Suma de los primeros n elementos de una sucesión geométrica

Las propiedades de las potencias establecen que al multiplicar dos números que tienen la misma base, se suman los exponentes, este hecho da pie para para calcular la suma de los primeros n elementos de una sucesión geométrica. Formalmente, si consideramos a_n una sucesión geométrica, definimos la suma de sus primeros n elementos de la siguiente forma:

S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n

Para deducir la fórmula que define esta suma aplicaremos algunos artilugios matemáticos pues considerando que la sucesión es geométrica, cada elemento está definido como a_i = a_1 \cdot r^{(i-1)}, para todo i=1,\ldots,n. Por lo tanto, tenemos que

S_n = a_1 + a_1 \cdot r + a_1 \cdot r^{2} + \ldots + a_1 \cdot r^{(n-1)}

Si multiplicamos S_n por -r, cada uno de los sumandos involucrados será multiplicado por -r, obteniendo que

-r \cdot S_n = -a_1 \cdot r - a_1 \cdot r^{2} - a_1 \cdot r^{3} - \ldots - a_1 \cdot r^{n}

Consideremos la resta S_n - r \cdot S_n

Por lo tanto concluimos que S_n - r \cdot S_n = a_1 - a_1 \cdot r^{n}, entonces sacando factor común S_n en el lado izquierdo de la ecuación y sacando factor común a_1 en el lado derecho de la ecuación, obtenemos que

S_n \cdot (1 - r) = a_1 \left(1 - r^{n} \right)

Finalmente, despejamos S_n para obtener la fórmula que nos permite calcular la suma de los primero n elementos de una sucesión geométrica

Veamos en los siguientes ejemplos como aplicar esta fórmula.

Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la sucesión \{ 1 \cdot 2^{(n-1)} \}_{n} = \{1,2,4,8,16,32, \ldots \}. Calcule la suma de los primeros 15 términos.

La base de esta sucesión es a_1 = 1 y su razón es r = 2. Por lo tanto, la forma general para calcular los primeros 15 términos de esta sucesión está expresada de la siguiente manera:

Ejemplo 2

Considerando la sucesión \{ -33 \cdot 2^{(n-1)} \}_{n} = \{-33,-66,-132,-264,-528,-1056, \ldots \}. Calcule la suma de los primeros 13 términos.

La base de esta sucesión es a_1 = -33 y su razón es r = 2. Por lo tanto, la forma general para calcular los primeros 13 términos de esta sucesión está expresada de la siguiente manera:

Ejemplo 3

Considerando la sucesión \{ 78 \cdot 6^{(n-1)} \}_{n} = \{78,468,2808,16848,101088,606528, \ldots \}. Calcule la suma de los primeros 11 términos.

La base de esta sucesión es a_1 = 78 y su razón es r = 6. Por lo tanto, la forma general para calcular los primeros 11 términos de esta sucesión está expresada de la siguiente manera:

Ejemplo 4

Considerando la sucesión \{ 36 \cdot 8^{(n-1)} \}_{n} = \{36,288,2304,18432,147456,1179648, \ldots \}. Calcule la suma de los primeros 9 términos.

La base de esta sucesión es a_1 = 36 y su razón es r = 8. Por lo tanto, la forma general para calcular los primeros 9 términos de esta sucesión está expresada de la siguiente manera:

Ejemplo 5

Considerando la sucesión \{ -17 \cdot 10^{(n-1)} \}_{n} = \{-17,-170,-1700,-17000,-170000,-1700000, \ldots \}. Calcule la suma de los primeros 7 términos.

La base de esta sucesión es a_1 = -17 y su razón es r = 10. Por lo tanto, la forma general para calcular los primeros 7 términos de esta sucesión está expresada de la siguiente manera:


¿Tiendes dudas? ¿Requieres más ejemplos? No dudes en escribir.

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