Ejercicios Propuestos - Ecuaciones Diferenciales

Ejercicios Propuestos – Ecuaciones Diferenciales Ordinarias lineales no-homogéneas con coeficientes constantes

Calcule la solución de las siguientes Ecuaciones Diferenciales Ordinarias lineales homogéneas de segundo orden usando el método de los coeficientes indeterminados.

  1. 4 y'' + 4 y = 8 x + 32
  2. 9 y'' - 45 y = - 7 x + 35
  3. - 6 y'' - 30 y = 10 x
  4. - 2 y'' + 2 y = - 3 x - 15
  1. - 7 y'' + 21 y = 8 x^{2} + 16 x
  2. 4 y'' - 8 y = 6 x^{2} + 6 x
  3. - y'' + 5 y = - x^{2} - 3 x
  4. - 5 y'' - 5 y = - 7 x^{2} - 21 x
  1. - y''' - 5 y'' = - 4 x^{3} + 8 x^{2} + 32 x
  2. - 3 y''' + 6 y'' = - 6 x^{3} - 24 x^{2} + 30 x
  3. 3 y''' - 6 y'' = 9 x^{3} - 9 x^{2} - 180 x
  4. - 6 y''' - 12 y'' - 6 y' = 4 x^{3} - 4 x^{2}
  1. 2 y''' - 18 y'' + 40 y' = 4 x^{4} + 12 x^{3} + 8 x^{2}
  2. 7 y''' - 7 y'' - 14 y' = 3 x^{4} + 3 x^{3} - 36 x^{2}
  3. - 4 y''' - 8 y'' + 60 y' = - 9 x^{4} + 9 x^{3} + 54 x^{2}
  4. - 4 y''' + 16 y'' - 12 y' = 7 x^{4} - 7 x^{3} - 84 x^{2}
  1. 9 y'' + 18 y = - 24 \textit{\Large e}^{- 6 x}
  2. 8 y'' - 24 y = - 50 \textit{\Large e}^{- 6 x}
  3. 6 y'' + 18 y = 16 \textit{\Large e}^{5 x}
  4. 6 y'' + 30 y = 7 \textit{\Large e}^{- 10 x}
  1. 5 y'' + 20 y = - 6 \textit{\Large e}^{- 2 x} x + 18 \textit{\Large e}^{- 2 x}
  2. - 5 y'' - 10 y = 8 \textit{\Large e}^{- 6 x} x - 24 \textit{\Large e}^{- 6 x}
  3. 3 y'' + 3 y = - 7 \textit{\Large e}^{- 8 x} x + 35 \textit{\Large e}^{- 8 x}
  4. 6 y'' + 30 y = 2 \textit{\Large e}^{5 x} x + 4 \textit{\Large e}^{5 x}
  1. - 3 y''' + 24 y'' - 45 y' = 7 \textit{\Large e}^{- 8 x} x^{2} - 35 \textit{\Large e}^{- 8 x} x + 28 \textit{\Large e}^{- 8 x}
  2. 10 y''' - 80 y'' + 150 y' = 4 \textit{\Large e}^{- 7 x} x^{2} + 8 \textit{\Large e}^{- 7 x} x - 60 \textit{\Large e}^{- 7 x}
  3. 7 y''' - 28 y'' + 28 y' = 10 \textit{\Large e}^{2 x} x^{2} + 100 \textit{\Large e}^{2 x} x + 250 \textit{\Large e}^{2 x}
  4. - 2 y''' - 6 y'' + 8 y' = - 9 \textit{\Large e}^{- 9 x} x^{2} + 36 \textit{\Large e}^{- 9 x} x + 45 \textit{\Large e}^{- 9 x}
  1. 2 y'' + 6 y = 6 + 10 \textit{\Large e}^{- 7 x}
  2. 10 y'' - 50 y = 6 - 5 \textit{\Large e}^{- 3 x}
  3. - 8 y'' - 32 y = - 10 \textit{\Large e}^{8 x} + 4
  4. 7 y'' + 35 y = - 6 \textit{\Large e}^{2 x} - 3
  1. - 8 y'' - 24 y = 10 x - 30 + 7 \textit{\Large e}^{- x}
  2. 8 y'' - 8 y = - 10 \textit{\Large e}^{6 x} + 9 x + 27
  3. - 9 y'' + 9 y = - 10 \textit{\Large e}^{3 x} + 7 x - 21
  4. - 9 y'' + 18 y = - 9 x + 9 - 2 \textit{\Large e}^{- 8 x}
  1. y''' + 2 y'' - 15 y' = - 2 x^{2} + 4 x + 16 - 3 \textit{\Large e}^{- 8 x} x - 9 \textit{\Large e}^{- 8 x}
  2. - y''' + 4 y'' - 4 y' = 10 \textit{\Large e}^{x} x + 10 \textit{\Large e}^{x} + 10 x^{2} - 10 x - 120
  3. - 7 y''' + 7 y'' + 14 y' = 8 \textit{\Large e}^{3 x} x + 24 \textit{\Large e}^{3 x} - 9 x^{2} + 45 x - 54
  4. y''' + y'' = - 10 x^{2} + 30 x + 100 + 4 \textit{\Large e}^{- 4 x} x - 20 \textit{\Large e}^{- 4 x}
  1. 5 y''' - 5 y = - 2 x^{3} - 16 x^{2} - 30 x - 7 \textit{\Large e}^{- 2 x} x + 7 \textit{\Large e}^{- 2 x}
  2. - 3 y''' + 18 y'' - 24 y' = - 4 \textit{\Large e}^{3 x} x - 4 \textit{\Large e}^{3 x} + x^{3} - 2 x^{2} + x
  3. - 9 y''' - 18 y'' + 72 y' = 10 x^{3} - 10 x^{2} - 20 x - 6 \textit{\Large e}^{- 4 x} x
  4. 2 y''' - 12 y'' + 16 y' = 3 x^{3} - 18 x^{2} + 15 x - \textit{\Large e}^{- 3 x} x - \textit{\Large e}^{- 3 x}

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Ejercicios Propuestos – Ecuaciones Diferenciales Ordinarias lineales homogéneas con coeficientes constantes

Calcule la solución de las siguientes Ecuaciones Diferenciales Ordinarias lineales homogéneas de segundo orden determinando la ecuación auxiliar.

  1. 10 y'' + 50 y'+ 60y = 0
  2. y'' + 5 y'+ 6y = 0
  3. 2 y'' - 12 y'+ 10y = 0
  4. - 5 y'' - 45 y'- 100y = 0
  1. 4 y''' - 12 y'' + 12 y'- 4y = 0
  2. 3 y''' + 12 y'' = 0
  3. 9 y''' + 108 y'' + 405 y'+ 450y = 0
  4. 5 y''' + 15 y'' - 5 y'- 15y = 0
  1. - 6 y^{(4)} + 6 y''' + 84 y'' - 144 y' = 0
  2. 3 y^{(4)} + 21 y''' + 18 y'' - 96 y'- 96y = 0
  3. - 3 y^{(4)} - 6 y''' + 9 y'' + 24 y'+ 12y = 0
  4. 5 y^{(4)} - 10 y''' - 15 y'' + 40 y'- 20y = 0
  1. 2 y^{(5)} + 8 y^{(4)} - 44 y''' - 200 y'' - 150 y' = 0
  2. 5 y^{(5)} - 145 y''' + 500 y' = 0
  3. 2 y^{(5)} - 6 y^{(4)} - 50 y''' + 166 y'' + 48 y'- 160y = 0
  4. - 10 y^{(5)} - 40 y^{(4)} + 130 y''' + 520 y'' - 360 y'- 1440y = 0

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Ejercicios Propuestos – Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales Homogéneas con una solución conocida

Calcule la solución de las siguientes Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de segundo orden tomando en cuenta la solución particular y_1 indicada.

  1. 8 x^{2} y'' + 4 x y' - 24 y = 0 con solución particular y_1 = - 9 x^{2}
  2. 10 x^{2} y'' - 20 y = 0 con solución particular y_1 = - 5 x^{2}
  3. - 9 x^{2} y'' + 6 x y' + 6 y = 0 con solución particular y_1 = - 7 x^{2}
  4. - 2 x^{2} y'' + 7 x y' - 10 y = 0 con solución particular y_1 = 2 x^{2}
  1. 5 x^{2} y'' + 3 x y' - 16 y = 0 con solución particular y_1 = 5 x^{2}
  2. - 3 x^{2} y'' + 3 x y' = 0 con solución particular y_1 = 6 x^{2}
  3. 4 x^{2} y'' - 4 x y' = 0 con solución particular y_1 = - 5 x^{2}
  4. 2 x^{2} y'' - 2 x y' = 0 con solución particular y_1 = - 6 x^{2}
  1. - 126 y - 2 y' + y'' = 0 con solución particular y_1 = - \textit{\Large e}^{9 x}
  2. - 280 y + y' + 9 y'' = 0 con solución particular y_1 = 4 \textit{\Large e}^{- 4 x}
  3. - 800 y - 2 y' + 6 y'' = 0 con solución particular y_1 = 7 \textit{\Large e}^{- 8 x}
  4. 20 y - 9 y' - 7 y'' = 0 con solución particular y_1 = 5 \textit{\Large e}^{- 2 x}
  1. - 8 y' + 4 y'' = 0 con solución particular y_1 = 6 \textit{\Large e}^{2 x}
  2. - 36 y + 9 y' + 9 y'' = 0 con solución particular y_1 = 7 \textit{\Large e}^{- 2 x}
  3. - 2 y - 9 y' - 8 y'' = 0 con solución particular y_1 = 5 \textit{\Large e}^{- x}
  4. 72 y - 6 y' - 6 y'' = 0 con solución particular y_1 = - 4 \textit{\Large e}^{- 3 x}

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Ejercicios Propuestos – Ecuaciones Homogéneas de grado alpha ⍺

Una ecuación de la forma

M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0

es homogénea si M(x,y) y N(x,y) son funciones homogéneas del mismo grado, es decir,

M(tx,ty) = t^\alpha M(x,y) \text{ y } N(tx,ty) = t^\alpha N(x,y), \, \alpha \in \mathbb{R}

En este caso, las sustituciones y=ux o x=vy reducen la ecuación diferencial homogénea de grado \alpha a una Ecuación Diferencial de Variables Separables.

Halle la función y que satisface las siguientes ecuaciones diferenciales. Halle además, la función que satisface el valor inicial donde corresponda.

  1. \left(- 65 x^{3} y^{2} + x^{2} y^{3}\right) dx + \left(210 x^{5} + 4 x^{3} y^{2}\right) dy = 0
  2. \left(5 x^{2} y^{4} - 24 y^{6}\right) dx + \left(- 3 x^{3} y^{3} + 2 x^{2} y^{4}\right) dy = 0
  3. \left(4 x^{2} y^{3} - 18 y^{5}\right) dx + \left(- 5 x^{3} y^{2} + 9 x^{2} y^{3}\right) dy = 0
  4. \left(- 6 x^{8} y^{2} - 15 x^{7} y^{3}\right) dx + \left(36 x^{10} + 9 x^{8} y^{2}\right) dy = 0
  1. \left(5 x^{2} y^{4} + 8 y^{6}\right) dx + \left(- x^{3} y^{3} - 12 x^{2} y^{4}\right) dy = 0
  2. \left(40 x^{5} y^{2} - 14 x^{4} y^{3}\right) dx + \left(- 48 x^{7} + 6 x^{5} y^{2}\right) dy = 0
  3. \left(9 x^{2} y^{8} - 84 y^{10}\right) dx + \left(- 15 x^{3} y^{7} + 54 x^{2} y^{8}\right) dy = 0
  4. \left(80 x^{6} y^{2} + x^{5} y^{3}\right) dx + \left(168 x^{8} + 7 x^{6} y^{2}\right) dy = 0
  1. \left(6 x^{2} y^{5} - 72 y^{7}\right) dx + \left(- 2 x^{3} y^{4} - 28 x^{2} y^{5}\right) dy = 0
  2. \left(- 8 x^{4} y^{2} - 6 x^{3} y^{3}\right) dx + \left(- 16 x^{6} + 5 x^{4} y^{2}\right) dy = 0
  3. \left(9 x^{2} y^{8} + 48 y^{10}\right) dx + \left(- 15 x^{3} y^{7} - 42 x^{2} y^{8}\right) dy = 0
  4. \left(2 x^{7} y^{2} - 9 x^{6} y^{3}\right) dx + \left(24 x^{9} + 8 x^{7} y^{2}\right) dy = 0
  1. \left(4 x^{2} y^{3} + 81 y^{5}\right) dx + \left(- 7 x^{3} y^{2} + 18 x^{2} y^{3}\right) dy = 0
  2. \left(52 x^{7} y^{2} - 4 x^{6} y^{3}\right) dx + \left(144 x^{9} + 8 x^{7} y^{2}\right) dy = 0
  3. \left(9 x^{2} y^{8} - 36 y^{10}\right) dx + \left(- 18 x^{3} y^{7} - 45 x^{2} y^{8}\right) dy = 0
  4. \left(77 x^{8} y^{2} - 16 x^{7} y^{3}\right) dx + \left(- 168 x^{10} + 9 x^{8} y^{2}\right) dy = 0
  1. \left(51 x y^{7} - 3 y^{8}\right) dx + \left(324 x^{4} y^{4} - 252 x^{3} y^{5}\right) dy = 0
  2. \left(- 46 x y^{3} + 70 y^{4}\right) dx + \left(- 2 x^{4} - 22 x^{3} y\right) dy = 0
  3. \left(- 120 x^{6} y^{3} - 6 x^{5} y^{4}\right) dx + \left(- 1296 x^{9} - 738 x^{8} y\right) dy = 0
  4. \left(531 y^{5} - \frac{630 y^{6}}{x}\right) dx + \left(9 x^{3} y^{2} - 126 x^{2} y^{3}\right) dy = 0
  1. \left(4 x^{6} y^{2} - 2 x^{5} y^{3}\right) dx + \left(- \frac{120 x^{9}}{y} + 46 x^{8}\right) dy = 0
  2. \left(27 y^{4} - \frac{54 y^{5}}{x}\right) dx + \left(3 x^{3} y + 24 x^{2} y^{2}\right) dy = 0
  3. \left(55 x^{6} y^{2} - 5 x^{5} y^{3}\right) dx + \left(\frac{80 x^{9}}{y} - 130 x^{8}\right) dy = 0
  4. \left(- 795 y^{5} + \frac{1890 y^{6}}{x}\right) dx + \left(- 5 x^{3} y^{2} + 110 x^{2} y^{3}\right) dy = 0

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Ejercicios Propuestos – Modelo de Harrod-Domar

Tomando en cuenta que

I'(t)=s\rho I(t)

Determine la trayectoria de la inversión que mantendrá la economía en equilibrio todo el tiempo considerando la porción de la producción agregada al capital, la tasa de capacidad-capital y la tasa de inversión inicial dadas en cada ejercicio. Adicionalmente, calcule las trayectorias de capital y flujo de ingresos.

  1. La propensión marginal al ahorro es del 9%, la tasa de capacidad-capital es 0.5281, la inversión inicial es 175.18 y el capital inicial es 17518. Calcule el valor de cada una de estas trayectorias en el año 9.
  1. La propensión marginal al ahorro es del 13%, la tasa de capacidad-capital es 0.8791, la inversión inicial es 143.1 y el capital inicial es 14310. Calcule el valor de cada una de estas trayectorias en el año 10.
  1. La propensión marginal al ahorro es del 6%, la tasa de capacidad-capital es 0.4118, la inversión inicial es 96.79 y el capital inicial es 9679. Calcule el valor de cada una de estas trayectorias en el año 8.
  1. La propensión marginal al ahorro es del 1%, la tasa de capacidad-capital es 0.7937, la inversión inicial es 342.7 y el capital inicial es 34270. Calcule el valor de cada una de estas trayectorias en el año 4.
  1. La propensión marginal al ahorro es del 2%, la tasa de capacidad-capital es 0.2471, la inversión inicial es 252.66 y el capital inicial es 25266. Calcule el valor de cada una de estas trayectorias en el año 3.
  1. La propensión marginal al ahorro es del 19%, la tasa de capacidad-capital es 0.0943, la inversión inicial es 147.08 y el capital inicial es 14708. Calcule el valor de cada una de estas trayectorias en el año 4.
  1. La propensión marginal al ahorro es del 10%, la tasa de capacidad-capital es 0.1923, la inversión inicial es 283.16 y el capital inicial es 28316. Calcule el valor de cada una de estas trayectorias en el año 8.
  1. La propensión marginal al ahorro es del 10%, la tasa de capacidad-capital es 0.1667, la inversión inicial es 33.93 y el capital inicial es 3393. Calcule el valor de cada una de estas trayectorias en el año 10.

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