Suma de los primeros n elementos de una sucesión geométrica

Las propiedades de las potencias establecen que al multiplicar dos números que tienen la misma base, se suman los exponentes, este hecho da pie para para calcular la suma de los primeros $n$ elementos de una sucesión geométrica. Formalmente, si consideramos $a_n$ una sucesión geométrica, definimos la suma de sus primeros $n$ elementos de la siguiente forma:

$S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n$

También pudiera interesarte

Anuncios

Para deducir la fórmula que define esta suma aplicaremos algunos artilugios matemáticos pues considerando que la sucesión es geométrica, cada elemento está definido como $a_i = a_1 \cdot r^{(i-1)}$ , para todo $i=1,\ldots,n$ . Por lo tanto, tenemos que

$S_n = a_1 + a_1 \cdot r + a_1 \cdot r^{2} + \ldots + a_1 \cdot r^{(n-1)}$

Si multiplicamos $S_n$ por $-r$ , cada uno de los sumandos involucrados será multiplicado por $-r$ , obteniendo que

$-r \cdot S_n = -a_1 \cdot r - a_1 \cdot r^{2} - a_1 \cdot r^{3} - \ldots - a_1 \cdot r^{n}$

Consideremos la resta $S_n - r \cdot S_n$

Por lo tanto concluimos que $S_n - r \cdot S_n = a_1 - a_1 \cdot r^{n}$ , entonces sacando factor común $S_n$ en el lado izquierdo de la ecuación y sacando factor común $a_1$ en el lado derecho de la ecuación, obtenemos que

$S_n \cdot (1 - r) = a_1 \left(1 - r^{n} \right)$

Finalmente, despejamos $S_n$ para obtener la fórmula que nos permite calcular la suma de los primero $n$ elementos de una sucesión geométrica

Veamos en los siguientes ejemplos como aplicar esta fórmula.

Anuncios

Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la sucesión $\{ 1 \cdot 2^{(n-1)} \}_{n} = \{1,2,4,8,16,32, \ldots \}$ . Calcule la suma de los primeros 15 términos.

La base de esta sucesión es $a_1 = 1$ y su razón es $r = 2$ . Por lo tanto, la forma general para calcular los primeros 15 términos de esta sucesión está expresada de la siguiente manera:

Ejemplo 2

Considerando la sucesión $\{ -33 \cdot 2^{(n-1)} \}_{n} = \{-33,-66,-132,-264,-528,-1056, \ldots \}$ . Calcule la suma de los primeros 13 términos.

La base de esta sucesión es $a_1 = -33$ y su razón es $r = 2$ . Por lo tanto, la forma general para calcular los primeros 13 términos de esta sucesión está expresada de la siguiente manera:

Ejemplo 3

Considerando la sucesión $\{ 78 \cdot 6^{(n-1)} \}_{n} = \{78,468,2808,16848,101088,606528, \ldots \}$ . Calcule la suma de los primeros 11 términos.

La base de esta sucesión es $a_1 = 78$ y su razón es $r = 6$ . Por lo tanto, la forma general para calcular los primeros 11 términos de esta sucesión está expresada de la siguiente manera:

Ejemplo 4

Considerando la sucesión $\{ 36 \cdot 8^{(n-1)} \}_{n} = \{36,288,2304,18432,147456,1179648, \ldots \}$ . Calcule la suma de los primeros 9 términos.

La base de esta sucesión es $a_1 = 36$ y su razón es $r = 8$ . Por lo tanto, la forma general para calcular los primeros 9 términos de esta sucesión está expresada de la siguiente manera:

Ejemplo 5

Considerando la sucesión $\{ -17 \cdot 10^{(n-1)} \}_{n} = \{-17,-170,-1700,-17000,-170000,-1700000, \ldots \}$ . Calcule la suma de los primeros 7 términos.

La base de esta sucesión es $a_1 = -17$ y su razón es $r = 10$ . Por lo tanto, la forma general para calcular los primeros 7 términos de esta sucesión está expresada de la siguiente manera:

Un comentario en “Suma de los primeros n elementos de una sucesión geométrica”

¿Tienes alguna duda? Compártela en los comentarios. Cancelar la respuesta

Introduce aquí tu comentario...

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Correo electrónico (obligatorio) (La dirección no se hará pública)

Nombre (obligatorio)

Web

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. ( Salir / Cambiar )

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. ( Salir / Cambiar )

Cancelar

Conectando a %s

totumat

¡Tu guía de matemáticas!