Interés Compuesto

Una vez que una persona ha depositado un monto de dinero en un banco, definimos una tasa de interés como un porcentaje del monto y que el banco retribuirá a la persona cada cierto periodo de tiempo. Formalmente, si una persona invierte un capital $P$ en un banco que ofrece una tasa de interés del $r$ por ciento, entonces, definimos el interés sobre este monto de la siguiente forma

$I = P \cdot \frac{r}{100}$

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Al estudiar el interés simple, hemos calculado los intereses con base en el capital inicial que se ha depositado en la cuenta, sin embargo, este no siempre será el caso, pues en ocasiones los intereses se calculan con base en el capital acumulado actualmente, a este tipo de interés se le conoce como interés compuesto, de forma que si el capital inicial es igual a $P_1$ , entonces tenemos que

Durante el transcurso del primer periodo, esta persona ha acumulado un capital de

$P_1$

Durante el transcurso del \textbf{segundo periodo}, esta persona ha generado un $r$ por ciento de intereses basado en el capital acumulado hasta el periodo anterior, es decir, durante este periodo ha acumulado un capital de $P_{2} = P_{1} + P_{1} \cdot \frac{r}{100}$ y una vez que hemos sacado $P_{1}$ como un factor común, obtenemos

Durante el transcurso del tercer periodo, esta persona ha generado un $r$ por ciento de intereses basado en el capital acumulado hasta el periodo anterior, es decir, durante este periodo ha acumulado un capital de $P_{3} = P_{2} + P_{2} \cdot \frac{r}{100}$ y una vez que hemos sacado $P_{2}$ como un factor común, obtenemos

Durante el transcurso del cuarto periodo, esta persona ha generado un $r$ por ciento de intereses basado en el capital acumulado hasta el periodo anterior, es decir, durante este periodo ha acumulado un capital de $P_{3} + P_{3} \cdot \frac{r}{100}$ y una vez que hemos sacado $P_{3}$ como un factor común, obtenemos

Durante el transcurso del n-ésimo periodo, esta persona ha generado un $r$ por ciento de intereses basado en el capital acumulado hasta el periodo anterior, es decir, durante este periodo ha acumulado un capital de $P_{n-1} + P_{n-1} \cdot \frac{r}{100}$ y una vez que hemos sacado $P_{n-1}$ como un factor común, obtenemos

De esta forma, tenemos que durante el transcurso del n-ésimo periodo, el capital acumulado está dado por

Notando entonces el capital acumulado durante el transcurso del n-ésimo periodo está determinando por una sucesión geométrica creciente, a esta expresión se le conoce como la fórmula de interés compuesto, al valor $P_1$ se le conoce como capital inicial y a $r$ se le conoce como la tasa interés. Veamos entonces algunos ejemplos donde podemos aplicar esta fórmula.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Suponga que una persona ha depositado un capital $P = 6010$ Ps. en un banco que ofrece una tasa de interés compuesto del 28.572 por ciento anual. Determine cuanto capital habrá acumulado esta persona durante el transcurso del año 10.

Aplicando la fórmula de interés compuesto, el valor de este bien viene dado de la siguiente manera:

$P_n = 6010 \cdot \left(1 + \frac{ 28.572 }{ 100 } \right)^{ 10 -1} = 57702.16$

Por lo tanto, el capital acumulado durante el transcurso del año 10 es de 57702.16 Ps.

Ejemplo 2

Suponga que una persona ha depositado un capital $P = 9442$ Ps. en un banco que ofrece una tasa de interés compuesto del 11.917 por ciento anual. Determine cuanto capital habrá acumulado esta persona durante el transcurso del año 7.

Aplicando la fórmula de interés compuesto, el valor de este bien viene dado de la siguiente manera:

$P_n = 9442 \cdot \left(1 + \frac{ 11.917 }{ 100 } \right)^{ 7 -1} = 18554.12$

Por lo tanto, el capital acumulado durante el transcurso del año 7 es de 18554.12 Ps.

Ejemplo 3

Suponga que una persona ha depositado un capital $P = 6095$ Ps. en un banco que ofrece una tasa de interés compuesto del 41.829 por ciento anual. Determine cuanto capital habrá acumulado esta persona durante el transcurso del año 2.

Aplicando la fórmula de interés compuesto, el valor de este bien viene dado de la siguiente manera:

$P_n = 6095 \cdot \left(1 + \frac{ 41.829 }{ 100 } \right)^{ 2 -1} = 8644.48$

Por lo tanto, el capital acumulado durante el transcurso del año 2 es de 8644.48 Ps.

Ejemplo 4

Suponga que una persona ha depositado un capital $P = 9778$ Ps. en un banco que ofrece una tasa de interés compuesto del 48.981 por ciento anual. Determine cuanto capital habrá acumulado esta persona durante el transcurso del año 3.

Aplicando la fórmula de interés compuesto, el valor de este bien viene dado de la siguiente manera:

$P_n = 9778 \cdot \left(1 + \frac{ 48.981 }{ 100 } \right)^{ 3 -1} = 21702.6$

Por lo tanto, el capital acumulado durante el transcurso del año 3 es de 21702.6 Ps.

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Determinar la fórmula general de interés compuesto

Considerando que la fórmula interés compuesto está determinada por una sucesión geométrica, es posible determinar la fórmula general de depreciación conociendo el valor que tuvo el bien en dos años distintos.

Formalmente, si consideramos el capital acumulado durante el transcurso de dos años distintos, digamos $P_i = P_1 \cdot \left(1 - \frac{r}{100} \right)^{(i-1)}$ y $P_j = P_1 \cdot \left(1 - \frac{r}{100} \right)^{(j-1)}$ , podemos determinar los valores de $P_1$ y de $r$ calculando la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

Veamos en los siguientes ejemplos como determinar la fórmula general de interés compuesto usando esta técnica.

Ejemplos

Ejemplo 5

Después de haber depositado capital en un banco que ofrece una tasa de interés compuesto, una persona acumuló $P_{3} = 6222$ durante el transcurso del año 3 y $P_{16} = 6609$ durante el transcurso del año 16. Determine la fórmula general de interés compuesto que determina el capital acumulado durante el $n$ -ésimo año.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones dividimos ambas ecuaciones, notando que $\frac{P_1}{P_1} = 1$ para obtener la siguiente ecuación

$\left( 1+\frac{r}{100} \right)^{(-13)} = \frac{2074}{2203}$

A partir de esta ecuación podemos despejar $r$ y para esto, elevamos ambos lados de la ecuación a la potencia $\frac{1}{-13}$ para obtener que

Una vez calculado $r$ , podemos sustituir $r$ en la ecuación de nuestra preferencia para calcular $P_1$ . Particularmente sustituimos $r$ en la primera ecuación y despejamos $P_1$

Finalmente, el capital inicial es $P_1 = \frac{980033331}{158980} \approx 6164.51$ y la tasa de interés compuesto es de $r = \frac{239661}{515134} \approx 0.47$ por ciento. Entonces podemos expresar la fórmula general que define el capital acumulado de la siguiente manera:

$P_n = \frac{980033331}{158980} \cdot \left(1 + \dfrac{ \frac{239661}{515134}}{100}\right)^{(n-1)}$

Ejemplo 6

Después de haber depositado capital en un banco que ofrece una tasa de interés compuesto, una persona acumuló $P_{5} = 4215$ durante el transcurso del año 5 y $P_{7} = 7212$ durante el transcurso del año 7. Determine la fórmula general de interés compuesto que determina el capital acumulado durante el $n$ -ésimo año.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones dividimos ambas ecuaciones, notando que $\frac{P_1}{P_1} = 1$ para obtener la siguiente ecuación

$\left( 1+\frac{r}{100} \right)^{(-2)} = \frac{1405}{2404}$

A partir de esta ecuación podemos despejar $r$ y para esto, elevamos ambos lados de la ecuación a la potencia $\frac{1}{-2}$ para obtener que

Una vez calculado $r$ , podemos sustituir $r$ en la ecuación de nuestra preferencia para calcular $P_1$ . Particularmente sustituimos $r$ en la primera ecuación y despejamos $P_1$

Finalmente, el capital inicial es $P_1 = \frac{252311386}{175249} \approx 1439.73$ y la tasa de interés compuesto es de $r = \frac{26209889}{850793} \approx 30.81$ por ciento. Entonces podemos expresar la fórmula general que define el capital acumulado de la siguiente manera:

$P_n = \frac{252311386}{175249} \cdot \left(1 + \dfrac{ \frac{26209889}{850793}}{100}\right)^{(n-1)}$

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Ejemplo 7

Después de haber depositado capital en un banco que ofrece una tasa de interés compuesto, una persona acumuló $P_{18} = 3488$ durante el transcurso del año 18 y $P_{20} = 9727$ durante el transcurso del año 20. Determine la fórmula general de interés compuesto que determina el capital acumulado durante el $n$ -ésimo año.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones dividimos ambas ecuaciones, notando que $\frac{P_1}{P_1} = 1$ para obtener la siguiente ecuación

$\left( 1+\frac{r}{100} \right)^{(-2)} = \frac{3488}{9727}$

A partir de esta ecuación podemos despejar $r$ y para esto, elevamos ambos lados de la ecuación a la potencia $\frac{1}{-2}$ para obtener que

Una vez calculado $r$ , podemos sustituir $r$ en la ecuación de nuestra preferencia para calcular $P_1$ . Particularmente sustituimos $r$ en la primera ecuación y despejamos $P_1$

Finalmente, el capital inicial es $P_1 = \frac{533896}{934977} \approx 0.57$ y la tasa de interés compuesto es de $r = \frac{55050488}{821721} \approx 66.99$ por ciento. Entonces podemos expresar la fórmula general que define el capital acumulado de la siguiente manera:

$P_n = \frac{533896}{934977} \cdot \left(1 + \dfrac{ \frac{55050488}{821721}}{100}\right)^{(n-1)}$

Ejemplo 8

Después de haber depositado capital en un banco que ofrece una tasa de interés compuesto, una persona acumuló $P_{2} = 3435$ durante el transcurso del año 2 y $P_{13} = 5854$ durante el transcurso del año 13. Determine la fórmula general de interés compuesto que determina el capital acumulado durante el $n$ -ésimo año.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones dividimos ambas ecuaciones, notando que $\frac{P_1}{P_1} = 1$ para obtener la siguiente ecuación

$\left( 1+\frac{r}{100} \right)^{(-11)} = \frac{3435}{5854}$

A partir de esta ecuación podemos despejar $r$ y para esto, elevamos ambos lados de la ecuación a la potencia $\frac{1}{-11}$ para obtener que

Una vez calculado $r$ , podemos sustituir $r$ en la ecuación de nuestra preferencia para calcular $P_1$ . Particularmente sustituimos $r$ en la primera ecuación y despejamos $P_1$

Finalmente, el capital inicial es $P_1 = \frac{3260072111}{996204} \approx 3272.49$ y la tasa de interés compuesto es de $r = \frac{4846307}{975937} \approx 4.97$ por ciento. Entonces podemos expresar la fórmula general que define el capital acumulado de la siguiente manera:

$P_n = \frac{3260072111}{996204} \cdot \left(1 + \dfrac{ \frac{4846307}{975937}}{100}\right)^{(n-1)}$

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¿Cuántos periodos?

Un aspecto importante de la fórmula de interés compuesto es que nos permite proyectar inversiones en un banco pues, una vez que se ha depositado una cantidad de dinero, es posible determinar los periodos que deben transcurrir hasta acumular un capital determinado. Veamos en los siguiente ejemplos como determinar esto.

Ejemplos

Ejemplo 9

Suponga que una persona ha depositado un capital $P = 4959$ Ps. en un banco que ofrece una tasa de interés compuesto del $r=40.554$ por ciento anual. Determine el año en que esta persona ha acumulado 48239.

Aplicando la fórmula de interés compuesto, el capital acumulado durante el transcurso del $n$ -ésimo año viene dado de la siguiente manera:

$P_n = 4959 \cdot \left( 1 + \frac{40.554}{100} \right)^{(n-1)}$

Nuestro propósito es determinar el valor de $n$ para el cual $P_n= 48239$ , es decir, para el cual $4959 \cdot \left( 1 - \frac{40.554}{100} \right)^{(n-1)} = 48239$ y para esto, despejamos $n$ .

Por lo tanto, habrá acumulado 48239 en aproximadamente 8 años.

Ejemplo 10

Suponga que una persona ha depositado un capital $P = 3115$ Ps. en un banco que ofrece una tasa de interés compuesto del $r=38.09$ por ciento anual. Determine el año en que esta persona ha acumulado 6548.

Aplicando la fórmula de interés compuesto, el capital acumulado durante el transcurso del $n$ -ésimo año viene dado de la siguiente manera:

$P_n = 3115 \cdot \left( 1 + \frac{38.09}{100} \right)^{(n-1)}$

Nuestro propósito es determinar el valor de $n$ para el cual $P_n= 6548$ , es decir, para el cual $3115 \cdot \left( 1 - \frac{38.09}{100} \right)^{(n-1)} = 6548$ y para esto, despejamos $n$ .

Por lo tanto, habrá acumulado 6548 en aproximadamente 3 años.

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Ejemplo 11

Suponga que una persona ha depositado un capital $P = 5882$ Ps. en un banco que ofrece una tasa de interés compuesto del $r=3.367$ por ciento anual. Determine el año en que esta persona ha acumulado 36886.

Aplicando la fórmula de interés compuesto, el capital acumulado durante el transcurso del $n$ -ésimo año viene dado de la siguiente manera:

$P_n = 5882 \cdot \left( 1 + \frac{3.367}{100} \right)^{(n-1)}$

Nuestro propósito es determinar el valor de $n$ para el cual $P_n= 36886$ , es decir, para el cual $5882 \cdot \left( 1 - \frac{3.367}{100} \right)^{(n-1)} = 36886$ y para esto, despejamos $n$ .

Por lo tanto, habrá acumulado 36886 en aproximadamente 56 años.

Ejemplo 12

Suponga que una persona ha depositado un capital $P = 7201$ Ps. en un banco que ofrece una tasa de interés compuesto del $r=41.714$ por ciento anual. Determine el año en que esta persona ha acumulado 50441.

Aplicando la fórmula de interés compuesto, el capital acumulado durante el transcurso del $n$ -ésimo año viene dado de la siguiente manera:

$P_n = 7201 \cdot \left( 1 + \frac{41.714}{100} \right)^{(n-1)}$

Nuestro propósito es determinar el valor de $n$ para el cual $P_n= 50441$ , es decir, para el cual $7201 \cdot \left( 1 - \frac{41.714}{100} \right)^{(n-1)} = 50441$ y para esto, despejamos $n$ .

Por lo tanto, habrá acumulado 50441 en aproximadamente 7 años.

Un comentario en “Interés Compuesto”

Matemáticas 31 – Sección 01 – Semestre B2021 – totumat dice:

30.10.2021 a las 3:34 pm

[…] Interés compuesto. […]

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¿Cuántos periodos?

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