \frac{N_x - M_y}{M} dy}$

Veamos con algunos ejemplos como calcular la solución de este tipo de ecuaciones diferenciales.

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Ejemplos

Ejemplo 3

Calcule la solución de la siguiente ecuación diferencial ordinaria

$(y+1)dx + (6x-1)dy=0$

$M(x,y) = y+1 \; \Rightarrow \; M_y(x,y) = 1$
$N(x,y) = 6x-1 \; \Rightarrow \; N_x(x,y) = 6$

Ambas derivadas parciales son distintas, concluimos que esta ecuación diferencial es no exacta, por lo tanto debemos definir el factor integrante que nos permita reducir la ecuación diferencial a una ecuación no exacta. Si consideramos la siguiente expresión

$\frac{M_y - N_x}{N} = \frac{1 - 6}{6x-1}$

Esta es una expresión que depende únicamente de la variable $x$ , entonces definimos el factor integrante a partir de ella, de la siguiente forma

$\mu(y)$

$\; = \; \textit{\huge e}^{\int \frac{-5}{6x-1} dy}$
$\; = \; \textit{\huge e}^{-\frac{5}{6}\ln(6x-1)}$
$\; = \; (6x-1)^{\frac{-5}{6}}$

Ahora multiplicamos cada uno de los sumandos de la ecuación diferencial no exacta por el factor integrante

$(6x-1)^{-\frac{5}{6}}(y+1)dx + (6x-1)^{\frac{1}{6}}dy = 0$

Así, esta ecuación es exacta y podemos garantizar que $M_y = N_x$ . Esta conclusión desata una serie de implicaciones como sigue: $((6x-1)^{-\frac{5}{6}}(y+1)dx + (6x-1)^{\frac{1}{6}}dy$ es un diferencial exacto, entonces, la ecuación diferencial planteada es exacta, entonces, las funciones $M$ y $N$ corresponden a los elementos del diferencial de una función, entonces,

$\frac{\partial f}{\partial x} = (6x-1)^{-\frac{5}{6}}(y+1) \ \text{ y } \ \frac{\partial f}{\partial y} = (6x-1)^{\frac{1}{6}}$

Nuestro propósito será el de determinar cual es la función $f(x,y)$ que define este diferencial, y ya que contamos con sus derivas parciales procedemos a integrar una de ellas.

Si consideramos $\frac{\partial f}{\partial y} = (6x-1)^{\frac{1}{6}}$ e integramos esta función respecto a la variable $y$ , obtenemos la función $f(x,y)$ de la siguiente manera:

$\int \frac{\partial f}{\partial y} dy = \int (6x-1)^{\frac{1}{6}} dy \Rightarrow f(x,y) = (6x-1)^{\frac{1}{6}} y + h(x)$

Para determinar la función $h(x)$ , calculamos la derivada de $f(x,y) = (6x-1)^{\frac{1}{6}} y + h(x)$ respecto a la variable $x$ para obtener que

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{6}(6x-1)^{-\frac{5}{6}} + h'(x)$

Pero si tomamos en cuenta que la ecuación diferencial es exacta, entonces $M(x,y)$ corresponde con el elemento $\frac{\partial f}{\partial x}$ del diferencial de $f(x,y)$ , es decir, $\frac{\partial f}{\partial x} = (6x-1)^{-\frac{5}{6}}(y+1)$ . Entonces a partir de este hecho y la última igualdad, tenemos