Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales Homogéneas y No-Homogéneas

Al estudiar ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de primer orden, aquellas expresadas de la forma a_1(x) y' + a_0(x) y = g(x), fue de vital importancia considerar el valor de la función g(x) pues nos permitió establecer una nueva forma de clasificar este tipo de ecuaciones diferenciales.

La situación no será diferente cuando estudiemos ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de orden superior, pues al estar estas expresadas de la siguiente forma

a_n(x) y^{(n)} + a_{n-1}(x) y^{(n-1)} + \ldots + a_1(x) y' + a_0(x) y = g(x)

Diremos que una ecuación diferencial ordinaria lineal es homogénea si g(x)=0, y por otra parte, diremos que es no-homogénea si g(x) \neq 0. En los siguientes ejemplos ilustraremos esta idea con mayor precisión.

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Ejemplos

Ejemplo 1

La siguiente ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden es homogénea, pues g(x)=0

2 y'' + 3y' +5y = 0

Ejemplo 2

La siguiente ecuación diferencial ordinaria lineal de tercer orden es homogénea, pues g(x)=0

-5 y''' + 7x^3y^4 = 0

Ejemplo 3

La siguiente ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden es no-homogénea, pues g(x)=10x^3

3x^2 y'' + 7xy'+ 9 = 10x^3

Ejemplo 4

La siguiente ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden es no-homogénea, pues g(x)=-7

\ln(x) y'' + 6\ln(x)y = -7

Ejemplo 5

La siguiente ecuación diferencial ordinaria lineal de tercer orden es no-homogénea, pues g(x)=\textit{\Large e}^x

\frac{11}{x}y''' - x^3 y'' + 6y' + 10y = \textit{\Large e}^x


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Principio de Superposición para Ecuaciones Homogéneas

Hemos mencionado antes que una ecuación diferencial ordinaria de orden superior puede tener varias soluciones si se presenta un problema de condiciones en la frontera.

El siguiente teorema nos permitirá sentar una base para el calculo de la solución de las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales homogéneas tomando en cuenta las diferentes soluciones que esta puede tener.

Teorema (Principio de Superposición – Ecuaciones Homogéneas)

Si y_1,y_2, \ldots ,y_k son k soluciones de una ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea de la forma

a_n(x) y^{(n)} + a_{n-1}(x) y^{(n-1)} + \ldots + a_1(x) y' + a_0(x) y = 0

definidas en un intervalo I y c_ 1, c_2, \ldots , c_k son constantes reales, entonces la combinación lineal

y = c_ 1y_1 + c_2 y_2 + \ldots + c_k y_k

también será una solución de la ecuación diferencial en el intervalo I.

De este teorema se derivan dos afirmaciones que nos serán de utilidad a la hora de definir la solución de una ecuación diferencial y es que podemos notar que al ser c_ 1, c_2, \ldots , c_k cualesquiera constantes reales, estas pudieran ser cero. Entonces, si y_p es una de las soluciones, tenemos que:

  • Cualquier múltiplo de la solución y_p, es decir, cualquier función de la forma c \cdot y_p es una solución de la ecuación.
  • Si todas las constantes son iguales a cero, entonces la función constante igual a cero, es decir, y=0 también es solución de la ecuación. Esta solución se conoce como la solución trivial.
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Soluciones Linealmente Dependientes e Independientes

Diremos que un conjunto de k soluciones y_1,y_2, \ldots ,y_k definidas en un intervalo I, es linealmente dependiente si cualquiera de estas soluciones se puede expresar como una combinación lineal de las demás soluciones, es decir, tal que existen constantes c_ 1, c_2, \ldots , c_k con al menos una de ellas diferente de cero, tal que

c_ 1y_1 + c_2 y_2 + \ldots + c_k y_k = 0

Por otra parte, diremos que un conjunto de k soluciones y_1,y_2, \ldots ,y_k definidas en un intervalo I, es linealmente independiente si no son linealmente dependientes, y más aún, si y_1,y_2, \ldots ,y_n es un conjunto de soluciones linealmente independiente de una ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea de orden n, diremos que este es un conjunto fundamental de soluciones.

Si consideramos una ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea de orden n cuyos coeficientes a_0(x), a_1(x) \ldots , a_n(x) son funciones continuas en un intervalo I, es decir, expresada de la siguiente manera

a_n(x) y^{(n)} + \ldots + a_1(x) y' + a_0(x) y = 0

Entonces siempre podemos garantizar que existe un conjunto fundamental de soluciones, e incluso, la solución general de esta ecuación se expresa como una combinación lineal de este conjunto de soluciones, es decir,

y = c_ 1y_1 + c_2 y_2 + \ldots + c_n y_n


Un comentario en “Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales Homogéneas y No-Homogéneas

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