Introducción a las Ecuaciones Diferenciales

Definición

Definimos una ecuación diferencial como una expresión matemática que establece una relación entre una o más variables independientes; una o más variables dependientes; y las derivadas de estas variables dependientes a través de una igualdad.

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Formalmente, considerando una variable independiente $x$ y una variable que dependiente $y$ , diremos que la siguiente expresión es una Ecuación Diferencial:

$F \left( x,y,y',y'', \dots ,y^{(n)} \right)=0$

De forma particular, si consideramos la siguiente relación

$y - y' = 0$

diremos que ésta es una ecuación diferencial.

Nuestro propósito será el de determinar qué función $y$ es la que satisface esta igualdad y en este ejemplo, a simple vista podemos notar que $y=\textit{\Large e}^x$ es una solución de esta ecuación diferencial pues $\textit{\Large e}^x - \left( \textit{\Large e}^x \right)' = 0$ .

El estudio de las ecuaciones diferenciales tiene su base en el desarrollo de distintas técnicas para hallar la solución de distintas ecuaciones diferenciales y para esto debemos clasificarlas.

Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales

Las ecuaciones diferenciales se clasifican de tres formas: Por tipo, por linealidad y por orden.

Por tipo: Si la ecuación diferencial incolucra derivadas respecto a sólo una variable independiente, diremos que la ecuación diferencial es ordinaria. En otro caso, diremos que es una ecuación diferencial parcial.

Por linealidad: Una ecuación diferencial es lineal si ésta es lineal respecto a la variable dependiente y sus derivadas.

Por orden: El orden de una ecuación diferencial viene dada por la derivada de mayor orden que se encuentre involucrada en ésta.

A medida que aprendamos las técnicas para calcular soluciones de ecuaciones diferenciales, veremos otras formas de clasificarlas, por ahora consideremos algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales para determinar la clasificación que hemos visto.

Ejemplos

Ejemplo 1

Si consideramos la ecuación diferencial $y - y' = 0$ , entonces

Es ordinaria pues si tomamos $y'=\frac{dy}{dx}$ , notamos que ésta sólo involucra la derivada de sólo una variable independiente.
Es lineal ya que el exponente de $y$ y $y'$ es exactamente igual a uno.
Es de primer orden porque la derivada de mayor orden es de primer orden.

Por lo tanto es una Ecuación Diferencial Ordinaria lineal de primer orden.

Ejemplo 2

Si consideramos la ecuación diferencial $3xy''' + 2x^4y^3 = 6x^3$ , entonces

Es ordinaria pues ésta sólo involucra una variable independiente.
No es lineal ya que la variable dependiente $y$ está elevada al cubo.
Es de tercer orden porque la derivada de mayor orden es de tercer orden.

Por lo tanto es una Ecuación Diferencial Ordinaria no lineal de tercer orden.

Ejemplo 3

Si consideramos la ecuación diferencial $5 \frac{\partial y}{\partial x } + 9 \frac{\partial y}{\partial z } = 6x^3y - 7z^5$ , entonces

Es parcial pues ésta involucra las derivadas respecto a más de una variable independiente.
Es lineal ya que el exponente de $y$ , $\frac{\partial y}{\partial x }$ y $\frac{\partial y}{\partial z }$ es exactamente igual a uno.
Es de primer orden porque la derivada de mayor orden es de primer orden.

Por lo tanto es una Ecuación Diferencial Parcial lineal de primer orden.

Nota: Todas las ecuaciones diferenciales que consideraremos mientras estudiemos los aspectos básicos, serán Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, es por esto que siempre consideraremos $y' = \frac{dy}{dx}$ , salvo que se indique otra variable dependiente u otra variable independiente.

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Solución de una Ecuación Diferencial

Si consideramos la ecuación diferencial

$F \left( x,y,y',y'', \ldots ,y^{(n)} \right)=0$

Diremos que una función $y_0$ definida en un intervalo $I$ con $n$ derivadas continuas en el intervalo $I$ es la solución de esta ecuación diferencial de $n$ -ésimo orden, si esta satisface la igualdad planteada, es decir, tal que

$F \left( x,y_0,y_0',y_0'', \ldots ,y_0^{(n)} \right)=0$

Consideremos algunos ejemplos para que ilustrar esta idea con mayor claridad.