Límite de una Sucesión

Al estudiar el comportamiento de diversas sucesiones, notaremos que existen sucesiones cuyos elementos parecieran acumularse alrededor de un solo punto a medida que crece el valor de n y es posible definir formalmente este comportamiento.

Diremos que una sucesión a_n es convergente, e incluso siendo más específicos, diremos que una sucesión converge hacia un número real L, si

Para todo número \varepsilon > 0, existe un número n_0 tal que si n > n_0 entonces |a_n - L| < \varepsilon

En este caso, diremos que L es el límite de la sucesión a_n o que a_n tiende a L. Esta afirmación se puede escribir con notación matemática para mayor comodidad de la siguiente forma:

\lim \ a_n = L

En caso contrario, diremos que la sucesión es no-convergente, y más aún, en el caso que la sucesión crezca de forma indefinida, diremos que la sucesión es divergente y lo escribimos de la siguiente forma:

\lim \ a_n = \infty

Nuestro propósito será el de determinar el límite de sucesiones, veamos entonces el límite de algunas sucesiones cuyo límite surge de forma intuitiva a partir de su comportamiento.

Ejemplos

Ejemplo 1

Determine el límite de la sucesión \{ 3 \}_{n}. Esta es una sucesión constante, así que

\lim \ 5 = 5

Ejemplo 2

Determine el límite de la sucesión \{ n \}_{n}. La sucesión de los números reales crece de forma indefinida por lo que está diverge, así que

\lim \ n = \infty

Ejemplo 3

Determine el límite de la sucesión \{ \frac{1}{n} \}_{n}. La sucesión de proporcionalidad inversa se acerca al cero a medida que crece el valor de n, así que

\lim \ \frac{1}{n} = 0

Ejemplo 4

Determine el límite de la sucesión \{ (-1)^n \}_{n}. Esta sucesión alternante no converge pues si consideramos los valores pares de n, la sucesión tiende a uno, por otra parte, si consideramos los valores impares de n, la sucesión tiende a menos uno, así que \lim \ (-1)^n no existe.


Si bien en estos ejemplos consideramos sucesiones donde a simple vista podemos estudiar su límite, no siempre será así, por esto es importante destacar que al calcular el límite de operaciones entre sucesiones, podemos definir algunas propiedades. Formalmente, si \{ a_n \}_n y \{ b_n \}_n son dos sucesiones cuyos límites son L y M y, c es un número real, entonces

Si bien estas propiedades aligeran el cálculo de límites, estos cálculos no presentará dificultad alguna cuando las sucesiones involucradas son convergentes. Veamos una lista de propiedades para tomar en cuenta cuando alguna de las sucesiones involucradas es divergente.

Si \{ a_n \} y \{ b_n \} son dos sucesiones divergentes; \{ c_n \} y \{ d_n \} dos sucesiones que tienden a c_0 \neq 0 y a cero respectivamente; entonces consideremos las siguientes operaciones

Suma

La resta de infinitos será indeterminada, porque aunque la noción de infinito se usa para denotar números muy grandes, no necesariamente representan un mismo número. También hay que considerar que hay sucesiones que crecen de forma distinta respecto a otras, por lo que al considerar la resta entre ellas, hay que estudiar cual de las dos crece con mayor rapidez.

Producto

El producto de cero por infinito será indeterminado. Hay que considerar que hay sucesiones que crecen o decrecen de forma distinta respecto a otras, por lo que al considerar el producto entre ellas, hay que estudiar cual de las dos crece o decrece con mayor rapidez.

División

La división entre infinitos será indeterminada, porque aunque la noción de infinito se usa para denotar números muy grandes, no necesariamente representan un mismo número. También hay que considerar que hay sucesiones que crecen de forma distinta respecto a otras, por lo que al considerar la división entre ellas, hay que estudiar cual de las dos crece con mayor rapidez. De igual forma, la división de cero entre infinito o infinito entre cero será indeterminada pues se debe considerar que hay sucesiones que crecen o decrecen de forma distinta respecto a otras, por lo que al considerar la división entre ellas, hay que estudiar cual de las dos crece o decrece con mayor rapidez.

Potencias

Intuitivamente lo que ocurre es que si se multiplica un número mayor que uno por él mismo de forma indefinida, este producto tenderá hacia al infinito; si se multiplica un número mayor que uno por él mismo de forma indefinida de forma indefinida, este producto tenderá hacia cero; si se multiplica el número uno por él mismo de forma indefinida, este producto será siempre igual a uno. Pero cuando una expresión tiende a uno se multiplica por ella misma de forma indefinida, ¿hacia donde tiende? ¿A cero? ¿A uno? ¿A infinito?

De esta lista de operaciones, se han etiquetado con (IND) los límites indeterminados, más adelante veremos cuales son las técnicas para determinarlos. Por ahora, veamos con algunos ejemplos como calcular este tipo de límites infinitos que no presentan problemas de determinación.

Ejemplos

Ejemplo 5

Considere la sucesión \left\{ n + 5 \right\}_{n}, calcule su límite cuando n tiende a infinito.

\lim \ n + 5 = \infty + 5 = \infty

Ejemplo 6

Considere la sucesión \left\{ 3n^2 - 12 \right\}_{n}, calcule su límite cuando n tiende a infinito.

\lim \ 3n^2 - 12 = 3 \cdot (\infty)^2 - 12 = 3 \cdot \infty - 12 = \infty - 12 = \infty

Ejemplo 7

Considere la sucesión \left\{ 3n^2 - 12 \right\}_{n}, calcule su límite cuando n tiende a infinito.

\lim \ 4n^3 + 6(n-14)^2 + 9 = 4(\infty)^3 + 6(\infty)^2 + 9 = 4 \cdot \infty + 6 \cdot \infty + 9 = \infty

Ejemplo 8

Considere la sucesión \left\{ \frac{1}{n} - \frac{3}{n} + 7 \right\}_{n}, calcule su límite cuando n tiende a infinito.

\lim \ \frac{1}{n} - \frac{3}{n+1} + 7 = \frac{1}{\infty} - \frac{3}{\infty} + 7 = 0 + 0+ 7 = 7

Ejemplo 9

Considere la sucesión \left\{ \sqrt{n} + \frac{11}{4n} + \sqrt[5]{n+3} \right\}_{n}, calcule su límite cuando n tiende a infinito.

\lim \ \sqrt{n} + \frac{11}{4n} + \sqrt[5]{n+3} = \sqrt{\infty} + \frac{11}{4 \cdot \infty} + \sqrt[5]{\infty+3} = \infty + 0 + \infty = \infty

Ejemplo 10

Considere la sucesión \left\{ (n+2)^{n^2-6} \right\}_{n}, calcule su límite cuando n tiende a infinito.

\lim \ (n+2)^{n^2-6} = (\infty+2)^{\infty^2-6} = \infty^{\infty} = \infty


Indeterminación uno a la infinito 1^∞

Hasta ahora hemos estudiado el límite de las operaciones básicas entre funciones, sin embargo, si consideramos dos funciones f(x) y g(x), entonces la función f(x)^{g(x)} cuando x tiende a infinito debe calcularse tomando tomando en cuenta que

\lim_{x \to \infty} f(x)^{g(x)} = 1^{\infty} está indeterminado.

La técnica para determinar este tipo de límites parte de la definición del número \textit{\large e} y es que podemos notar que si hacemos una simple sustitución en el siguiente límite, podemos notar que éste presenta una indeterminación

\lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x}\right)^x = \left( 1 + \frac{1}{\infty}\right)^{\infty} = (1 + 0)^{\infty} = 1^\infty

Afortunadamente, sabemos que éste límite define justamente al número \textit{\large e}, entonces

\lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x}\right)^x = \textit{\Large e}

Esta fórmula se puede generalizar aún más, pues si consideramos una función f(x) que tiende a infinito cuando x tiende a infinito, entonces

\lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{f(x)}\right)^{f(x)} = \textit{\Large e}

De esta forma, al toparnos con la indeterminación 1^{\infty} puede ser conveniente reescribir la expresión que define la función para obtener el número. Veamos en los siguientes ejemplos como determinar este tipo de límites.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Si consideramos \lim_{x \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{x}\right)^{x} = 1^{\infty}, este límite presenta una indeterminación. Notamos que este límite es levemente diferente al límite que define el número \textit{\large e}, así que tomando en cuenta la propiedad de las potencias \left(a^b\right)^c = a^{bc} entonces podemos reescribir el límite para encontrar la definición del número \textit{\large e} de la siguiente forma

\lim_{x \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{x}\right)^{x} = \lim_{x \to \infty} \left[ \left( 1 + \frac{1}{-x}\right)^{-x} \right]^{-1}

De esta forma, notamos que la expresión que está dentro de los corchetes es la definición del número \textit{\large e}, entonces al calcular el límite obtenemos

\textit{\large e}^{-1} = \frac{1}{\textit{\large e}}

Por lo tanto, concluimos que \lim_{x \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{x}\right)^{x} = \frac{1}{\textit{\large e}}


De forma general, si consideramos una función f(x) que tiende a infinito cuando x tiende a infinito, entonces

\lim_{x \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{f(x)}\right)^{f(x)} = \frac{1}{\textit{\Large e}}


Ejemplo 2

Si consideramos \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x}\right)^{2x} = 1^{\infty}, este límite presenta una indeterminación. Podemos reescribir de la siguiente forma

\lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x}\right)^{2x} = \lim_{x \to \infty} \left[ \left( 1 + \frac{1}{x}\right)^x \right]^2

De esta forma, notamos que la expresión que está dentro de los corchetes es la definición del número \textit{\large e}, entonces al calcular el límite obtenemos

\textit{\large e}^2

Por lo tanto, concluimos que \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x}\right)^{x} = \textit{\large e}^2

Ejemplo 3

Si consideramos \lim_{x \to \infty} \left( 1 - \frac{3}{x}\right)^{x} = 1^{\infty}, este límite presenta una indeterminación. Reescribimos el límite de la siguiente forma

\lim_{x \to \infty} \left( 1 - \frac{3}{x}\right)^{x} = \lim_{x \to \infty} \left[ \left( 1 - \frac{ \ 1 \ }{\frac{x}{3}}\right)^{\frac{x}{3}} \right]^{3}

De esta forma, notamos que la expresión que está dentro de los corchetes es la definición del número \textit{\large e}, entonces al calcular el límite obtenemos

\left[ \textit{\large e}^{-1} \right]^3 = \frac{1}{\textit{\large e}^3}

Por lo tanto, concluimos que \lim_{x \to \infty} \left( 1 - \frac{3}{x}\right)^{x} = \frac{1}{\textit{\large e}^3}

Ejemplo 4

Si consideramos \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x+1}{x}\right)^{x} = 1^{\infty}, este límite presenta una indeterminación. Reescribimos el límite de la siguiente forma

\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x+1}{x}\right)^{x} = \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x} + \frac{1}{x}\right)^{x} =\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} = \textit{\large e}


De forma general, si consideramos dos funciones f(x) y g(x) tales que \frac{f(x)}{g(x)} tiende a infinito cuando x tiende a infinito, entonces

\lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{ \ 1 \ }{\frac{f(x)}{g(x)}}\right)^{\frac{f(x)}{g(x)}} = \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{g(x)}{f(x)}\right)^{\frac{f(x)}{g(x)}} = \textit{\Large e}


Ejemplo 5

Si consideramos \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{x} = 1^{\infty}, este límite presenta una indeterminación. Notamos a diferencia del ejemplo anterior, la solución no es tan simple como separar las sumas de fracciones. Así que reescribimos sumando y restando uno en el límite de la siguiente forma

\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{x} = \lim_{x \to \infty} \left(1 - 1 + \frac{x+1}{x-1}\right)^{x} = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{x+1}{x-1} -1 \right)^{x}

Efectuamos la suma de fracciones para obtener

\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{(x+1) - (x-1)}{x-1}\right)^{x} = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x-1}\right)^{x}

Ahora multiplicamos y dividimos en el exponente por los factores 2 y x-1 para luego conservar la expresión de nuestro interés,

\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x-1}\right)^{x \cdot \frac{2}{2} \cdot \frac{x-1}{x-1}} = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x-1}\right)^{\frac{x-1}{2} \cdot \frac{2}{x-1} \cdot x}

Aplicamos entonces las propiedades de la potencia de la siguiente manera y obtenemos

\lim_{x \to \infty} \left[ \left(1 + \frac{2}{x-1}\right)^{\frac{x-1}{2}} \right]^{\frac{2x}{x-1}}

Notando que la expresión que está dentro de los corchetes es la definición del número \textit{\large e} y considerando que en el exponente el polinomio en el numerador y el polinomio en el denominador tienen el mismo grado, el límite será igual al cociente entre sus coeficientes principales, entonces al calcular el límite el resultado será

\textit{\Large e}^{\lim_{x \to \infty} \frac{2x}{x-1}} = \textit{\Large e}^2

Por lo tanto, concluimos que \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{x} = \textit{\large e}^2


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Una fórmula general

Este tipo de límites no presentan mayor complicación al calcularlos y aunque esta técnica es bastante amplia, encontraremos ocasiones en las que podemos recurrir a métodos más sofisticados pues la técnica que hemos usado hasta ahora puede resultar engorrosa. Veamos entonces, la siguiente serie de igualdades para determinar una fórmula que nos permita calcular este tipo de límites.

\lim_{x \to \infty} f(x)^{g(x)}

= \lim_{x \to \infty} \left( 1 + f(x) -1 \right)^{g(x)}

= \lim_{x \to \infty} \left( 1 + f(x) -1 \right)^{g(x) \cdot \frac{f(x) -1}{f(x) -1}}

= \lim_{x \to \infty} \left( 1 + f(x) -1 \right)^{\frac{1}{f(x) -1} \cdot g(x) (f(x) -1)}

= \lim_{x \to \infty} \left[ \left( 1 + f(x) -1 \right)^{\frac{1}{f(x) -1}} \right]^{g(x) (f(x) -1)}

= \textit{\large e}^{\lim_{x \to \infty} g(x) (f(x) -1)}

Por lo tanto, tenemos que

\lim_{x \to \infty} f(x)^{g(x)} = \textit{\huge e}^{\lim_{x \to \infty} g(x) (f(x) -1)}

Veamos en los siguientes ejemplos como determinar este tipo de límites.

Ejemplo 6

Si consideramos \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2 + 3}{x^2 - x} \right)^{5x + 2} = 1^{\infty}, este límite presenta una indeterminación. Entonces, aplicando la fórmula, tenemos que

\lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2 + 3}{x^2 - x} \right)^{5x + 2} = \textit{\huge e}^{\lim_{x \to \infty} (5x+2) \left(\frac{x^2 + 3}{x^2 - x} - 1 \right) }

Entonces, basta con determinar el límite \lim_{x \to \infty} (5x+2) \left(\frac{x^2 + 3}{x^2 - x} - 1 \right) = 0 \cdot \infty, para esto efectuamos la suma de fracciones para obtener

\lim_{x \to \infty} (5x+2) \left(\frac{x^2 + 3- (x^2 - x)}{x^2 - x} \right) = \lim_{x \to \infty} (5x+2) \left(\frac{3+x}{x^2 - x} \right)

Posteriormente efectuamos el producto entre los numeradores aplicando la propiedad distributiva, y obtenemos

\lim_{x \to \infty} \frac{15x + 5x^2 + 6 +2x}{x^2 - x} = \lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 +17x +6}{x^2 - x}

Y considerando que el polinomio en el numerador y el polinomio en el denominador tienen el mismo grado, el límite será igual al cociente entre sus coeficientes principales, es decir, \lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 +17x +6}{x^2 - x} = 5. Por lo tanto, concluimos que

\lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2 + 3}{x^2 - x} \right)^{5x + 2} = \textit{\huge e}^{5}


Indeterminación cero por infinito 0*∞

Si f(x) y g(x) son dos funciones cuyos límites tienden a infinito y a cero, respectivamente cuando x tiende al infinito, entonces el límite del producto de estas dos funciones presenta una indeterminación. La forma en que se determinan este tipo de límites consiste en reescribir la expresión para obtener una indeterminación de la forma \frac{\infty}{\infty} y usar las técnicas usadas para estos casos. Veamos en los siguientes ejemplos como determinar este tipo de límites

Ejemplos

Ejemplo 1

Si consideramos \lim_{x \to \infty} \left(\frac{1}{\sqrt{4x^2 - 7}} \right) 6x = 0 \cdot \infty, este presenta una indeterminación. Multiplicamos el producto entre las fracciones y posteriormente aplicamos la técnica que hemos visto anteriormente

\lim_{x \to \infty} \frac{6x}{\sqrt{4x^2 - 7}} = \lim_{x \to \infty} \frac{6x}{\sqrt{4x^2 - 7}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6x}{x}}{\sqrt{4\frac{x^2}{x^2} -\frac{7}{x}}} = \lim_{x \to \infty} \frac{6}{\sqrt{4 -\frac{7}{x^2}}}

Y al evaluar el límite obtenemos

\frac{6}{\sqrt{4-0}} = \frac{6}{\sqrt{4}} = \frac{6}{2} = 3

Por lo tanto, concluimos que \lim_{x \to \infty} \left(\frac{1}{\sqrt{4x^2 - 7}} \right) 6x = 3

Ejemplo 2

Si consideramos \lim_{x \to \infty} (5x+2) \left(\frac{x^2 + 3}{x^2 - x} - 1 \right) = 0 \cdot \infty, este presenta una indeterminación. Efectuamos la suma de fracciones para obtener

\lim_{x \to \infty} (5x+2) \left(\frac{x^2 + 3- (x^2 - x)}{x^2 - x} \right) = \lim_{x \to \infty} (5x+2) \left(\frac{3+x}{x^2 - x} \right)

Posteriormente efectuamos el producto entre los numeradores aplicando la propiedad distributiva, y obtenemos

\lim_{x \to \infty} \frac{15x + 5x^2 + 6 +2x}{x^2 - x} = \lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 +17x +6}{x^2 - x}

Y considerando que el polinomio en el numerador y el polinomio en el denominador tienen el mismo grado, el límite será igual al cociente entre sus coeficientes principales, por lo tanto, concluimos que \lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 +17x +6}{x^2 - x} = 15

Indeterminación infinito menos infinito ∞-∞

Si f(x) y g(x) son dos funciones cuyos límites tienden a infinito cuando x tiende al infinito, entonces el límite de la resta entre estas dos funciones presenta una indeterminación. Para entender como determinar este tipo de límites debemos considerar el grado de las funciones involucradas pues el crecimiento de la función de mayor grado predominará sobre el crecimiento de las funciones de menor grado en el infinito, de esta forma determinamos este tipo de límite de la siguiente manera

Ejemplos

Ejemplo 1

Si consideramos \lim_{x \to \infty} x^2 - x = \infty - \infty , este presenta una indeterminación pero al ser 2 el mayor grado, entonces tenemos que

\lim_{x \to \infty} x^2 - x = \infty

Ejemplo 2

Si consideramos \lim_{x \to \infty} 6\sqrt[3]{x+1} - 7x^5 + 6 = \infty - \infty , este presenta una indeterminación pero al ser 5 el mayor grado, entonces tenemos que

\lim_{x \to \infty} 6\sqrt[3]{x+1} - 7x^5 + 6 = -\infty

Ejemplo 3

Si consideramos \lim_{x \to \infty} \sqrt[5]{x^7 - 3} - \ln(x) + 9 = \infty - \infty , este presenta una indeterminación pero al ser \frac{7}{5} el mayor grado, entonces tenemos que

\lim_{x \to \infty} \sqrt[5]{x^7 - 3} - \ln(x) + 9 = \infty

Ejemplo 4

Si consideramos \lim_{x \to \infty} \text{\large e}^x - 8x^{20} - 15 = \infty - \infty , este presenta una indeterminación pero al ser función exponencial de mayor grado, entonces tenemos que

\lim_{x \to \infty} \text{\large e}^x - 8x^{20} - 15 = \infty

Ejemplo 5

Si consideramos \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 1}{x} - x^3 - 3 = \infty - \infty , este presenta una indeterminación pero al ser 3 el mayor grado, entonces tenemos que

\lim_{x \to \infty} \frac{x^4 + 1}{x} - x^2 - 3 = -\infty


Estos ejemplos no presentan mayor dificultad para determinarlos debido a que la diferencia entre los grados es clara, así que consideraremos otros ejemplos en los que el grado de las funciones es el mismo. Veamos cuales son las técnicas para determinarlos.

Límite que involucra una función radical

Si consideramos \lim_{x \to \infty} \sqrt{x-1} - \sqrt{x+1} = \infty - \infty, este límite presenta una indeterminación. Para determinar este tipo de límites, debemos notar que el \emph{conflicto} es generado por la resta entre cada elemento de la función. Consideremos el conjugado de esta expresión \left( \sqrt{x-1} + \sqrt{x+1} \right) para multiplicar y dividir por la función, entonces

\lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x-1} - \sqrt{x+1} \right) \cdot \frac{\left( \sqrt{x-1} + \sqrt{x+1} \right)}{\left( \sqrt{x-1} + \sqrt{x+1} \right)}

Al multiplicar la expresión \left( \sqrt{x-1} + \sqrt{x+1} \right) por su conjugado obtenemos una diferencia de cuadrados, así que el límite se reescribe de la siguiente forma

\lim_{x \to \infty} \frac{\left( \sqrt{x-1} \right)^2 - \left( \sqrt{x+1} \right)^2}{\left( \sqrt{x-1} + \sqrt{x+1} \right)}

Posteriormente simplificamos y efectuamos las operaciones en el numerador para obtener

\lim_{x \to \infty} \frac{\left( x-1 \right) - \left( x+1 \right)}{\left( \sqrt{x-1} + \sqrt{x+1} \right)} = \lim_{x \to \infty} \frac{-2}{\left( \sqrt{x-1} + \sqrt{x+1} \right)}

Una vez que evaluamos el límite tenemos que

\frac{-2}{\infty + \infty} = \frac{-2}{\infty} = 0

Por lo tanto, concluimos que \lim_{x \to \infty} \sqrt{x-1} - \sqrt{x+1} = 0

Límite que involucra una función exponencial

Si consideramos \lim_{x \to \infty} \text{\large e}^{5x+7} - \text{\large e}^{2x-3} = \infty - \infty, este límite presenta una indeterminación. Para determinar este tipo de límites, debemos recurrir a las propiedades de las potencias y notar que \text{\large e}^{5x+7} = \text{\large e}^{5x} \cdot \text{\large e}^{7} y \text{\large e}^{2x-3} = \text{\large e}^{2x} \cdot \text{\large e}^{-3}, de esta el límite será igual a

\lim_{x \to \infty} \text{\large e}^{5x} \cdot \text{\large e}^{7} - \text{\large e}^{2x} \cdot \text{\large e}^{-3}

Notando además, que \text{\large e}^{5x} = \text{\large e}^{2x} \cdot \text{\large e}^{3x}, obtenemos

\lim_{x \to \infty} \text{\large e}^{2x} \cdot \text{\large e}^{3x} \cdot \text{\large e}^{7} - \text{\large e}^{2x} \cdot \text{\large e}^{-3} = \lim_{x \to \infty} \text{\large e}^{2x} \cdot \left( \text{\large e}^{3x} \cdot \text{\large e}^{7} - \text{\large e}^{-3} \right)

Por lo tanto, al evaluar el límite tenemos que

\lim_{x \to \infty} \infty \cdot \infty = \infty

Por lo tanto, concluimos que \lim_{x \to \infty} \text{\large e}^{5x+7} - \text{\large e}^{2x-3} = \infty

Límite que involucra una función logarítmica

Si consideramos \lim_{x \to \infty} \ln(15x-9) - \ln(3x+4) = \infty - \infty, este límite presenta una indeterminación. Para determinar este tipo de límites, debemos recurrir a las propiedades de los logaritmos y notar que \ln(a) - \ln(b) = \ln \left( \frac{a}{b} \right), de esta el límite será igual a

\lim_{x \to \infty} \ln \left( \frac{15x-9}{3x+4} \right)

Si nos fijamos que el cociente que está dentro de logaritmo es un cociente de polinomios del mismo grado, entonces su límite será igual a la división entre sus coeficientes principales, de esta forma, el límite de este cociente es igual \frac{15}{3} = 5, por lo tanto concluimos que

\lim_{x \to \infty} \ln(15x-9) - \ln(3x+4) = \ln(5)

Indeterminación Infinito sobre Infinito ∞/∞ (2 de 2)

Vimos que al considerar el cociente entre polinomios cuando la variable x tiende infinito, se puede determinar el límite considerando el grado de los polinomios. Esta situación se puede generalizar para cualquier cociente entre funciones considerando el grado de ambas funciones. Veamos entonces con los siguientes ejemplos como determinar este tipo de límites.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Si consideramos \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x} + 1}{x+1} = \frac{\infty}{\infty}, este límite presenta una indeterminación pero considerando que el grado de la función en el numerador es igual a \frac{1}{2} y el grado del denominador es igual a 1 entonces

\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x} + 1}{x+1} = 0

Ejemplo 2

Si consideramos \lim_{x \to \infty} \frac{\text{\large e}^x + x^2 + 5}{2x^7 + 3x^5 + x} = \frac{\infty}{\infty}, este límite presenta una indeterminación pero considerando que el grado de la función en el numerador es exponencial y el grado del denominador es igual a 7 entonces

\lim_{x \to \infty} \frac{\text{\large e}^x + x^2 + 5}{2x^7 + 3x^5 + x} = \infty

Ejemplo 3

Si consideramos \lim_{x \to \infty} \frac{x + 100}{\ln(x) + 20} = \frac{\infty}{\infty}, este límite presenta una indeterminación pero considerando que el grado de la función en el numerador es igual a 1 y el grado del denominador es logarítmico entonces

\lim_{x \to \infty} \frac{x + 100}{\ln(x) + 20} = \infty

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¿Y si el grado es el mismo?

Si bien estos ejemplos no presentan mayor complicación para determinarlos debido a que la diferencia entre los grados es clara, vale la pena considerar otros ejemplos en los que el grado de las funciones es el mismo. La técnica no será muy distinta a la que usamos para determinar los límites de cocientes entre polinomios pues dividiremos siempre el numerador y el denominador por la función elemental de mayor grado involucrada en el límite.

Límite que involucra una función radical

Si consideramos \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9x+5} - 7}{\sqrt{3x-25} + 8} = \frac{\infty}{\infty}, este límite presenta una indeterminación pero considerando que el grado en ambos miembros de la fracción es \frac{1}{2}, entonces dividimos el numerador y el denominador por \sqrt{x}

\lim_{x \to \infty} \dfrac{\frac{\sqrt{9x+5} - 7}{\sqrt{x}}}{\frac{\sqrt{4x-25} + 8}{\sqrt{x}}}

Una vez que hemos dividido, separamos la suma en los numeradores de cada fracción de la siguiente forma

\lim_{x \to \infty} \dfrac{\frac{\sqrt{9x+5}}{\sqrt{x}} - \frac{7}{\sqrt{x}}}{\frac{\sqrt{4x-25}}{\sqrt{x}} + \frac{8}{\sqrt{x}}}

Notamos además, que podemos combinar las raíces cuadradas de la siguiente manera

\lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{\frac{9x+5}{x}} - \frac{7}{\sqrt{x}}}{\sqrt{\frac{4x-25}{x}} + \frac{8}{\sqrt{x}}}

Simplificamos entonces cada una de las fracciones generadas de la misma forma que las hemos simplificado anteriormente, para obtener

\lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{9+\frac{5}{x}} - \frac{7}{\sqrt{x}}}{\sqrt{4-\frac{25}{x}} + \frac{8}{\sqrt{x}}}

Calculamos entonces el límite de cada uno de las expresiones involucradas, teniendo en cuenta que \lim_{x \to \infty} \frac{a}{x} = 0 y \lim_{x \to \infty} \frac{a}{\sqrt{x}} = 0 (con a \neq 0), así el límite será igual a

\dfrac{\sqrt{9+0} - 0}{\sqrt{4-0} + 0} = \dfrac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}} = \dfrac{3}{2}

Por lo tanto concluimos que \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9x+5} - 7}{\sqrt{3x-25} + 8} = \frac{3}{2}

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Al considerar funciones algebraicas es más intuitiva la simplificación de las expresiones, sin embargo, al considerar funciones trascendentales esta simplificación no es tan obvia, es por eso que en los siguientes ejemplos veremos algunos casos donde podemos determinar los límites de forma intuitiva.

Límite que involucra una función exponencial

Si consideramos \lim_{x \to \infty} \frac{10 \text{\large e}^x + 3x + 2}{5\text{\large e}^x + x^2-7} = \frac{\infty}{\infty}, este límite presenta una indeterminación pero considerando que el grado en ambos miembros de la fracción es exponencial, entonces dividimos el numerador y el denominador por \text{\large e}^x

\lim_{x \to \infty} \dfrac{\frac{10 \text{\large e}^x + 3x + 2}{\text{\large e}^x}}{\frac{5\text{\large e}^x + x^2-7}{\text{\large e}^x}}

Una vez que hemos dividido, separamos la suma en los numeradores de cada fracción de la siguiente forma

\lim_{x \to \infty} \dfrac{ 10\frac{\text{\large e}^x}{\text{\large e}^x} + \frac{3x}{\text{\large e}^x} + \frac{2}{\text{\large e}^x}}{5 \frac{\text{\large e}^x}{\text{\large e}^x} + \frac{x^2}{\text{\large e}^x}-\frac{7}{\text{\large e}^x}}

Simplificamos entonces cada una de las fracciones generadas, para obtener

\lim_{x \to \infty} \dfrac{ 10 + 3\frac{x}{\text{\large e}^x} + \frac{2}{\text{\large e}^x}}{5 + \frac{x^2}{\text{\large e}^x}-\frac{7}{\text{\large e}^x}}

Calculamos entonces el límite de cada uno de los sumandos involucrados, teniendo en cuenta que \lim_{x \to \infty} \frac{a}{\text{\large e}^x} = 0 (con a \neq 0), \frac{x}{\text{\large e}^x} = 0 y \frac{x^2}{\text{\large e}^x} = 0, así el límite será igual a

\frac{10 + 0 + 0}{5 + 0 - 0} = \frac{10}{5} = 2

Por lo tanto concluimos que \lim_{x \to \infty} \frac{10 \text{\large e}^x + 3x + 2}{5\text{\large e}^x + x^2-7} = 2

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Límite que involucra una función logarítmica

Si consideramos \lim_{x \to \infty} \frac{14 \ln(x) + 3}{5\ln(x) - 25} = \frac{\infty}{\infty}, este límite presenta una indeterminación pero considerando que el grado en ambos miembros de la fracción es exponencial, entonces dividimos el numerador y el denominador por \ln(x)

\lim_{x \to \infty} \dfrac{\frac{14 \ln(x) + 3}{\ln(x)}}{\frac{5\ln(x) - 25}{\ln(x)}}

Una vez que hemos dividido, separamos la suma en los numeradores de cada fracción de la siguiente forma

\lim_{x \to \infty} \dfrac{ 14\frac{\ln(x)}{\ln(x)} + \frac{3}{\ln(x)}}{5 \frac{\ln(x)}{\ln(x)} - \frac{25}{\ln(x)}}

Simplificamos entonces cada una de las fracciones generadas, para obtener

\lim_{x \to \infty} \dfrac{ 14 + \frac{3}{\ln(x)}}{5 - \frac{25}{\ln(x)}}

Calculamos entonces el límite de cada uno de los sumandos involucrados, teniendo en cuenta que \lim_{x \to \infty} \frac{a}{\ln(x)} = 0 (con a \neq 0), así el límite será igual a

\frac{14 + 0}{5 - 0} = \frac{14}{5}

Por lo tanto concluimos que \lim_{x \to \infty} \frac{14 \ln(x) + 3}{5\ln(x) - 25} = \frac{14}{5}