Diferenciales

Las diferencias y las razones de cambio son elementos fundamentales para el estudio de funciones diferenciables pues, al sentar estos la base para calcular la derivada de una función, podemos establecer relaciones que permiten aproximar valores de la función a través de su derivada.

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Diferencia de una función

Al estudiar el comportamiento de una función y=f(x) diferenciable en todo su dominio, si consideramos un valor x en el dominio de ella, y x+h un valor incrementado de x, definimos la diferencia entre estos dos valores (la diferencia en x) de la siguiente manera:

\Delta_x = (x+h) - h = h

De igual forma, al considerar las imágenes de estos dos valores a través de la función, es decir, de f(x) y f(x+h); definimos la diferencia entre estas dos imágenes (la diferencia en y) de la siguiente manera:

\Delta_y = f(x+h) - f(x)

Es decir, la diferencia en y mide cuanto varía la función cuando la variable x varía con medida igual a la diferencia en x.

Nota: hemos usado la letra griega delta mayúscula «\Delta» pues es la letra equivalente a la letra «d» en el español.

Estas diferencias se aprecian con mayor claridad al observar la gráfica de la función y=f(x):

Diferencias en una función. | totumat.com

El estudio de estas diferencias es de vital importancia para el cálculo de derivadas, pues al considerar valores muy pequeños de la diferencia \Delta_x, el siguiente cociente se aproximará a la derivada de la función f(x):

\frac{\Delta_y}{\Delta_x}

Debemos recordar que la derivada de la función f(x) está definida de la siguiente forma:

f'(x) = \lim_{\Delta_x \to 0} \frac{\Delta_y}{\Delta_x}

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Diferencial de una función

Por otra parte, al estudiar el comportamiento de la recta tangente a la función y=f(x) en el punto \left( x, f(x) \right), llamémosla t(x). Si consideramos un valor x, y x+h un valor incrementado de x, definimos el diferencial entre estos dos valores (el diferencial de x) de la siguiente manera:

dx = (x+h) - h = h

De igual forma, al considerar las imágenes de estos dos valores a través de la recta tangente, es decir, de t(x) y t(x+h); definimos el diferencial entre estas dos imágenes (el diferencial de y) de la siguiente manera:

dy = t(x+h) - t(x)

Estos diferenciales se aprecian con mayor claridad al observar la gráfica de la función y=f(x):

Diferenciales de una función. | totumat.com

El estudio de estos diferenciales es de vital importancia para el cálculo de derivadas, el siguiente cociente, al ser exactamente la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto x, es la derivada de la función f(x):

\frac{dy}{dx} = f'(x)

De esta igualdad, podemos despejar dy y así, podemos plantear la siguiente igualdad, que nos define la forma en que se calcula el diferencial de la función y=f(x):

dy = f'(x) \cdot dx

Es decir, el diferencial de y mide cuanto incrementa la pendiente recta tangente cuando la variable x presenta un incremento con medida igual al diferencial de x.

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Relación entre diferenciales y diferencias

Hemos visto que las diferencias y los diferenciales están relacionados íntimamente con la derivada de una función, entonces, notando que la diferencia en x y el diferencial de x son exactamente el mismo elemento, es decir, \Delta_x = dx; debemos estudiar, con particular interés, la relación entre \Delta_y y dy.

Hemos dicho que el cociente \frac{\Delta_y}{\Delta_x} se aproxima a la derivada de la función, por lo tanto, podemos considerar un número real \alpha que depende de \Delta_x que nos permite establecer la siguiente relación:

\frac{\Delta_y}{\Delta_x} = f'(x) + \alpha

Entonces, al multiplicar en ambos lados de la ecuación por \Delta_x, despejamos \Delta_y obteniendo que

\Delta_y = f'(x) \cdot \Delta_x + \alpha \cdot \Delta_x \Longleftrightarrow \Delta_y = f'(x) \cdot dx + \alpha \cdot dx

De esta forma, si nos fijamos que el primer sumando es determinado por f'(x) \cdot dx, que es justamente dy, nos damos cuenta que \alpha \cdot dx que representa el excedente sobre dy. Estos dos sumandos se aprecian con mayor claridad al observar la gráfica de la función y=f(x).

Relación entre diferenciales y diferencias | totumat.com

Considerando entonces que \Delta_y = dy + \alpha \cdot dx, a medida que se hace pequeño el diferencial dx también lo hará \alpha, y en consecuencia, se hará aún más pequeño el producto \alpha \cdot dx. Por lo tanto,

Si dx \to 0, entonces \Delta_y \to dy

Concluimos entonces, que el diferencial de y es una aproximación lineal (a través de la recta tangente a la curva) de la diferencia de y, es decir,

\Delta_y \approx dy = f'(x) \cdot dx

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Cálculo del diferencial de una función

Si consideramos una función y=f(x), el diferencial de esta puede expresarse de las siguientes formas:

dy ó df

En los siguientes ejemplos, veremos como calcular el diferencial de una función.

Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la función y = x^2, para calcular su diferencial, basta con calcular la derivada de la función y multiplicarla por el diferencial de x, de la siguiente forma:

dy = 2x \ dx

Ejemplo 2

Considerando la función y = 6x^{10} + 13x + 20, para calcular su diferencial, basta con calcular la derivada de la función y multiplicarla por el diferencial de x, de la siguiente forma:

dy = (60x^9 + 13) \ dx

Ejemplo 3

Considerando la función y = \textit{\Large e}^{3x^5}, para calcular su diferencial, basta con calcular la derivada de la función y multiplicarla por el diferencial de x, de la siguiente forma:

dy = 15x^4 \cdot \textit{\Large e}^{3x^5} \ dx

Ejemplo 4

Considerando la función y = \ln (9x^3 + 12x^2 + 7x + 10), para calcular su diferencial, basta con calcular la derivada de la función y multiplicarla por el diferencial de x, de la siguiente forma:

dy = \dfrac{27x^2 + 24x + 7}{9x^3 + 12x^2 + 7x + 10} \ dx


Ejercicios Propuestos - Ecuaciones Diferenciales

Ejercicios Propuestos – Ecuaciones Diferenciales Ordinarias lineales no-homogéneas con coeficientes constantes

Calcule la solución de las siguientes Ecuaciones Diferenciales Ordinarias lineales homogéneas de segundo orden usando el método de los coeficientes indeterminados.

  1. 4 y'' + 4 y = 8 x + 32
  2. 9 y'' - 45 y = - 7 x + 35
  3. - 6 y'' - 30 y = 10 x
  4. - 2 y'' + 2 y = - 3 x - 15
  1. - 7 y'' + 21 y = 8 x^{2} + 16 x
  2. 4 y'' - 8 y = 6 x^{2} + 6 x
  3. - y'' + 5 y = - x^{2} - 3 x
  4. - 5 y'' - 5 y = - 7 x^{2} - 21 x
  1. - y''' - 5 y'' = - 4 x^{3} + 8 x^{2} + 32 x
  2. - 3 y''' + 6 y'' = - 6 x^{3} - 24 x^{2} + 30 x
  3. 3 y''' - 6 y'' = 9 x^{3} - 9 x^{2} - 180 x
  4. - 6 y''' - 12 y'' - 6 y' = 4 x^{3} - 4 x^{2}
  1. 2 y''' - 18 y'' + 40 y' = 4 x^{4} + 12 x^{3} + 8 x^{2}
  2. 7 y''' - 7 y'' - 14 y' = 3 x^{4} + 3 x^{3} - 36 x^{2}
  3. - 4 y''' - 8 y'' + 60 y' = - 9 x^{4} + 9 x^{3} + 54 x^{2}
  4. - 4 y''' + 16 y'' - 12 y' = 7 x^{4} - 7 x^{3} - 84 x^{2}
  1. 9 y'' + 18 y = - 24 \textit{\Large e}^{- 6 x}
  2. 8 y'' - 24 y = - 50 \textit{\Large e}^{- 6 x}
  3. 6 y'' + 18 y = 16 \textit{\Large e}^{5 x}
  4. 6 y'' + 30 y = 7 \textit{\Large e}^{- 10 x}
  1. 5 y'' + 20 y = - 6 \textit{\Large e}^{- 2 x} x + 18 \textit{\Large e}^{- 2 x}
  2. - 5 y'' - 10 y = 8 \textit{\Large e}^{- 6 x} x - 24 \textit{\Large e}^{- 6 x}
  3. 3 y'' + 3 y = - 7 \textit{\Large e}^{- 8 x} x + 35 \textit{\Large e}^{- 8 x}
  4. 6 y'' + 30 y = 2 \textit{\Large e}^{5 x} x + 4 \textit{\Large e}^{5 x}
  1. - 3 y''' + 24 y'' - 45 y' = 7 \textit{\Large e}^{- 8 x} x^{2} - 35 \textit{\Large e}^{- 8 x} x + 28 \textit{\Large e}^{- 8 x}
  2. 10 y''' - 80 y'' + 150 y' = 4 \textit{\Large e}^{- 7 x} x^{2} + 8 \textit{\Large e}^{- 7 x} x - 60 \textit{\Large e}^{- 7 x}
  3. 7 y''' - 28 y'' + 28 y' = 10 \textit{\Large e}^{2 x} x^{2} + 100 \textit{\Large e}^{2 x} x + 250 \textit{\Large e}^{2 x}
  4. - 2 y''' - 6 y'' + 8 y' = - 9 \textit{\Large e}^{- 9 x} x^{2} + 36 \textit{\Large e}^{- 9 x} x + 45 \textit{\Large e}^{- 9 x}
  1. 2 y'' + 6 y = 6 + 10 \textit{\Large e}^{- 7 x}
  2. 10 y'' - 50 y = 6 - 5 \textit{\Large e}^{- 3 x}
  3. - 8 y'' - 32 y = - 10 \textit{\Large e}^{8 x} + 4
  4. 7 y'' + 35 y = - 6 \textit{\Large e}^{2 x} - 3
  1. - 8 y'' - 24 y = 10 x - 30 + 7 \textit{\Large e}^{- x}
  2. 8 y'' - 8 y = - 10 \textit{\Large e}^{6 x} + 9 x + 27
  3. - 9 y'' + 9 y = - 10 \textit{\Large e}^{3 x} + 7 x - 21
  4. - 9 y'' + 18 y = - 9 x + 9 - 2 \textit{\Large e}^{- 8 x}
  1. y''' + 2 y'' - 15 y' = - 2 x^{2} + 4 x + 16 - 3 \textit{\Large e}^{- 8 x} x - 9 \textit{\Large e}^{- 8 x}
  2. - y''' + 4 y'' - 4 y' = 10 \textit{\Large e}^{x} x + 10 \textit{\Large e}^{x} + 10 x^{2} - 10 x - 120
  3. - 7 y''' + 7 y'' + 14 y' = 8 \textit{\Large e}^{3 x} x + 24 \textit{\Large e}^{3 x} - 9 x^{2} + 45 x - 54
  4. y''' + y'' = - 10 x^{2} + 30 x + 100 + 4 \textit{\Large e}^{- 4 x} x - 20 \textit{\Large e}^{- 4 x}
  1. 5 y''' - 5 y = - 2 x^{3} - 16 x^{2} - 30 x - 7 \textit{\Large e}^{- 2 x} x + 7 \textit{\Large e}^{- 2 x}
  2. - 3 y''' + 18 y'' - 24 y' = - 4 \textit{\Large e}^{3 x} x - 4 \textit{\Large e}^{3 x} + x^{3} - 2 x^{2} + x
  3. - 9 y''' - 18 y'' + 72 y' = 10 x^{3} - 10 x^{2} - 20 x - 6 \textit{\Large e}^{- 4 x} x
  4. 2 y''' - 12 y'' + 16 y' = 3 x^{3} - 18 x^{2} + 15 x - \textit{\Large e}^{- 3 x} x - \textit{\Large e}^{- 3 x}

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Calcule la solución de las siguientes Ecuaciones Diferenciales Ordinarias lineales homogéneas de segundo orden determinando la ecuación auxiliar.

  1. 10 y'' + 50 y'+ 60y = 0
  2. y'' + 5 y'+ 6y = 0
  3. 2 y'' - 12 y'+ 10y = 0
  4. - 5 y'' - 45 y'- 100y = 0
  1. 4 y''' - 12 y'' + 12 y'- 4y = 0
  2. 3 y''' + 12 y'' = 0
  3. 9 y''' + 108 y'' + 405 y'+ 450y = 0
  4. 5 y''' + 15 y'' - 5 y'- 15y = 0
  1. - 6 y^{(4)} + 6 y''' + 84 y'' - 144 y' = 0
  2. 3 y^{(4)} + 21 y''' + 18 y'' - 96 y'- 96y = 0
  3. - 3 y^{(4)} - 6 y''' + 9 y'' + 24 y'+ 12y = 0
  4. 5 y^{(4)} - 10 y''' - 15 y'' + 40 y'- 20y = 0
  1. 2 y^{(5)} + 8 y^{(4)} - 44 y''' - 200 y'' - 150 y' = 0
  2. 5 y^{(5)} - 145 y''' + 500 y' = 0
  3. 2 y^{(5)} - 6 y^{(4)} - 50 y''' + 166 y'' + 48 y'- 160y = 0
  4. - 10 y^{(5)} - 40 y^{(4)} + 130 y''' + 520 y'' - 360 y'- 1440y = 0

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Calcule la solución de las siguientes Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de segundo orden tomando en cuenta la solución particular y_1 indicada.

  1. 8 x^{2} y'' + 4 x y' - 24 y = 0 con solución particular y_1 = - 9 x^{2}
  2. 10 x^{2} y'' - 20 y = 0 con solución particular y_1 = - 5 x^{2}
  3. - 9 x^{2} y'' + 6 x y' + 6 y = 0 con solución particular y_1 = - 7 x^{2}
  4. - 2 x^{2} y'' + 7 x y' - 10 y = 0 con solución particular y_1 = 2 x^{2}
  1. 5 x^{2} y'' + 3 x y' - 16 y = 0 con solución particular y_1 = 5 x^{2}
  2. - 3 x^{2} y'' + 3 x y' = 0 con solución particular y_1 = 6 x^{2}
  3. 4 x^{2} y'' - 4 x y' = 0 con solución particular y_1 = - 5 x^{2}
  4. 2 x^{2} y'' - 2 x y' = 0 con solución particular y_1 = - 6 x^{2}
  1. - 126 y - 2 y' + y'' = 0 con solución particular y_1 = - \textit{\Large e}^{9 x}
  2. - 280 y + y' + 9 y'' = 0 con solución particular y_1 = 4 \textit{\Large e}^{- 4 x}
  3. - 800 y - 2 y' + 6 y'' = 0 con solución particular y_1 = 7 \textit{\Large e}^{- 8 x}
  4. 20 y - 9 y' - 7 y'' = 0 con solución particular y_1 = 5 \textit{\Large e}^{- 2 x}
  1. - 8 y' + 4 y'' = 0 con solución particular y_1 = 6 \textit{\Large e}^{2 x}
  2. - 36 y + 9 y' + 9 y'' = 0 con solución particular y_1 = 7 \textit{\Large e}^{- 2 x}
  3. - 2 y - 9 y' - 8 y'' = 0 con solución particular y_1 = 5 \textit{\Large e}^{- x}
  4. 72 y - 6 y' - 6 y'' = 0 con solución particular y_1 = - 4 \textit{\Large e}^{- 3 x}

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Una ecuación de la forma

M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0

es homogénea si M(x,y) y N(x,y) son funciones homogéneas del mismo grado, es decir,

M(tx,ty) = t^\alpha M(x,y) \text{ y } N(tx,ty) = t^\alpha N(x,y), \, \alpha \in \mathbb{R}

En este caso, las sustituciones y=ux o x=vy reducen la ecuación diferencial homogénea de grado \alpha a una Ecuación Diferencial de Variables Separables.

Halle la función y que satisface las siguientes ecuaciones diferenciales. Halle además, la función que satisface el valor inicial donde corresponda.

  1. \left(- 65 x^{3} y^{2} + x^{2} y^{3}\right) dx + \left(210 x^{5} + 4 x^{3} y^{2}\right) dy = 0
  2. \left(5 x^{2} y^{4} - 24 y^{6}\right) dx + \left(- 3 x^{3} y^{3} + 2 x^{2} y^{4}\right) dy = 0
  3. \left(4 x^{2} y^{3} - 18 y^{5}\right) dx + \left(- 5 x^{3} y^{2} + 9 x^{2} y^{3}\right) dy = 0
  4. \left(- 6 x^{8} y^{2} - 15 x^{7} y^{3}\right) dx + \left(36 x^{10} + 9 x^{8} y^{2}\right) dy = 0
  1. \left(5 x^{2} y^{4} + 8 y^{6}\right) dx + \left(- x^{3} y^{3} - 12 x^{2} y^{4}\right) dy = 0
  2. \left(40 x^{5} y^{2} - 14 x^{4} y^{3}\right) dx + \left(- 48 x^{7} + 6 x^{5} y^{2}\right) dy = 0
  3. \left(9 x^{2} y^{8} - 84 y^{10}\right) dx + \left(- 15 x^{3} y^{7} + 54 x^{2} y^{8}\right) dy = 0
  4. \left(80 x^{6} y^{2} + x^{5} y^{3}\right) dx + \left(168 x^{8} + 7 x^{6} y^{2}\right) dy = 0
  1. \left(6 x^{2} y^{5} - 72 y^{7}\right) dx + \left(- 2 x^{3} y^{4} - 28 x^{2} y^{5}\right) dy = 0
  2. \left(- 8 x^{4} y^{2} - 6 x^{3} y^{3}\right) dx + \left(- 16 x^{6} + 5 x^{4} y^{2}\right) dy = 0
  3. \left(9 x^{2} y^{8} + 48 y^{10}\right) dx + \left(- 15 x^{3} y^{7} - 42 x^{2} y^{8}\right) dy = 0
  4. \left(2 x^{7} y^{2} - 9 x^{6} y^{3}\right) dx + \left(24 x^{9} + 8 x^{7} y^{2}\right) dy = 0
  1. \left(4 x^{2} y^{3} + 81 y^{5}\right) dx + \left(- 7 x^{3} y^{2} + 18 x^{2} y^{3}\right) dy = 0
  2. \left(52 x^{7} y^{2} - 4 x^{6} y^{3}\right) dx + \left(144 x^{9} + 8 x^{7} y^{2}\right) dy = 0
  3. \left(9 x^{2} y^{8} - 36 y^{10}\right) dx + \left(- 18 x^{3} y^{7} - 45 x^{2} y^{8}\right) dy = 0
  4. \left(77 x^{8} y^{2} - 16 x^{7} y^{3}\right) dx + \left(- 168 x^{10} + 9 x^{8} y^{2}\right) dy = 0
  1. \left(51 x y^{7} - 3 y^{8}\right) dx + \left(324 x^{4} y^{4} - 252 x^{3} y^{5}\right) dy = 0
  2. \left(- 46 x y^{3} + 70 y^{4}\right) dx + \left(- 2 x^{4} - 22 x^{3} y\right) dy = 0
  3. \left(- 120 x^{6} y^{3} - 6 x^{5} y^{4}\right) dx + \left(- 1296 x^{9} - 738 x^{8} y\right) dy = 0
  4. \left(531 y^{5} - \frac{630 y^{6}}{x}\right) dx + \left(9 x^{3} y^{2} - 126 x^{2} y^{3}\right) dy = 0
  1. \left(4 x^{6} y^{2} - 2 x^{5} y^{3}\right) dx + \left(- \frac{120 x^{9}}{y} + 46 x^{8}\right) dy = 0
  2. \left(27 y^{4} - \frac{54 y^{5}}{x}\right) dx + \left(3 x^{3} y + 24 x^{2} y^{2}\right) dy = 0
  3. \left(55 x^{6} y^{2} - 5 x^{5} y^{3}\right) dx + \left(\frac{80 x^{9}}{y} - 130 x^{8}\right) dy = 0
  4. \left(- 795 y^{5} + \frac{1890 y^{6}}{x}\right) dx + \left(- 5 x^{3} y^{2} + 110 x^{2} y^{3}\right) dy = 0

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