Ejercicios Propuestos – Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Exactas y No-Exactas

Una ecuación de la forma

$M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$ es exacta si cumple que $M_y = N_x$

En caso de ser una ecuación no-exacta, entonces el factor integrante correspondiente $\mu$ estará definido de la siguiente manera:

Si $\frac{M_y-N_x}{N}$ es una función que depende únicamente de x, entonces

$\mu(x) = \textit{\huge e}^{\int \frac{M_y-N_x}{N} dx}$

Si $\frac{N_x-M_y}{M}$ es una función que depende únicamente de y, entonces

$\mu(y) = \textit{\huge e}^{\int \frac{N_x-M_y}{M} dy}$

Halle la función $y$ que satisface las siguientes ecuaciones diferenciales. Halle además, la función que satisface el valor inicial donde corresponda.

$(x+1)dx + (y+1)dy=0$
$(4x-1)dx + (3y+7)dy=0$
$(-2x-5)dx + (6y+7)dy=0$
$(2x+3)dx + (13y-4)dy=0$

$(y+1)dx + (6x+1)dy=0$
$(3y+3)dx - (4x-1)dy=0$
$(6y+7)dx + (-2x-5)dy=0$
$(3y-4)dx - (x+3)dy=0$

$(y-x)dx + (x-y)dy=0$
$(2x+y)dx + (x+6y)dy=0$
$(-3x+5y)dx + (5x-2y)dy=0$
$(4x-8y)dx - 2(4x+y)dy=0$

$(y-x)dx - (x-1)dy=0$
$(2x-2)dx + (x+8y)dy=0$
$(-3+9y)dx - (5x-2y)dy=0$
$(x+3y)dx + 3(2x+1)dy=0$

$xy^2dx + x^2ydy=0$
$(1 + x^2y^3)dx + (x^3y^2)dy=0$
$(3 + 6x^2y^2)dx - (7 - 4x^3y^2)dy=0$
$(-7x + 10x^3y^6)dx + (9y + 15x^4y^5)dy=0$

$xydx + x^2ydy=0$
$(5 + x^2y^3)dx - (x^3y^2)dy=0$
$(6x^2y^7)dx - (7y^3 - 4x^3y^8)dy=0$
$(-7x + 10x^3y^4)dx - (8x^4y^3)dy=0$

$\ln(y)dx + \frac{x}{y}dy=0$
$\big( x\ln(y) \big)dx + \left( 1+\frac{x^2}{2y} \right)dy=0$
$\left( 3x + 3\frac{y}{x} \right)dx + \big( -2y + \ln(x^3) \big)dy=0$
$\left( -5x + 7\frac{y}{x} \right)dx + \big( 4y + 7\ln(x) \big)dy=0$
$\big( \ln(xy) + 5x + \frac{y}{x} \big)dx + \left( \ln(y) + \ln(x) + \frac{x}{y} \right)dy=0$

$(\textit{\Large e}^x + 1)dx + (\textit{\Large e}^y + 1)dy=0$
$(\textit{\Large e}^y + \textit{\Large e}^x)dx + (x\textit{\Large e}^y + 2)dy=0$
$(-\textit{\Large e}^{7y} - 4x)dx - (7x\textit{\Large e}^{7y} + 2y)dy=0$
$(9x-5y\textit{\large e}^{-5x})dx + (\textit{\Large e}^{-5x} + 2y)dy=0$