Comportamiento de una sucesión

Las sucesiones pierden sentido si no se comparan sus elementos entre sí, pues su importancia radica en el comportamiento que estas describen a medida que crece el número natural con el que es correspondido cada elemento. Veamos entonces cuales son los principales comportamientos que podemos encontrar al estudiar sucesiones.

Sucesión Creciente

Diremos que una sucesión $a_n$ es creciente si a medida que crece el valor de $n$ , entonces crece su valor correspondiente. Formalmente, si $a_i \leq a_j$ para todo par de números naturales $i < j$ , y más aún, diremos que $a_n$ es estrictamente creciente si $a_i < a_j$ para todo par de números naturales $i < j$ . Una forma de ver el comportamiento de una sucesión es observando su gráfica en el plano cartesiano, veamos algunos ejemplos de este tipo de sucesiones:

Ejemplos

Ejemplo 1

Si consideramos la sucesión $\left\{ n \right\}_{n} =\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, \ldots \}$ , esta sucesión es creciente, más aún, es estrictamente creciente.

Ejemplo 2

Si consideramos la sucesión $\left\{ 1-\frac{1}{n} \right\}_{n} =\left\{ 0, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \ldots \right\}$ , esta sucesión es creciente, más aún, es estrictamente creciente.

Ejemplo 3

Si consideramos la sucesión $\left\{ -2 \right\}_{n} =\{ -2, -2, -2, -2, -2, -2, \ldots \}$ , esta sucesión es creciente, sin embargo, no es estrictamente creciente.

Sucesión Decreciente

Diremos que una sucesión $a_n$ es \textbf{decreciente} si a medida que crece el valor de $n$ , entonces decrece su valor correspondiente. Formalmente, si $a_i \leq a_j$ para todo par de números naturales $i > j$ , y más aún, diremos que $a_n$ es estrictamente creciente si $a_i < a_j$ para todo par de números naturales $i > j$ . Una forma de ver el comportamiento de una sucesión es observando su gráfica en el plano cartesiano, veamos algunos ejemplos de este tipo de sucesiones:

Ejemplos

Ejemplo 4

Si consideramos la sucesión $\left\{ -n \right\}_{n} =\{ -1, -2, -3, -4, -5, -6, \ldots \}$ , esta sucesión es decreciente, más aún, es estrictamente decreciente.

Ejemplo 5

Si consideramos la sucesión $\left\{ \frac{1}{n} \right\}_{n} = \left\{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \ldots \right\}$ , esta sucesión es decreciente, más aún, es estrictamente decreciente.

Ejemplo 6

Si consideramos la sucesión $\left\{ 1 \right\}_{n} = \{ 1, 1, 1, 1, 1, 1, \ldots \}$ , esta sucesión es creciente, sin embargo, no es estrictamente creciente.

Hay sucesiones que no son ni crecientes ni decrecientes, esto es lo que ocurre con los sucesiones alternantes, consideremos la sucesión $\left\{ (-1)^{n-1} \right\}_{n} =\{ 1, -1, 1, -1, 1, -1, \ldots \}$ y veamos su comportamiento de forma gráfica:

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Comportamiento de una sucesión

Sucesión Creciente

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Sucesión Decreciente

Ejemplos

Ejemplo 4

Ejemplo 5

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Sucesión Creciente

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Sucesión Decreciente

Ejemplos

Ejemplo 4

Ejemplo 5

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