Límite de una Sucesión

Al estudiar el comportamiento de diversas sucesiones, notaremos que existen sucesiones cuyos elementos parecieran acumularse alrededor de un solo punto a medida que crece el valor de n y es posible definir formalmente este comportamiento.

Diremos que una sucesión a_n es convergente, e incluso siendo más específicos, diremos que una sucesión converge hacia un número real L, si

Para todo número \varepsilon > 0, existe un número n_0 tal que si n > n_0 entonces |a_n - L| < \varepsilon

En este caso, diremos que L es el límite de la sucesión a_n o que a_n tiende a L. Esta afirmación se puede escribir con notación matemática para mayor comodidad de la siguiente forma:

\lim \ a_n = L

En caso contrario, diremos que la sucesión es no-convergente, y más aún, en el caso que la sucesión crezca de forma indefinida, diremos que la sucesión es divergente y lo escribimos de la siguiente forma:

\lim \ a_n = \infty

Nuestro propósito será el de determinar el límite de sucesiones, veamos entonces el límite de algunas sucesiones cuyo límite surge de forma intuitiva a partir de su comportamiento.

Ejemplos

Ejemplo 1

Determine el límite de la sucesión \{ 3 \}_{n}. Esta es una sucesión constante, así que

\lim \ 5 = 5

Ejemplo 2

Determine el límite de la sucesión \{ n \}_{n}. La sucesión de los números reales crece de forma indefinida por lo que está diverge, así que

\lim \ n = \infty

Ejemplo 3

Determine el límite de la sucesión \{ \frac{1}{n} \}_{n}. La sucesión de proporcionalidad inversa se acerca al cero a medida que crece el valor de n, así que

\lim \ \frac{1}{n} = 0

Ejemplo 4

Determine el límite de la sucesión \{ (-1)^n \}_{n}. Esta sucesión alternante no converge pues si consideramos los valores pares de n, la sucesión tiende a uno, por otra parte, si consideramos los valores impares de n, la sucesión tiende a menos uno, así que \lim \ (-1)^n no existe.


Si bien en estos ejemplos consideramos sucesiones donde a simple vista podemos estudiar su límite, no siempre será así, por esto es importante destacar que al calcular el límite de operaciones entre sucesiones, podemos definir algunas propiedades. Formalmente, si \{ a_n \}_n y \{ b_n \}_n son dos sucesiones cuyos límites son L y M y, c es un número real, entonces

Si bien estas propiedades aligeran el cálculo de límites, estos cálculos no presentará dificultad alguna cuando las sucesiones involucradas son convergentes. Veamos una lista de propiedades para tomar en cuenta cuando alguna de las sucesiones involucradas es divergente.

Si \{ a_n \} y \{ b_n \} son dos sucesiones divergentes; \{ c_n \} y \{ d_n \} dos sucesiones que tienden a c_0 \neq 0 y a cero respectivamente; entonces consideremos las siguientes operaciones

Suma

La resta de infinitos será indeterminada, porque aunque la noción de infinito se usa para denotar números muy grandes, no necesariamente representan un mismo número. También hay que considerar que hay sucesiones que crecen de forma distinta respecto a otras, por lo que al considerar la resta entre ellas, hay que estudiar cual de las dos crece con mayor rapidez.

Producto

El producto de cero por infinito será indeterminado. Hay que considerar que hay sucesiones que crecen o decrecen de forma distinta respecto a otras, por lo que al considerar el producto entre ellas, hay que estudiar cual de las dos crece o decrece con mayor rapidez.

División

La división entre infinitos será indeterminada, porque aunque la noción de infinito se usa para denotar números muy grandes, no necesariamente representan un mismo número. También hay que considerar que hay sucesiones que crecen de forma distinta respecto a otras, por lo que al considerar la división entre ellas, hay que estudiar cual de las dos crece con mayor rapidez. De igual forma, la división de cero entre infinito o infinito entre cero será indeterminada pues se debe considerar que hay sucesiones que crecen o decrecen de forma distinta respecto a otras, por lo que al considerar la división entre ellas, hay que estudiar cual de las dos crece o decrece con mayor rapidez.

Potencias

Intuitivamente lo que ocurre es que si se multiplica un número mayor que uno por él mismo de forma indefinida, este producto tenderá hacia al infinito; si se multiplica un número mayor que uno por él mismo de forma indefinida de forma indefinida, este producto tenderá hacia cero; si se multiplica el número uno por él mismo de forma indefinida, este producto será siempre igual a uno. Pero cuando una expresión tiende a uno se multiplica por ella misma de forma indefinida, ¿hacia donde tiende? ¿A cero? ¿A uno? ¿A infinito?

De esta lista de operaciones, se han etiquetado con (IND) los límites indeterminados, más adelante veremos cuales son las técnicas para determinarlos. Por ahora, veamos con algunos ejemplos como calcular este tipo de límites infinitos que no presentan problemas de determinación.

Ejemplos

Ejemplo 5

Considere la sucesión \left\{ n + 5 \right\}_{n}, calcule su límite cuando n tiende a infinito.

\lim \ n + 5 = \infty + 5 = \infty

Ejemplo 6

Considere la sucesión \left\{ 3n^2 - 12 \right\}_{n}, calcule su límite cuando n tiende a infinito.

\lim \ 3n^2 - 12 = 3 \cdot (\infty)^2 - 12 = 3 \cdot \infty - 12 = \infty - 12 = \infty

Ejemplo 7

Considere la sucesión \left\{ 3n^2 - 12 \right\}_{n}, calcule su límite cuando n tiende a infinito.

\lim \ 4n^3 + 6(n-14)^2 + 9 = 4(\infty)^3 + 6(\infty)^2 + 9 = 4 \cdot \infty + 6 \cdot \infty + 9 = \infty

Ejemplo 8

Considere la sucesión \left\{ \frac{1}{n} - \frac{3}{n} + 7 \right\}_{n}, calcule su límite cuando n tiende a infinito.

\lim \ \frac{1}{n} - \frac{3}{n+1} + 7 = \frac{1}{\infty} - \frac{3}{\infty} + 7 = 0 + 0+ 7 = 7

Ejemplo 9

Considere la sucesión \left\{ \sqrt{n} + \frac{11}{4n} + \sqrt[5]{n+3} \right\}_{n}, calcule su límite cuando n tiende a infinito.

\lim \ \sqrt{n} + \frac{11}{4n} + \sqrt[5]{n+3} = \sqrt{\infty} + \frac{11}{4 \cdot \infty} + \sqrt[5]{\infty+3} = \infty + 0 + \infty = \infty

Ejemplo 10

Considere la sucesión \left\{ (n+2)^{n^2-6} \right\}_{n}, calcule su límite cuando n tiende a infinito.

\lim \ (n+2)^{n^2-6} = (\infty+2)^{\infty^2-6} = \infty^{\infty} = \infty


Autor: Anthonny Arias

Coordinador de Matemáticas de la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales, Universidad de Los Andes, Mérida, Venezuela.

¿Tiendes dudas? ¿Requieres más ejemplos? No dudes en escribir.

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