Ecuaciones en Diferencias Finitas Lineales de Primer Orden

En el estudio de los fenómenos medidos de forma discreta a través del tiempo, resulta de particular interés relacionar de forma lineal lo ocurrido en el presente con lo ocurrido en el periodo inmediato anterior, es decir, lo ocurrido en un periodo $t$ con lo ocurrido en el periodo anterior $t-1$ . Para esto, definimos un tipo particular de Ecuaciones en Diferencias Finitas.

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Ecuaciones en Diferencias Finitas Lineales de Primer Orden

Una vez que hemos aprendido a clasificar las Ecuaciones en Diferencias, podemos empezar a estudiar los métodos para calcular la solución de estas y para esto, consideremos la forma más simple que podemos obtener a partir de la forma en que las hemos clasificado, esto es Ecuaciones en Diferencias Finitas Lineales Autónomas de Primer Orden, es decir, con coeficientes constantes.

Consideremos $a(t)$ , $b(t)$ y $c(t)$ , tres funciones que dependen únicamente de la variable $t$ . Entonces, definimos las ecuaciones no autónomas de la siguiente forma:

$a(t) y_{t+1} + b(t) y_{t} = c(t)$

Por otra parte, consideremos $a$ , $b$ y $c$ , números reales. Entonces, definimos las ecuaciones autónomas de la siguiente forma:

$ay_{t+1} + by_{t} = c$

A partir de esta igualdad, podemos manipular algebraicamente para notar que este tipo de ecuaciones se puede reescribir no como una relación implícita entre $y_{t+1}$ y $y_{t}$ sino como una expresión explícita para $y_{t+1} = f(y_{t})$ de la siguiente forma:

$y_{t+1} = p y_{t} + q$

Este tipo de expresiones se les conoce como relaciones de recurrencia, pues relaciona a toda observación directamente con la observación inmediatamente anterior y usualmente se usan para describir crecimientos poblacionales. Considerando este tipo de ecuaciones, veamos cuales son las condiciones que se deben cumplir para garantizar que existe una única solución.

Teorema de Existencia y Unicidad

Sea $y_{t+1}$ una sucesión de número naturales y sean $a$ , $b$ y $c$ números reales constantes para cualquier valor de $t$ . Considerando la siguiente ecuación en diferencias lineal de primer orden con coeficientes constantes

$ay_{t+1} + by_{t} = c$

Si fijamos un número real $k_0$ , entonces existe una única sucesión $y_t$ que es solución de la ecuación tal que si $t=0$ , entonces $y_0 = k_0$ , esto es lo que se conoce como la condición inicial.

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Ejemplo 1

Considere la Ecuación en Diferencias Lineal Autónoma de Primer Orden expresada de la siguiente manera con la condición inicial indicada:

$y_{t+1} = 2y_{t} + 5$ , con $y_0 = 10$

Antes desarrollar un método general que nos permita calcular la solución de este tipo de ecuaciones, veamos una idea intuitiva para calcular la solución de esta ecuación. Entonces, partiendo de la condición inicial, tenemos que

$y_{1} = 2y_{0} + 5 \Rightarrow y_{1} = 2 \cdot 10 + 5$

Efectuando estas últimas operaciones, podemos calcular el valor de $y_{1}$ pero debemos notar, que así como pudimos calcular $y_{1}$ a partir de $y_{0}$ , también podemos calcular $y_{2}$ a partir de $y_{1}$

$y_{2} = 2y_{1} + 5 \Rightarrow y_{2} = 2(2 \cdot 10 + 5)+5 \Rightarrow 2^2 \cdot 10 + 2 \cdot 5 + 5$

Siguiendo de esta forma, podemos calcular el valor de $y_{3}$ a partir de $y_{2}$

$y_{3} = 2y_{2} + 5 \Rightarrow y_{3} = 2( 2^2 \cdot 10 + 2 \cdot 5 + 5 )+5 \Rightarrow 2^3 \cdot 10 + 2^2 \cdot 5 + 2 \cdot 5 + 5$

Y así sucesivamente, podemos calcular los demás términos procediendo de forma recursiva. Finalmente, calculamos el término general $y_{t}$ de la siguiente forma:

$y_{t} = 2^t \cdot 10 + 2^{t-1} \cdot 5 + 2^{t-2} \cdot 5 + \ldots + 2^2 \cdot 5 + 2 \cdot 5 + 5$

Entonces, sacando a $5$ como un factor común, tenemos que

$y_{t} = 2^t \cdot 10 + (2^{t-1} + 2^{t-2} + \ldots + 2^2 + 2 + 1) \cdot 5$

Pero justamente, $2^{t-1} + 2^{t-2} + \ldots + 2^2 + 2 + 1$ es la suma de los primeros $t-1$ términos de una sucesión geométrica con razón igual a $2$ , por lo tanto, es igual a $\frac{1-2^t}{1-2} = 2^t-1$ . Así,

$y_{t} = 2^t \cdot 10 + (2^t-1) \cdot 5 = 2^t \cdot 10 + 2^t \cdot 5 - 5 = 2^t \cdot 15 - 5$

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La solución general

Considerando este último ejemplo, podemos plantear una fórmula general para la solución de este tipo de ecuaciones, pues al considerar una ecuación de la forma:

$y_{t+1} = p \cdot y_{t} + q$

Partiendo de la condición inicial $y_0$ , tenemos que

$y_{1} = p \cdot y_{0} + q$

Así como pudimos calcular $y_{1}$ a partir de $y_{0}$ , también podemos calcular $y_{2}$ a partir de $y_{1}$

$y_{2} = p \cdot y_{1} + q = p \cdot (p \cdot y_{0} + q) + q = p^2 \cdot y_{0} + p \cdot q + q$

Siguiendo de esta forma, podemos calcular el valor de $y_{3}$ a partir de $y_{2}$

$y_{3} = p \cdot y_{2} + q = p \cdot ( p^2 \cdot y_{0} + p \cdot q + q ) + q = p^3 \cdot y_{0} + p^2 \cdot q + p \cdot q + q$

Siguiendo de esta forma, podemos calcular el valor de $y_{4}$ a partir de $y_{2}$

$y_{4} = p \cdot y_{3} + q = p \cdot ( p^3 \cdot y_{0} + p^2 \cdot q + p \cdot q + q ) + q = p^4 \cdot y_{0} + p^3 \cdot q + p^2 \cdot q + p \cdot q + q$

Y así sucesivamente, podemos calcular los demás términos procediendo de forma recursiva. Finalmente, calculamos el término general $y_{t}$ de la siguiente forma:

$y_{t} = p^{t} \cdot y_{0} + p^{t-1} \cdot q + \ldots + p^{1} \cdot q + p^{0} \cdot q$

Entonces, sacando a $q$ como un factor común, tenemos que

$y_{t} = p^{t} \cdot y_{0} + ( p^{t-1} + \ldots + p^{1}+ p^{0} ) \cdot q$

Pero justamente, $p^{t-1} + \ldots + p^{1}+ p^{0}$ es la suma de los primeros $t-1$ términos de una sucesión geométrica con razón igual a $p$ , por lo tanto, es igual a $\frac{1-p^t}{1-p}$ . Así,

$y_{t} = p^t \cdot y_{0} + \frac{1-p^t}{1-p} \cdot q$

Esta última igualdad será reescrita para que posteriormente podamos identificar algunos elementos en ella, de la siguiente forma:

$y_{t} = p^t \cdot y_{0} + \left( 1-p^t \right) \left( \frac{q}{1-p} \right)$

Si consideramos la expresión $\frac{q}{1-p}$ y la llamamos $P_e$ , entonces, podemos reescribir esta última forma de la siguiente forma:

$y_{t} = p^t \cdot y_{0} + \left( 1-p^t \right) \cdot P_e$
$= p^t \cdot y_{0} + P_e - p^t \cdot P_e$
$= p^t \cdot \left( y_{0} - P_e \right) + P_e$

Podemos usar cualquier de estas dos últimas fórmulas para calcular la solución de cualquier ecuación en diferencias finitas expresadas de la forma $y_{t+1} = p \cdot y_{t} + q$ , así que veamos con algunos ejemplos, como aplicarla.

Ejemplos

Ejemplo 2

Considere la Ecuación en Diferencias Lineal Autónoma de Primer Orden expresada de la siguiente manera con la condición inicial indicada:

$y_{t+1} = -3y_{t} + 7, \text{ con } y_0 = \frac{2}{3}$

Entonces, aplicando la fórmula, identificamos los valores $p=3$ y $q=7$ para calcular la solución, de la siguiente forma:

$y_{t} = (-3)^t \cdot \frac{2}{3} + \left( 1-(-3)^t \right) \left( \frac{7}{4} \right)$

Ejemplo 3

Considere la Ecuación en Diferencias Lineal Autónoma de Primer Orden expresada de la siguiente manera con la condición inicial indicada:

$10y_{t+1} = 5y_{t} + 4, \text{ con } y_0 = 20$

Notemos que $y_{t+1}$ está multiplicado por el coeficiente $10$ , entonces, debemos estandarizar la ecuación dividiendo cada uno de los términos por este coeficiente $10$ para obtener:

$y_{t+1} = \frac{1}{2}y_{t} + \frac{2}{5}, \text{ con } y_0 = 20$

Entonces, aplicando la fórmula, identificamos los valores de $p=\frac{1}{2}$ y $q=\frac{2}{5}$ para calcular la solución, de la siguiente forma:

$y_{t} = \left( \frac{1}{2} \right)^t \cdot 20 + \left( 1-\left( \frac{1}{2} \right)^t \right) \left( \dfrac{4}{5} \right)$

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