Ecuaciones Diferenciales Ordinarias lineales con coeficientes constantes (2 de 2)

Los métodos para calcular al solución ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior dependen de la forma en que la ecuación esté expresada, considerando el caso lineal, es posible particularizarlo aún más, pues si consideremos una ecuación diferencial de la forma

a_n(x) y^{(n)} + \ldots + a_1(x) y' + a_0(x) y = g(x)

Las funciones a_0(x), a_1(x), \ldots, a_n(x) que definen los coeficientes de la ecuación, pueden considerarse como funciones constantes, de forma que la ecuación diferencial queda expresada como

a_n y^{(n)} + \ldots + a_1 y' + a_0 y = g(x)

Donde a_0, a_1, \ldots, a_n son números reales.

Más aún, será de vital importancia clasificar estas ecuaciones dependiendo del valor de g(x). Diremos que una ecuación de este tipo es no-homogénea si g(x) \neq 0, y durante esta sección, este es el caso que desarrollaremos.

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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias lineales no-homogéneas con coeficientes constantes

Habiendo clasificado las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales como homogéneas y no-homogéneas, pudimos establecer un principio (de superposición) que nos determinó la forma en que está expresada la solución general del caso homogéneo. Durante esta sección, podremos generalizar este principio para el caso no-homogéneo. Pero antes debemos precisar algunos elementos.

Consideremos una ecuación diferencial ordinaria lineal no-homogénea de orden n expresada de la forma

a_n(x) y^{(n)} + \ldots + a_1(x) y' + a_0(x) y = g(x)

Definimos su ecuación homogénea asociada, considerando g(x)=0 de la siguiente forma

a_n(x) y^{(n)} + a_{n-1}(x) y^{(n-1)} + \ldots + a_1(x) y' + a_0(x) y = 0

Sabiendo como calcula la solución general esta ecuación homogénea asociada, veremos en el siguiente teorema que esta juega un papel fundamental para poder definir la solución general de la ecuación no-homogénea asociada.

Teorema (Principio de Superposición – Ecuaciones No-Homogéneas)

Si y_p es una solución particular de una ecuación diferencial ordinaria lineal no-homogénea de orden n de la forma

a_n(x) y^{(n)} + \ldots + a_1(x) y' + a_0(x) y = g(x)

definida en un intervalo I; y_1,y_2, \ldots ,y_n conforman un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación homogénea asociada en el intervalo I, entonces la siguiente combinación lineal

y = c_ 1y_1 + c_2 y_2 + \ldots + c_n y_n + y_p

también es una solución de la ecuación no-homogénea.

De este teorema, diremos que c_ 1y_1 + c_2 y_2 + \ldots + c_n y_n es la solución complementaria y la denotaremos por y_c. De esta forma, podemos expresar la solución de una ecuación diferencial ordinaria lineal no-homogénea de la siguiente forma

El Principio de Superposición para ecuaciones no-homogéneas puede ser generalizado tomando en cuenta que si tenemos k ecuaciones diferenciales ordinarias lineales no-homogéneas de la forma

a_n(x) y^{(n)} + \ldots + a_1(x) y' + a_0(x) y = g_1(x)
a_n(x) y^{(n)} + \ldots + a_1(x) y' + a_0(x) y = g_2(x)
\vdots
a_n(x) y^{(n)} + \ldots + a_1(x) y' + a_0(x) y = g_k(x)

donde y_{p_1},y_{p_2}, \ldots ,y_{p_k} son soluciones particulares correspondientes. Entonces, la suma de todas estas soluciones particulares,

y_p = y_{p_1} + y_{p_2} + \ldots + y_{p_k}

Será una solución particular de la ecuación diferencial ordinaria lineal no-homogénea

a_n(x) y^{(n)} + \ldots + a_1(x) y' + a_0(x) y = g_1(x) + \ldots + g_k(x)

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Método de los Coeficientes Indeterminados

Conociendo esta última generalización, veamos un método que se basa en intuir cómo debería ser la solución de una ecuación diferencial ordinaria lineal no-homogénea fijándonos en la forma en que está expresada la función g(x). Desarrollaremos este método para tres formas básicas de la función g(x).

Forma Polinómica

Si g(x) es un polinomio de grado m expresado de la forma

g(x) = a_n x^n + \ldots + a_1 x + a_0

entonces una solución particular y_p debería tener también forma polinómica pues derivando polinomios, obtenemos polinomios, es decir, de la forma

y_p(x)= A_n x^n + \ldots + A_1 x + A_0

Forma Exponencial

Si g(x) es una función exponencial expresada de la forma

g(x) = a \textit{\Large e}^{m x}

entonces una solución particular y_p debería tener también forma exponencial pues derivando funciones exponenciales, obtenemos funciones exponenciales, es decir, de la forma

y_p(x) = A \textit{\Large e}^{m x}

De forma general, si g(x) es una función exponencial expresada de la forma

g(x) = a_n x^n \textit{\Large e}^{m x} + \ldots + a_1 x \textit{\Large e}^{m x} + a_0 \textit{\Large e}^{m x}

entonces una solución particular y_p debería tener también forma polinómica pues derivando funciones exponenciales, obtenemos funciones exponenciales, es decir, de la forma

y_p(x)= A_n x^n \textit{\Large e}^{m x} + \ldots + A_1 x \textit{\Large e}^{m x} + A_0 \textit{\Large e}^{m x}

Forma Trigonométrica

Si g(x) está expresada como la suma de senos y cosenos de la forma

g(x) = a \sin(x) + b \cos(x)

entonces una solución particular y_p debería tener también forma de suma de senos y cosenos pues \emph{derivando senos y cosenos, obtenemos senos y cosenos}, es decir, de la forma

y_p(x)= A \sin(x) + B \cos(x)


Estos tres casos pueden combinarse ya sea con sumándolos o multiplicándolos entre sí, de esta forma podemos ampliar el espectro de soluciones que podemos considerar para ecuaciones diferenciales ordinarias lineales no-homogéneas con coeficientes constantes.

Para entender como aplicar este método, veamos algunos ejemplos que ilustrarán con precisión el desarrollo del mismo.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la solución de la siguiente ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea con coeficientes constantes

y'' + 4y'-2y = 2x^2 - 3x +6

Antes de abordar esta ecuación, debemos recordar que la solución general de este tipo de ecuaciones se expresa como

y = y_c + y_p

Como primer paso debemos calcular la solución complementaria y_c. Considerando la ecuación homogénea asociada y'' + 4y'-2y=0, podemos expresar su ecuación auxiliar m^2 + 4m - 2 = 0 y calcular su solución utilizando el método del discriminante:

m = \frac{-(4) \pm \sqrt{(4)^2-4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{-4 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{6}i}{2} = -2 \pm i \sqrt{6}

Por lo tanto, expresamos la solución complementaria de la siguiente manera:

y_c = c_1 \textit{\Large e}^{-2x} cos(\sqrt{6}) + c_2 \textit{\Large e}^{-2x} sen(\sqrt{6})

Como segundo paso, debemos notar que en la ecuación diferencial planteada, g(x)=2x^2-3x+6, es una función polinómica de segundo grado. Así, intuitivamente nuestra solución particular debería tener la siguiente forma

y_p = Ax^2 + Bx + C

Nuestro propósito será el de hallar A, B y C y para esto sustituimos y_p en la ecuación original pues esta debe satisfacer la igualdad. Entonces

y'_p \ = \ 2Ax + B

y''_p \ = \ 2A

Sustituimos en la ecuación diferencial que hemos planteado originalmente para obtener

Considerando únicamente la expresión que está del lado izquierdo de la ecuación, expandimos distribuyendo los factores involucrados y posteriormente agrupamos los elementos que multiplican a x, x^2 y los términos independientes.

2A + 8Ax + 4B - 2Ax^2 - 2Bx - 2C
\Rightarrow \; - 2Ax^2 + 8Ax - 2Bx + 2A + 4B - 2C
\Rightarrow \; (-2A)x^2 + (8A - 2B)x + (2A + 4B - 2C)

Esta última expresión debe ser exactamente igual a 2x^2 - 3x +6, entonces los coeficientes correspondientes también deben ser exactamente iguales, por lo que planteamos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Así, nuestra solución particular viene dada por

y_p = -x^2 -\frac{5}{2}x -9

Finalmente, la solución general está expresada de la siguiente manera:

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Ejemplo 2

En este ejemplo veremos que debemos ser cuidadosos al calcular la solución pues la escogencia intuitiva pudiera no ser la más correcta, así que debemos recurrir a otra escogencia más general. Calcule la solución de la siguiente ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea con coeficientes constantes

3y''' - 15y''+ 7y'= \textit{\Large e}^{3x} -8x

Antes de abordar esta ecuación, debemos recordar que la solución general de este tipo de ecuaciones se expresa como

y = y_c + y_p

Como primer paso debemos calcula la solución complementaria y_c. Considerando la ecuación homogénea asociada 3y''' - 15y''+ 7y'=0, podemos expresar su ecuación auxiliar 3m^3 - 15m^2 + 7m = m(3m^2 - 15m + 7) = 0 y calcular su solución utilizando el método del discriminante una vez que hemos factorizado:

m = \frac{-(-15) \pm \sqrt{(-15)^2-4(3)(7)}}{2(3)} = \frac{15 \pm \sqrt{84}}{6} = \frac{15 \pm 2\sqrt{21}}{6}

Por lo tanto, expresamos la solución complementaria de la siguiente manera:

y_c = c_1\textit{\Large e}^{0 \cdot x} + c_2 \textit{\Large e}^{\left( \frac{15 + 2\sqrt{21}}{6} \right)x} + c_3 \textit{\Large e}^{\left( \frac{15 - 2\sqrt{21}}{6} \right)x}

Es decir,

y_c = c_1 + c_2 \textit{\Large e}^{\left( \frac{15 + 2\sqrt{21}}{6} \right)x} + c_3 \textit{\Large e}^{\left( \frac{15 - 2\sqrt{21}}{6} \right)x}

Como segundo paso, debemos notar que en la ecuación diferencial planteada, g(x)=\textit{\Large e}^{3x} - 8x, , es decir, una función exponencial más una función polinómica de primer grado. Así, intuitivamente nuestra solución particular debería tener la siguiente forma

y_p = A\textit{\Large e}^{3x} + Bx + C

Nuestro propósito será el de hallar A, B y C y para esto sustituimos y_p en la ecuación original pues esta debe satisfacer la igualdad. Entonces

y'_p \ = \ 3A\textit{\Large e}^{3x} + B

y''_p \ = \ 9A\textit{\Large e}^{3x}

y'''_p \ = \ 27A\textit{\Large e}^{3x}

Sustituimos en la ecuación diferencial que hemos planteado originalmente para obtener

Considerando únicamente la expresión que está del lado izquierdo de la ecuación, efectuamos los factores involucrados y posteriormente agrupamos los elementos que multiplican a \textit{\Large e}^{3x} y los términos independientes.

81A\textit{\Large e}^{3x} - 135A\textit{\Large e}^{3x}+ 21A\textit{\Large e}^{3x} + 7B
\Rightarrow \; (81 - 135 + 21) A\textit{\Large e}^{3x} + 7B
\Rightarrow \; -33A\textit{\Large e}^{3x} + 7B

Esta última expresión debe ser exactamente igual a \textit{\Large e}^{3x} -8x, entonces los coeficientes correspondientes también deben ser exactamente iguales, por lo que planteamos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Sin embargo, estos coeficientes no proveen una solución pues

y_p = -\frac{1}{33}\textit{\Large e}^{3x} + 0x + C = -\frac{1}{33}\textit{\Large e}^{3x} + C

y al plantear de esta forma la solución particular, no se satisface la igualdad por lo tanto será necesario replantearla.

La teoría sugiere aumentar en un grado la función donde se presenta el problema, por lo tanto, en este caso aumentaremos en un grado el elemento polinómico de la solución particular. Entonces, si consideramos y_p \ = \ A\textit{\Large e}^{3x} + Bx^2 + Cx + D, tenemos que

y'_p \ = \ 3A\textit{\Large e}^{3x} + 2Bx + C

y''_p \ = \ 9A\textit{\Large e}^{3x} + 2B

y'''_p \ = \ 27A\textit{\Large e}^{3x}

Sustituimos estas nuevas expresiones en la ecuación diferencial que hemos planteado originalmente para obtener

Considerando únicamente la expresión que está del lado izquierdo de la ecuación, efectuamos los factores involucrados y posteriormente agrupamos los elementos que multiplican a \textit{\Large e}^{3x} y los términos independientes.

81A\textit{\Large e}^{3x} - 135A\textit{\Large e}^{3x} -30B + 21A\textit{\Large e}^{3x} + 14Bx + 7C
\Rightarrow \; (81 - 135 + 21) A\textit{\Large e}^{3x} + 14Bx + 7C
\Rightarrow \; -33A\textit{\Large e}^{3x} + 14Bx + 7C

Esta última expresión debe ser exactamente igual a \textit{\Large e}^{3x} -8x, entonces los coeficientes correspondientes también deben ser exactamente iguales, por lo que planteamos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Así, nuestra solución particular viene dada por

y_p = -\frac{1}{33}\textit{\Large e}^{3x} -\frac{4}{7}x^2 + \frac{120}{49}x + D

Finalmente, expresamos nuestra solución.


Ecuaciones Diferenciales Ordinarias lineales con coeficientes constantes (1 de 2)

Los métodos para calcular al solución ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior dependen de la forma en que la ecuación esté expresada, considerando el caso lineal, es posible particularizarlo aún más, pues si consideremos una ecuación diferencial de la forma

a_n(x) y^{(n)} + \ldots + a_1(x) y' + a_0(x) y = g(x)

Las funciones a_0(x), a_1(x), \ldots, a_n(x) que definen los coeficientes de la ecuación, pueden considerarse como funciones constantes, de forma que la ecuación diferencial queda expresada como

a_n y^{(n)} + \ldots + a_1 y' + a_0 y = g(x)

Donde a_0, a_1, \ldots, a_n son números reales.

Más aún, será de vital importancia clasificar estas ecuaciones dependiendo del valor de g(x). Diremos que una ecuación de este tipo es homogénea si g(x)=0, y durante esta sección, este es el caso que desarrollaremos.

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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias lineales homogéneas con coeficientes constantes

Consideremos de forma particular, una ecuación diferencial ordinaria lineal con coeficientes constantes de segundo orden, de la cual no conocemos ninguna solución particular, expresada de la siguiente forma:

ay'' + by' + cy = 0

Notemos que al ser todos sus coeficientes constantes, entonces todos sus coeficientes son funciones continuas en cualquier intervalo I, por lo tanto podemos garantizar que existe una solución.

La ecuación que hemos considerado se puede reescribir como y'' = \alpha y' + \beta y, esta expresión sugiere que la segunda derivada de la solución que estamos buscando es una combinación lineal de la primera y segunda derivada. Podemos notar que una función de la forma y=\textit{\Large e}^{mx} cumple con esta propiedad pues

y=\textit{\Large e}^{mx}

y'=m\textit{\Large e}^{mx}

y''=m^2\textit{\Large e}^{mx}

Entonces, sustituyendo esta función y sus derivadas en la ecuación que hemos planteado, tenemos que

am^2\textit{\Large e}^{mx} + bm\textit{\Large e}^{mx} + c\textit{\Large e}^{mx} = 0

Podemos factorizar esta expresión, pues si sacamos \textit{\Large e}^{mx} como un factor obtenemos

\textit{\Large e}^{mx} ( am^2 + bm + c) = 0

Tomando en cuenta que la función exponencial siempre es distinta de cero, tenemos que \textit{\Large e}^{mx} \neq 0, entonces para que esta igualdad se satisfaga, necesariamente el otro factor involucrado debe ser igual a cero, es decir,

am^2 + bm + c = 0

Esta última es una ecuación cuadrática y en este caso la llamamos ecuación auxiliar. Nuestro propósito será el calcular el valor m que la satisface pues de esta forma hallamos la función y, para esto usamos el método del discriminante del cual obtenemos dos valores.

m_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \text{ y } m_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

A partir de aquí debemos tener tres consideraciones antes de que expresar nuestra solución:

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Discriminante positivo

Si b^2-4ac > 0, entonces m_1 y m_2 son dos números reales distintos, obtenemos dos soluciones particulares y_1 = \textit{\Large e}^{m_1 x} y y_2 = \textit{\Large e}^{m_2 x} por lo que la solución general está definida como

y = c_1 \textit{\Large e}^{m_1 x} + c_2 \textit{\Large e}^{m_2 x}

Discriminante igual a cero

Si b^2-4ac = 0, entonces m_1 y m_2 son dos números reales exactamente iguales \frac{-b}{2a}, por lo que la una solución particular está definida como y_1=\textit{\Large e}^{m_1x}, sin embargo, ¿cómo determinamos la otra solución particular?

Considerando la ecuación ay'' + by' + cy = 0, entonces estandarizamos la ecuación

y'' + \frac{b}{a}y' + \frac{c}{a}y = 0

Y recordemos que si conocemos una solución particular y_1 de una ecuación, la otra solución particular y_2 se puede calcular aplicando la siguiente fórmula

y_2(x) \ = \ y_1(x) \int \frac{\textit{\Huge e}^{\tiny - \int P dx}}{ \left( y_1(x) \right)^2} dx

= \ \textit{\Large e}^{m_1 x} \int \frac{\textit{\Huge e}^{\tiny - \int \frac{b}{a} dx}}{ \left( \textit{\Large e}^{m_1 x} \right)^2} dx

= \ \textit{\Large e}^{m_1 x} \int \frac{\textit{\Huge e}^{\tiny - \int \frac{b}{a} dx}}{ \left( \textit{\Large e}^{\frac{-b}{2a} x} \right)^2} dx

= \ \textit{\Large e}^{m_1 x} \int \frac{\textit{\Large e}^{\tiny - \frac{b}{a} x}}{ \textit{\Large e}^{- \frac{b}{a} x} } dx

= \ \textit{\Large e}^{m_1 x} \int dx

= \ x \textit{\Large e}^{m_1 x}

Por lo tanto, la solución general está definida como

y = c_1 \textit{\Large e}^{m_1x} + c_2 x \textit{\Large e}^{m_1x}

Discriminante negativo

Si b^2-4ac < 0, entonces m_1 y m_2 son dos números complejos distintos de la forma m_1=\alpha + i\beta y m_2=\alpha-i\beta donde \alpha,\beta<0 e i^2=-1. Formalmente no hay diferencia entre este y el primer caso, por lo que la solución será

y = c_1 \textit{\Large e}^{(\alpha + i\beta)x} + c_2 \textit{\Large e}^{(\alpha + i\beta)x}

Sin embargo, será necesario reescribir esta función en términos de números reales, por esta razón recurrimos a una serie de artilugios matemáticos que al final nos darán como resultado

y = c_1 \textit{\Large e}^{\alpha x} cos(\beta x) + c_2 \textit{\Large e}^{\alpha x} sen(\beta x)

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Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la solución de la siguiente ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea con coeficientes constantes

2y'' - 5y' -3y = 0

Empezamos escribiendo la ecuación auxiliar correspondiente a esta ecuación diferencial

2m^2 - 5m - 3 = 0

Y aplicando el método del discriminante obtenemos que

m = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2-4(2)(-3)}}{2(2)}

Por lo tanto, m_1=\frac{1}{2} y m_2=3 son las raíces de este polinomio y así, la solución general es esta ecuación diferencial viene dada por

y = c_1 \textit{\Large e}^{-\frac{1}{2}x} + c_2 \textit{\Large e}^{3x}

Ejemplo 2

Calcule la solución de la siguiente ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea con coeficientes constantes

y'' - 10y' + 25y = 0

Empezamos escribiendo la ecuación auxiliar correspondiente a esta ecuación diferencial

m^2 - 10m - 25 = 0

Y aplicando el método del discriminante obtenemos que

m = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2-4(1)(-25)}}{2(1)}

Por lo tanto, m_1=5 y m_2=5 son las raíces de este polinomio y notando que ambas son la misma raíz, decimos que esta tiene multiplicidad igual a 2, por lo tanto la solución general es esta ecuación diferencial viene dada por

y = c_1 \textit{\Large e}^{5x} + c_2 x \textit{\Large e}^{5x}

Ejemplo 3

Calcule la solución de la siguiente ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea con coeficientes constantes

y'' + 4y' + 7y = 0

Empezamos escribiendo la ecuación auxiliar correspondiente a esta ecuación diferencial

m^2 + 4m + 7 = 0

Y aplicando el método del discriminante obtenemos que

m = \frac{-(4) \pm \sqrt{(4)^2-4(1)(7)}}{2(1)} = \frac{-4 \pm \sqrt{-12}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}i}{2} = -2 \pm \sqrt{3}i

Por lo tanto, m_1= -2 + \sqrt{3}i latex y m_2= -2 - \sqrt{3}i son las raíces de este polinomio y así, la solución general es esta ecuación diferencial viene dada por

y = c_1 \textit{\Large e}^{-2x} cos(\sqrt{3}x) + c_2 \textit{\Large e}^{-2x} cos(\sqrt{3}x)


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Habiendo estudiado el caso para ecuaciones diferenciales de segundo orden, veremos ahora que el caso para ecuaciones de mayor orden no será muy diferente pues simplemente generalizamos las ideas. Formalmente, al considerar una ecuación de la forma

a_{n} y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \ldots + a_{1} y' + a_0 y = 0

Nuevamente consideraremos una función de la forma y=\textit{\Large e}^{mx} y al sustituirla en la ecuación, hacemos un desarrollo análogo al caso de segundo orden para obtener la siguiente ecuación

a_n m^n + a_{n-1} m^{n-1} + \ldots + a_1 m + a_0

Que nuevamente llamaremos ecuación auxiliar y, si esta tiene n soluciones distintas, entonces la solución general de la ecuación diferencial viene dada por

y = c_1 \textit{\Large e}^{m_1 x} + c_2 \textit{\Large e}^{m_2 x} + \ldots + c_n \textit{\Large e}^{m_n x}

Sin embargo, cuando no todas las n soluciones son iguales, debemos “combinar” los otros dos casos, de forma que si m_p tiene multiplicidad k, es decir, es una solución que se repite k veces, entonces la expresión

c_{p_1} \textit{\Large e}^{m_p x} + c_{p_2} x \textit{\Large e}^{m_p x} + c_{p_3} x^{2} \textit{\Large e}^{m_p x} + \ldots + c_{p_k} x^{k-1} \textit{\Large e}^{m_p x}

Se encuentra como una combinación lineal que forma parte de la solución.

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Ejemplos

Ejemplo 4

Calcule la solución de la siguiente ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea con coeficientes constantes

y''' + 3y'' - 4y = 0

Empezamos escribiendo la ecuación auxiliar correspondiente a esta ecuación diferencial

m^3 + 3m^2 - 4 = 0

Y aplicando el Método de Ruffini podemos hallar las raíces de este polinomio,

De esta forma, tenemos que m_1=1, m_2=-2 y m_3=-2. Notamos que -2 es una raíz multiplicidad dos, pues se repite dos veces. Así, la solución general es esta ecuación diferencial viene dada por

y = c_{1} \textit{\Large e}^{x} + c_{2} \textit{\Large e}^{-2x} + c_{3} x \textit{\Large e}^{-2x}

Ejemplo 5

Supongamos ahora que al plantear una ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea con coeficientes constantes, su ecuación auxiliar se factoriza de la siguiente forma

(m-3)^2(m+7)^3(m-5)(m-(4+i9))(m-(4-i9))

Entonces, tomando en cuenta la multiplicidad de algunas raíces y que otras son complejas, la solución general es esta ecuación diferencial viene dada por

y =

c_1 \textit{\Large e}^{3x} + c_2 x \textit{\Large e}^{3x}

+ c_3 \textit{\Large e}^{-7x} + c_4 x \textit{\Large e}^{-7x} + c_5 x^2 \textit{\Large e}^{-7x}

+ c_6 \textit{\Large e}^{5x}

+ c_7 \textit{\Large e}^{4x} cos(9x) + c_8 \textit{\Large e}^{4x} sen(9x)


Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales Homogéneas con una solución conocida

Veamos ahora el desarrollo de un método que nos permitirá reducir el orden de una ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea una vez que hemos encontrado una de sus soluciones.

Diremos que una ecuación diferencial ordinaria lineal está expresada en su forma estándar si el coeficiente que multiplica a la derivada de mayor orden involucrada en la ecuación es exactamente igual a uno. Entonces, si consideramos una ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea de segundo orden, diremos que esta está estandarizada si se encuentra expresada de la siguiente forma:

y'' + P(x) y' + Q(x) y = 0

Donde P(x) y Q(x) son funciones continuas en un intervalo I, pues de esta forma podemos garantizar que existe un conjunto fundamental de soluciones de esta ecuación en el intervalo I. Supongamos que y_1(x) es en efecto una solución conocida y que y_1(x) \neq 0 para todo x en el intervalo I.

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Partiremos del hecho de que al considerar una ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea de segundo orden, existirá un conjunto fundamental de soluciones que consta de exactamente dos soluciones para esta ecuación.

Formalmente, si consideramos y_1 y y_2, dos soluciones linealmente independientes de una ecuación diferencial ordinaria homogénea de orden dos en un intervalo I, el principio de superposición para ecuaciones homogéneas establece que cualquier otra solución será combinación lineal de éstas, entonces la solución general estará definida en un intervalo I de la siguiente forma

y = c_1 y_1 + c_2 y_2

Nuestro propósito es encontrar una segunda solución y_2(x) tal que y_1(x) y y_2(x) son linealmente independientes, es decir, tal que y_2(x) \neq c_1 \cdot y_1(). Consideramos entonces, una función auxiliar u(x) tal que y_2(x) = u(x) \cdot y_1(x).

La función y_2 debería satisfacer la ecuación y'' + P(x) y' + Q(x) y = 0, entonces, debemos calcular la primera y la segunda derivada de y_2 para posteriormente sustituirla en la ecuación.

y_2 = u \cdot y

y_2' = u \cdot y'_1 + y_1 \cdot u'

y_2'' = u \cdot y''_1 + 2 \cdot y'_1 \cdot u' + y_1 \cdot u''

Entonces al sustituir las funciones y_2, y_2' y y_2'' en la ecuación estandarizada, obtenemos

(u y''_1 + 2y'_1 u' + y_1 u'') + P (uy'_1 + y_1u') + Q (uy_1) = 0

Expandimos las expresiones distribuyendo P y posteriormente agrupamos los elementos que multiplican a u, u' y u''

u y''_1 + 2y'_1 u' + y_1 u'' + P uy'_1 + P y_1u' + Q uy_1 = 0

\Rightarrow \; y_1 u'' + 2y'_1 u' + P y_1u' + u y''_1 + P uy'_1 + Q uy_1 = 0

\Rightarrow \; y_1 u'' + (2y'_1 + P y_1 ) u' + (y''_1 + Py'_1 + Qy_1)u = 0

Debemos nota que al ser y_1 una solución de la ecuación, entonces y''_1 + Py'_1 + Qy_1 = 0, por lo tanto, tenemos que

y_1 u'' + (2y'_1 + P y_1 ) u' + (0)u = 0

\Rightarrow \; y_1 u'' + (2y'_1 + P y_1 ) u' = 0

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Notemos que esta última ecuación involucra sólo la primera y segunda derivada de la variable u, entonces, si recurrimos a una nueva variable auxiliar w(x)=u'(x), podemos reducir el orden la ecuación diferencial como sigue

y_1 w' + (2y'_1 + P y_1 ) w = 0

Esta ecuación es precisamente una ecuación diferencial ordinaria de primer orden con variables separables, entonces podemos calcular su solución de la siguiente manera

y_1 w' + (2y'_1 + P y_1 ) w = 0

\Rightarrow \; y_1 w' = - (2y'_1 + P y_1 ) w

\Rightarrow \; \frac{w'}{w} = \frac{- (2y'_1 + P y_1 )}{y_1}

\Rightarrow \; \int \frac{w'}{w} = \int \frac{- (2y'_1 + P y_1 )}{y_1} dx

\Rightarrow \; \int \frac{w'}{w} dx = - \int \left( \frac{2y'_1}{y_1} + \frac{P y_1 }{y_1} \right) dx

\Rightarrow \; \ln(w) = - 2 \ln(y_1) - \int P dx + C

\Rightarrow \; \ln(w) + 2 \ln(y_1) = - \int P dx + C

\Rightarrow \; \ln(w) + \ln(y_1^2) = - \int P dx + C

\Rightarrow \; \ln(w y_1^2) = - \int P dx + C

\Rightarrow \; \textit{\Large e}^{\ln(w y_1^2)} = \textit{\Large e}^{- \int P dx + C}

\Rightarrow \; w y_1^2 = \textit{\Large e}^{- \int P dx + C}

Y considerando que w es una variable auxiliar, tenemos que

w y_1^2 = \textit{\huge e}^{\tiny - \int P dx + C}

\Rightarrow \; u' y_1^2 = \textit{\huge e}^{\tiny - \int P dx + C}

\Rightarrow \; u' = \frac{C_1 \textit{\Huge e}^{\tiny - \int P dx}}{y_1^2}

\Rightarrow \; u = \int \frac{C_1 \textit{\Huge e}^{\tiny - \int P dx}}{y_1^2} dx + C_2

Para simplificar esta última expresión, podemos escoger de forma conveniente los valores c_1=1 y c_2=0, y así, esta última expresión se convierte en

u = \int \frac{\textit{\Huge e}^{\tiny - \int P dx}}{y_1^2} dx

Finalmente, como y_2(x) = u(x) \cdot y_1(x), entonces u(x) = \frac{y_2(x)}{y_1(x)}, de esta forma obtenemos

\frac{y_2(x)}{y_1(x)} = \int \frac{\textit{\Huge e}^{\tiny - \int P dx}}{\left( y_1(x) \right)^2} dx \Rightarrow y_2(x) = y_1(x) \int \frac{\textit{\Huge e}^{\tiny - \int P dx}}{ \left( y_1(x) \right)^2} dx

Esta última igualdad nos provee una fórmula para calcular una solución y_2 de una ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea de segundo orden conociendo una solución particular y_1 y en consecuencia, la solución general de la ecuación. Veamos con algunos ejemplos como aplicar esta fórmula.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la solución general de la siguiente ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea de segundo orden

x^2y'' - 3xy' + 4y = 0

en el intervalo (0,+\infty), sabiendo que y_1=x^2 es una solución particular de ésta.

Empezamos estandarizando la ecuación, en este caso dividimos cada sumando de la ecuación por x^2 para obtener

y'' - \frac{3}{x}y' + \frac{4}{x}y = 0

Así, identificando P(x)=\frac{3}{x} podemos calcular la otra solución de esta ecuación sustituyendo en la fórmula, obtenemos que

y_2(x) = x^2 \int \frac{\textit{\Huge e}^{\tiny - \int \frac{3}{x} dx}}{(x^2)^2} dx = x^2 \int \frac{x^3}{(x^2)^2} dx = x^2 \ln(x)

De esta forma, contamos con las dos soluciones particulares y_1=x^2 y y_2(x) = x^2 \ln(x) y en consecuencia, podemos expresar la solución general de la ecuación, pues cualquier otra solución se expresa como combinación lineal de estas dos de la siguiente forma:

y(x) = c_1 x^2 + c_2 x^2 \ln(x)


Modelo de crecimiento y decrecimiento poblacional

Usualmente las ecuaciones diferenciales se emplean para modelar el comportamiento de un fenómeno a través del tiempo. De forma general, si consideramos ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de primer orden, estas estarán expresadas de la forma

x' + u(t) \cdot x = w(t)

Donde u y w son funciones que dependen de la variable t.

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Empecemos por considerar uno de los modelos más básicos de las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de primer orden en un tiempo t: el caso homogéneo con coeficiente constante, es decir, tal que w(t)=0 y u(t)=k. En este caso, las ecuaciones estarán expresadas de la forma

x' - k \cdot x = 0 \Longleftrightarrow x' = k \cdot x

Con valor inicial x(0)=x_{0}. En este caso la constante k será conocida como constante de proporcionalidad y este tipo de ecuaciones sirve para describir diversos fenómenos de crecimiento y decrecimiento.

Las aplicaciones de este modelo pueden variar entre crecimiento de una población de bacterias, media-vida (variable que se usa para describir la estabilidad de sustancias radiactivas), pruebas de carbono 14 (para medir qué tan antiguo es un fósil) o incluso para determinar en cuánto tiempo se enfría una torta, sin embargo, durante este curso consideraremos de forma particular la forma en que crece la población de una determinada localidad.

Formalmente, si definimos la variable P(t) para denotar el tamaño de la población en un tiempo t, la forma en que varía el tamaño de la población respecto al tiempo se puede describir calculando la derivada de la variable P respecto al tiempo t, es decir, P'(t) = \frac{dP}{dt}(t).

Para poder emplear este tipo de modelos, debemos suponer que la forma en que varía la población en un instante de tiempo t es proporcional al tamaño de la población en dicho tiempo t, de esta forma, obtenemos la siguiente igualdad

P'(t) = k \cdot P(t)

Notando que esta igualdad representa una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden homogénea y puede usarse para predecir el tamaño de la población en el futuro, es decir, para algún t>t_{0}. Y sabiendo el tamaño de la población en un punto t_0 entonces podemos definir una ecuación diferencial con problema de valor inicial de la siguiente forma:

P'(t) = k \cdot P(t) \ , \ P(t_{0}) = P_0

Representando la ecuación diferencial de esta forma, la constante de proporcionalidad se puede determinar a partir de la solución con el valor inicial dado.

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Ejemplo

Mediante un censo poblacional en el año 1970, el tamaño de la población de una pequeña ciudad fue de aproximadamente 74 000 habitantes. En el censo poblacional del año 2000 se estimó que el tamaño de la población fue de 200 000 habitantes. Considerando que el tamaño de esta población ha crecido de forma proporcional, ¿cuál será el tamaño de la población en el año 2030?

Antes de establecer el modelo que define el crecimiento de esta población, es necesario definir las variables involucradas.

El primer censo se efectuó en el año 1970, entonces consideramos a este como el valor inicial t_{0} = 1970. Sin embargo, para agilizar los cálculos, podemos considerar t_{0} = 0 y así, P_{0} = 70000.

Partiendo del hecho que el tamaño de esta población ha crecido de forma proporcional, planteamos la siguiente ecuación diferencial

P'(t) = k \cdot P(t) \ , \ P(t_0) = P_{0} = 70000

Al ser esta una ecuación de variables separables, procedemos a calcular su solución con el respectivo valor inicial.

P' = k P

\; \Rightarrow \; \frac{dP}{dt} = k P

\; \Rightarrow \; \frac{dP}{P} = k dt

\; \Rightarrow \; \int \frac{dP}{P} = \int k dt

\; \Rightarrow \; \ln(P) = kt + C

\; \Rightarrow \; P = \textit{\Large e}^{kt + C}

\; \Rightarrow \; P = \textit{\Large e}^{kt} \textit{\large e}^{C}

\; \Rightarrow \; P = C \textit{\Large e}^{kt}

Tomando en cuenta que hemos considerado t_{0} = 0, entonces

P_{0} = C \textit{\Large e}^{k \cdot (0)} \; \Rightarrow \; 70000 = C \cdot 1 \; \Rightarrow \; C = 70000

Entonces, la solución de la ecuación diferencial planteada con el problema de valor inicial está dada por

P = 70000 \textit{\Large e}^{kt}

Sin embargo, aún no hemos determinado el valor de la constante de proporcionalidad k. Para esto, debemos recurrir a la otra información aportada en el enunciado del problema.

El segundo censo se efectuó en el año 2000, entonces al haberse efectuado 30 años después consideramos a este como el valor en el trigésimo periodo t_{30} = 2000 y así, P(30) = 200000. De esta forma, podemos plantear la siguiente igualdad

P(30) = 70000 \textit{\Large e}^{kt}

Y a partir de esta igualdad, podemos despejar k.

\; \Rightarrow \; 200000 = 70000 \textit{\Large e}^{k \cdot 30}

\; \Rightarrow \; \frac{200000}{70000} = \textit{\Large e}^{k \cdot 30}

\; \Rightarrow \; 2.8571 = \textit{\Large e}^{k \cdot 30}

\; \Rightarrow \; \ln \left( 2.8571 \right) = k \cdot 30

\; \Rightarrow \; \frac{\ln \left( 2.8571 \right)}{30} = k

\; \Rightarrow \; k \approx 0,03499

De esta forma, la fórmula general para calcular el tamaño de la población está definida de la siguiente forma:

P(t) = 70000 \textit{\Large e}^{0,03499 \cdot t}

Para calcular el tamaño de la población en el año 2030, debemos tomar en cuenta que si el año inicial fue 1970, entonces el año 2030 corresponde al sexagésimo periodo, es decir, t_{60} = 2030. Entonces, evaluamos la función en 60.

P(60) = 70000 \textit{\Large e}^{(0,03499) \cdot (60)} \; \Rightarrow \; P(60) = 571289


Expresión lineal compuesta con una ecuación diferencial

Al observar la forma en que está definida una ecuación diferencial, puede resultar útil identificar los elementos que la componen. Veremos en esta ocasión, el caso en que podemos identificar una expresión lineal que compone la ecuación diferencial.

Veremos que recurriendo a una variable auxiliar, es posible reducir la ecuación diferencial a una ecuación de variables separables. Formalmente, si A, B y C son números reales con B \neq 0, consideraremos ecuaciones diferenciales de la forma

\frac{dy}{dx} = f(Ax + By + C)

Y para calcular la solución de este tipo de ecuaciones, recurrimos a la variable auxiliar u = Ax + By + C. Veamos entonces con algunos ejemplos calcular la solución de este tipo de ecuaciones diferenciales.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la solución de la siguiente ecuación diferencial ordinaria

\frac{dy}{dx} = (7x + y + 2)^2 - 11

Podemos notar que la expresión 7x + y + 2 compone a esta ecuación. Entonces, definimos la variable auxiliar que utilizaremos, calculamos \frac{du}{dx} y posteriormente, despejamos \frac{dy}{dx}

u=7x + y + 2 \Rightarrow \frac{du}{dx} = 7 + \frac{dy}{dx} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} - 7

De esta forma, al sustituirlas en nuestra ecuación diferencial, obtenemos que

\frac{du}{dx} - 7 = u^2 - 11
\Rightarrow \frac{du}{dx} - 7 = u^2 - 11
\Rightarrow \frac{du}{dx} = u^2 - 4
\Rightarrow \frac{du}{dx} = (u-2)(u-2)

Esta última igualdad representa una ecuación diferencial de variables separables, así que procedemos a separar las variables.

\frac{du}{dx} = (u-2)(u-2)

\Rightarrow \frac{du}{(u-2)(u-2)} = dx

Una vez separadas las variables, integramos en ambos lados de la ecuación.

\Rightarrow \int \frac{du}{(u-2)(u-2)} = \int dx

\Rightarrow \frac{1}{4} \ln(u-2) - \frac{1}{4} \ln(u+2) = x + C

Ya que hemos calculado las integrales, debemos despejar al variable u.

\Rightarrow \frac{1}{4} \left( \ln(u-2) - \ln(u+2) \right) = x + C

\Rightarrow \frac{1}{4} \ln \left(\frac{u-2}{u+2} \right) = x + C

\Rightarrow \ln \left(\frac{u-2}{u+2} \right) = 4x + C

\Rightarrow \frac{u-2}{u+2} = C \textit{\Large e}^{4x}

\Rightarrow u-2 = C \textit{\Large e}^{4x}(u+2)

\Rightarrow u-2 = C \textit{\Large e}^{4x}u+2C \textit{\Large e}^{4x}

\Rightarrow u- C \textit{\Large e}^{4x}u = 2+2C \textit{\Large e}^{4x}

\Rightarrow u \left( 1-C \textit{\Large e}^{4x} \right) = 2 (C \textit{\Large e}^{4x} + 1)

\Rightarrow u = \frac{2 \left( 1+C \textit{\Large e}^{4x} \right) }{\left( 1-C \textit{\Large e}^{4x} \right)}

Finalmente, sustituimos la variable auxiliar u y despejamos la variable y.

u = 2 \frac{\left( 1+C \textit{\Large e}^{4x} \right) }{\left( 1-C \textit{\Large e}^{4x} \right)}

\Rightarrow 7x + y + 2 = 2\frac{\left( 1+C \textit{\Large e}^{4x} \right) }{\left( 1-C \textit{\Large e}^{4x} \right) }

\Rightarrow y = 2\frac{\left((1+C \textit{\Large e}^{4x} \right) }{\left(1-C \textit{\Large e}^{4x} \right)} -7x - 2