Límite de una Sucesión

Al estudiar el comportamiento de diversas sucesiones, notaremos que existen sucesiones cuyos elementos parecieran acumularse alrededor de un solo punto a medida que crece el valor de n y es posible definir formalmente este comportamiento.

Diremos que una sucesión a_n es convergente, e incluso siendo más específicos, diremos que una sucesión converge hacia un número real L, si

Para todo número \varepsilon > 0, existe un número n_0 tal que si n > n_0 entonces |a_n - L| < \varepsilon

En este caso, diremos que L es el límite de la sucesión a_n o que a_n tiende a L. Esta afirmación se puede escribir con notación matemática para mayor comodidad de la siguiente forma:

\lim \ a_n = L

En caso contrario, diremos que la sucesión es no-convergente, y más aún, en el caso que la sucesión crezca de forma indefinida, diremos que la sucesión es divergente y lo escribimos de la siguiente forma:

\lim \ a_n = \infty

Nuestro propósito será el de determinar el límite de sucesiones, veamos entonces el límite de algunas sucesiones cuyo límite surge de forma intuitiva a partir de su comportamiento.

Ejemplos

Ejemplo 1

Determine el límite de la sucesión \{ 3 \}_{n}. Esta es una sucesión constante, así que

\lim \ 5 = 5

Ejemplo 2

Determine el límite de la sucesión \{ n \}_{n}. La sucesión de los números reales crece de forma indefinida por lo que está diverge, así que

\lim \ n = \infty

Ejemplo 3

Determine el límite de la sucesión \{ \frac{1}{n} \}_{n}. La sucesión de proporcionalidad inversa se acerca al cero a medida que crece el valor de n, así que

\lim \ \frac{1}{n} = 0

Ejemplo 4

Determine el límite de la sucesión \{ (-1)^n \}_{n}. Esta sucesión alternante no converge pues si consideramos los valores pares de n, la sucesión tiende a uno, por otra parte, si consideramos los valores impares de n, la sucesión tiende a menos uno, así que \lim \ (-1)^n no existe.


Si bien en estos ejemplos consideramos sucesiones donde a simple vista podemos estudiar su límite, no siempre será así, por esto es importante destacar que al calcular el límite de operaciones entre sucesiones, podemos definir algunas propiedades. Formalmente, si \{ a_n \}_n y \{ b_n \}_n son dos sucesiones cuyos límites son L y M y, c es un número real, entonces

Si bien estas propiedades aligeran el cálculo de límites, estos cálculos no presentará dificultad alguna cuando las sucesiones involucradas son convergentes. Veamos una lista de propiedades para tomar en cuenta cuando alguna de las sucesiones involucradas es divergente.

Si \{ a_n \} y \{ b_n \} son dos sucesiones divergentes; \{ c_n \} y \{ d_n \} dos sucesiones que tienden a c_0 \neq 0 y a cero respectivamente; entonces consideremos las siguientes operaciones

Suma

La resta de infinitos será indeterminada, porque aunque la noción de infinito se usa para denotar números muy grandes, no necesariamente representan un mismo número. También hay que considerar que hay sucesiones que crecen de forma distinta respecto a otras, por lo que al considerar la resta entre ellas, hay que estudiar cual de las dos crece con mayor rapidez.

Producto

El producto de cero por infinito será indeterminado. Hay que considerar que hay sucesiones que crecen o decrecen de forma distinta respecto a otras, por lo que al considerar el producto entre ellas, hay que estudiar cual de las dos crece o decrece con mayor rapidez.

División

La división entre infinitos será indeterminada, porque aunque la noción de infinito se usa para denotar números muy grandes, no necesariamente representan un mismo número. También hay que considerar que hay sucesiones que crecen de forma distinta respecto a otras, por lo que al considerar la división entre ellas, hay que estudiar cual de las dos crece con mayor rapidez. De igual forma, la división de cero entre infinito o infinito entre cero será indeterminada pues se debe considerar que hay sucesiones que crecen o decrecen de forma distinta respecto a otras, por lo que al considerar la división entre ellas, hay que estudiar cual de las dos crece o decrece con mayor rapidez.

Potencias

Intuitivamente lo que ocurre es que si se multiplica un número mayor que uno por él mismo de forma indefinida, este producto tenderá hacia al infinito; si se multiplica un número mayor que uno por él mismo de forma indefinida de forma indefinida, este producto tenderá hacia cero; si se multiplica el número uno por él mismo de forma indefinida, este producto será siempre igual a uno. Pero cuando una expresión tiende a uno se multiplica por ella misma de forma indefinida, ¿hacia donde tiende? ¿A cero? ¿A uno? ¿A infinito?

De esta lista de operaciones, se han etiquetado con (IND) los límites indeterminados, más adelante veremos cuales son las técnicas para determinarlos. Por ahora, veamos con algunos ejemplos como calcular este tipo de límites infinitos que no presentan problemas de determinación.

Ejemplos

Ejemplo 5

Considere la sucesión \left\{ n + 5 \right\}_{n}, calcule su límite cuando n tiende a infinito.

\lim \ n + 5 = \infty + 5 = \infty

Ejemplo 6

Considere la sucesión \left\{ 3n^2 - 12 \right\}_{n}, calcule su límite cuando n tiende a infinito.

\lim \ 3n^2 - 12 = 3 \cdot (\infty)^2 - 12 = 3 \cdot \infty - 12 = \infty - 12 = \infty

Ejemplo 7

Considere la sucesión \left\{ 3n^2 - 12 \right\}_{n}, calcule su límite cuando n tiende a infinito.

\lim \ 4n^3 + 6(n-14)^2 + 9 = 4(\infty)^3 + 6(\infty)^2 + 9 = 4 \cdot \infty + 6 \cdot \infty + 9 = \infty

Ejemplo 8

Considere la sucesión \left\{ \frac{1}{n} - \frac{3}{n} + 7 \right\}_{n}, calcule su límite cuando n tiende a infinito.

\lim \ \frac{1}{n} - \frac{3}{n+1} + 7 = \frac{1}{\infty} - \frac{3}{\infty} + 7 = 0 + 0+ 7 = 7

Ejemplo 9

Considere la sucesión \left\{ \sqrt{n} + \frac{11}{4n} + \sqrt[5]{n+3} \right\}_{n}, calcule su límite cuando n tiende a infinito.

\lim \ \sqrt{n} + \frac{11}{4n} + \sqrt[5]{n+3} = \sqrt{\infty} + \frac{11}{4 \cdot \infty} + \sqrt[5]{\infty+3} = \infty + 0 + \infty = \infty

Ejemplo 10

Considere la sucesión \left\{ (n+2)^{n^2-6} \right\}_{n}, calcule su límite cuando n tiende a infinito.

\lim \ (n+2)^{n^2-6} = (\infty+2)^{\infty^2-6} = \infty^{\infty} = \infty


Derivadas

Consideremos una función lineal definida por una recta l_1, decimos que la pendiente de ésta determina la razón de cambio entre un punto y otro; y es que está definida como el cociente del cambio en el eje Y entre el cambio en el eje X. Formalmente, si (x_0,y_0) y (x_1,y_1) son dos puntos de esta recta entonces su razón de cambio desde x_0 hasta y_0 está definida por

m=\frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}

De la forma en que hemos definido la razón de cambio para las funciones lineales, permite definir una forma general para la razón de cambio entre cualesquiera dos puntos pues siempre es la misma. Pero, ¿es posible definir una forma general para la razón de cambio para cualquier función? Si consideramos cualquier función f(x), es posible estimar la razón de cambio de la misma forma que lo hemos hecho con las funciones lineales, es decir, si (x_0,y_0) y (x_1,y_1) son dos puntos de esta recta entonces su razón de cambio desde x_0 hasta y_0 está definida por

m=\frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}

Gráficamente podemos notar que hay cierta holgura en nuestra estimación, así que podemos decir que no es precisa. Podemos mejorar esta estimación considerando un punto (x_2,y_2) más cercano a (x_0,y_0) y así, la razón de cambio está definida por

m=\frac{y_2 - y_0}{x_2 - x_0}

Incluso, si consideramos un punto (x_3,y_3) aún más cercano a (x_0,y_0), la estimación será más precisa y así, la razón de cambio está definida por

m=\frac{y_3 - y_0}{x_3 - x_0}

De esta forma podemos notar que mientras más cercano está el punto de (x_0,y_0), más precisa será nuestra estimación de la razón de cambio. Entonces, consideramos puntos (x,y) lo más cercanos posibles recurriendo al cálculo infinitesimal, es decir, al cálculo de límites. Formalmente, si consideramos el límite cuando x tiende a x_0, entonces la razón de cambio puntual estará dada por \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} A este límite lo llamamos derivada de la función f(x) en el punto x_0 y lo denotaremos de la siguiente forma

Geométricamente, representa la pendiente de la recta tangente a la curva definida por f(x) en el punto (x_0,f(x_0)), es decir, la que corta a la curva f(x) únicamente en el punto (x_0,f(x_0)) de la siguiente forma:

Un ejemplo particular

Veamos un ejemplo particular, consideremos la función cuadrática f(x)=x^2 y suponga que queremos calcular su derivada en en x_0 = 2. Entonces, su derivada está definida por el siguiente límite:

f'(2) = \lim_{x \to 2} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 2^2}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{4-4}{2-2} = \frac{0}{0}

Este límite presenta una indeterminación de la forma \frac{0}{0}, así que procedemos a determinarlo considerando que el numerador es una diferencia de cuadrados,

\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 2^2}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} x + 2 = 2+2 = 4

Entonces la razón de cambio puntual de la función cuadrática en el punto x_0 = 2 es igual a 4, geométricamente estamos diciendo que la pendiente de la recta tangente a la curva f(x)=x^2 en el punto (2,4) es igual a 4.

Una forma general

Suponga ahora que queremos calcular la derivada en los puntos x_0 = 3 y x_0 = -5, entonces, ¿debemos calcular el límite cada vez? No necesariamente pues podemos determinar una fórmula general para calcular la derivada de la función cuadrática en cualquier punto x.

Para esto sigamos algunos pasos de forma muy cuidadosa. Consideremos ahora una variable auxiliar definida como h=x-x_0, esta tenderá a cero cuando x tiende a x_0 y además a partir de esta variable, tenemos que x = x_0+ h. Entonces, podemos reescribir la derivada de la función f(x) en el punto x_0 de la forma

Entonces, evaluamos la función en x_0 + h y x_0 para luego aplicar producto notable y obtener que

\lim_{h \to 0} \frac{(x_0 + h)^2 - (x_0)^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{x_0^2 + 2 x_0 h + h^2 - x_0^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2 x_0 h + h^2 }{h}

Sacamos h como un factor común en el numerador, posteriormente lo simplificamos tomando en cuenta el h que está en el numerador y evaluamos el límite.

\lim_{h \to 0} \frac{(2 x_0 + h) \cdot h}{h} = \lim_{h \to 0} 2 x_0 + h = 2 x_0 + 0 = 2 x_0

Considerando que x_0 es cualquier elemento en el dominio de la función cuadrática, podemos establecer una fórmula general para su derivada, es decir, si f(x) = x^2 entonces su derivada en cualquier punto x de su dominio está definida como

f'(x) = 2x

De modo que la derivada de la función f(x)=x^2 en los puntos x_0 = 3 y x_0 = -5 es f'(3)=2(3)=6 y f'(-5)=2(-5)=-10, respectivamente.

Es posible establecer fórmulas generales para la derivada de todas las funciones elementales de la misma forma que lo hemos hecho con la función cuadrática y aunque no desarrollaremos los cálculos de forma exhaustiva, podemos hacer una lista de estas derivadas.

Tabla de Derivadas

Funciones
Algebraicas

Funciones
Trascendentales

Funciones
Trigonométricas

Indeterminación cero a la infinito 0^∞

Este tipo de indeterminaciones se puede abordar como una particularidad del caso 1^\infty pues considerando el límite que define el número \textit{\large e}, podemos definir un cambio de variable que permita calcular este mismo número de una forma distinta. Si definimos una variable t=\frac{1}{x}, entonces, t tiende a cero cuando x tiende a infinito, así

\lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x}\right)^x = \lim_{t \to 0} \left( 1 + t\right)^{\frac{1}{t}} = \textit{\Large e}

Ejemplo 1

Y a partir de esta igualdad, se puede deducir la fórmula \lim_{x \to 0} f(x)^{g(x)} = \textit{\huge e}^{\lim_{x \to 0} g(x) (f(x) -1)} Veamos entonces con algunos ejemplos como aplicar esta nueva fórmula para determinar este tipo de límites.

Si consideramos \lim_{x \to 0} \left( 3x \right)^{\frac{1}{x-2}} = 0^{\infty}, este límite presenta una indeterminación. Entonces, aplicando la fórmula, tenemos que

\lim_{x \to 0} \left( 3x \right)^{\frac{1}{x-2}} = \textit{\huge e}^{\lim_{x \to 0} \frac{1}{x-2} \left(3x - 1 \right)}

Entonces, basta con determinar el límite en el exponente \lim_{x \to 0} \frac{1}{x-2} \left(3x - 1 \right) = \lim_{x \to 0} \frac{3x-1}{x-2} = \frac{0-2}{3(0)-1}=\frac{1}{2}. Por lo tanto, concluimos que

\lim_{x \to 0} \left( 3x \right)^{\frac{1}{x-2}} = \textit{\huge e}^{\frac{1}{2}}

Indeterminación infinito a la cero ∞^0

Este tipo de indeterminaciones se puede abordar como una particularidad del caso 1^{\infty} usando la fórmula \lim_{x \to \infty} f(x)^{g(x)} = \textit{\huge e}^{\lim_{x \to \infty} g(x) (f(x) -1)} Veamos entonces con algunos ejemplos como determinar este tipo de límites.

Ejemplos

Ejemplo 1

Si consideramos \lim_{x \to \infty} \left( 4x+9 \right)^{\frac{1}{6x-17}} = \infty^0, este límite presenta una indeterminación. Entonces, aplicando la fórmula, tenemos que

\lim_{x \to \infty} \left( 4x+9 \right)^{\frac{1}{6x-17}} = \textit{\huge e}^{\lim_{x \to \infty} \frac{1}{6x-17} \left((4x+9) - 1 \right) }

Entonces, basta con determinar el límite \lim_{x \to \infty} \lim_{x \to \infty} \frac{1}{6x-17} \left((4x+9) - 1 \right) = 0 \cdot \infty, para esto efectuamos el producto de fracciones para obtener

\lim_{x \to \infty} \frac{(4x+9) - 1}{6x-17} = \lim_{x \to \infty} \frac{4x+8}{6x-17}

Y considerando que el polinomio en el numerador y el polinomio en el denominador tienen el mismo grado, el límite será igual al cociente entre sus coeficientes principales, es decir, \lim_{x \to \infty} \frac{4x+8}{6x-17} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}. Por lo tanto, concluimos que

\lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2 + 3}{x^2 - x} \right)^{5x + 2} = \textit{\huge e}^{ \frac{2}{3}}

Ejemplo 2

Si consideramos \lim_{x \to \infty} \left( \frac{7x^2 -1}{x - 5} \right)^{\frac{1}{x+2}} = \infty^0, este límite presenta una indeterminación. Entonces, aplicando la fórmula, tenemos que

\lim_{x \to \infty} \left( \frac{7x^2 -1}{x - 5} \right)^{\frac{1}{x+2}} = \textit{\huge e}^{\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x+2} \left(\frac{7x^2 -1}{x - 5} - 1 \right) }

Entonces, basta con determinar el límite \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x+2} \left(\frac{7x^2 -1}{x - 5} - 1 \right) = 0 \cdot \infty, para esto efectuamos la suma de fracciones para obtener

\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x+2} \left(\frac{7x^2 -1 - (x-5)}{x - 5} \right) = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x+2} \left(\frac{7x^2 -x +4}{x - 5} \right)

Posteriormente efectuamos el producto entre los numeradores aplicando la propiedad distributiva, y obtenemos

\lim_{x \to \infty} \frac{7x^2 -x +4}{x^2-5x+2x-10} = \lim_{x \to \infty} \frac{7x^2 -x +4}{x^2-3x-10}

Y considerando que el polinomio en el numerador y el polinomio en el denominador tienen el mismo grado, el límite será igual al cociente entre sus coeficientes principales, es decir, \lim_{x \to \infty} \frac{7x^2 -x +4}{x^2-3x-10} = 7. Por lo tanto, concluimos que

\lim_{x \to \infty} \left( \frac{7x^2 -1}{x - 5} \right)^{\frac{1}{x+2}} = \textit{\huge e}^{7}

Indeterminación uno a la infinito 1^∞

Hasta ahora hemos estudiado el límite de las operaciones básicas entre funciones, sin embargo, si consideramos dos funciones f(x) y g(x) la operación f(x)^{g(x)} cuando x tiende a infinito debe calcularse tomando tomando en cuenta que

\lim_{x \to \infty} f(x)^{g(x)} = 1^{\infty} está indeterminado.

La técnica para determinar este tipo de límites parte de la definición del número \textit{\large e} y es que podemos notar que si hacemos una simple sustitución en el siguiente límite, podemos notar que éste presenta una indeterminación

\lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x}\right)^x = \left( 1 + \frac{1}{\infty}\right)^{\infty} = (1 + 0)^{\infty} = 1^\infty

Afortunadamente, sabemos que éste límite define justamente al número \textit{\large e}, entonces

\lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x}\right)^x = \textit{\Large e}

Esta fórmula se puede generalizar aún más, pues si consideramos una función f(x) que tiende a infinito cuando x tiende a infinito, entonces

\lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{f(x)}\right)^{f(x)} = \textit{\Large e}

De esta forma, al toparnos con la indeterminación 1^{\infty} puede ser conveniente reescribir la expresión que define la función para obtener el número. Veamos en los siguientes ejemplos como determinar este tipo de límites.

Ejemplos

Ejemplo 1

Si consideramos \lim_{x \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{x}\right)^{x} = 1^{\infty}, este límite presenta una indeterminación. Notamos que este límite es levemente diferente al límite que define el número \textit{\large e}, así que tomando en cuenta la propiedad de las potencias \left(a^b\right)^c = a^{bc} entonces podemos reescribir el límite para encontrar la definición del número \textit{\large e} de la siguiente forma

\lim_{x \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{x}\right)^{x} = \lim_{x \to \infty} \left[ \left( 1 + \frac{1}{-x}\right)^{-x} \right]^{-1}

De esta forma, notamos que la expresión que está dentro de los corchetes es la definición del número \textit{\large e}, entonces al calcular el límite obtenemos

\textit{\large e}^{-1} = \frac{1}{\textit{\large e}}

Por lo tanto, concluimos que \lim_{x \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{x}\right)^{x} = \frac{1}{\textit{\large e}}


De forma general, si consideramos una función f(x) que tiende a infinito cuando x tiende a infinito, entonces

\lim_{x \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{f(x)}\right)^{f(x)} = \frac{1}{\textit{\Large e}}


Ejemplo 2

Si consideramos \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x}\right)^{2x} = 1^{\infty}, este límite presenta una indeterminación. Podemos reescribir de la siguiente forma

\lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x}\right)^{2x} = \lim_{x \to \infty} \left[ \left( 1 + \frac{1}{x}\right)^x \right]^2

De esta forma, notamos que la expresión que está dentro de los corchetes es la definición del número \textit{\large e}, entonces al calcular el límite obtenemos

\textit{\large e}^2

Por lo tanto, concluimos que \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x}\right)^{x} = \textit{\large e}^2

Ejemplo 3

Si consideramos \lim_{x \to \infty} \left( 1 - \frac{3}{x}\right)^{x} = 1^{\infty}, este límite presenta una indeterminación. Reescribimos el límite de la siguiente forma

\lim_{x \to \infty} \left( 1 - \frac{3}{x}\right)^{x} = \lim_{x \to \infty} \left[ \left( 1 - \frac{ \ 1 \ }{\frac{x}{3}}\right)^{\frac{x}{3}} \right]^{3}

De esta forma, notamos que la expresión que está dentro de los corchetes es la definición del número \textit{\large e}, entonces al calcular el límite obtenemos

\left[ \textit{\large e}^{-1} \right]^3 = \frac{1}{\textit{\large e}^3}

Por lo tanto, concluimos que \lim_{x \to \infty} \left( 1 - \frac{3}{x}\right)^{x} = \frac{1}{\textit{\large e}^3}

Ejemplo 4

Si consideramos \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x+1}{x}\right)^{x} = 1^{\infty}, este límite presenta una indeterminación. Reescribimos el límite de la siguiente forma

\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x+1}{x}\right)^{x} = \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x} + \frac{1}{x}\right)^{x} =\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} = \textit{\large e}


De forma general, si consideramos dos funciones f(x) y g(x) tales que \frac{f(x)}{g(x)} tiende a infinito cuando x tiende a infinito, entonces

\lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{ \ 1 \ }{\frac{f(x)}{g(x)}}\right)^{\frac{f(x)}{g(x)}} = \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{g(x)}{f(x)}\right)^{\frac{f(x)}{g(x)}} = \textit{\Large e}


Ejemplo 5

Si consideramos \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{x} = 1^{\infty}, este límite presenta una indeterminación. Notamos a diferencia del ejemplo anterior, la solución no es tan simple como separar las sumas de fracciones. Así que reescribimos sumando y restando uno en el límite de la siguiente forma

\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{x} = \lim_{x \to \infty} \left(1 - 1 + \frac{x+1}{x-1}\right)^{x} = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{x+1}{x-1} -1 \right)^{x}

Efectuamos la suma de fracciones para obtener

\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{(x+1) - (x-1)}{x-1}\right)^{x} = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x-1}\right)^{x}

Ahora multiplicamos y dividimos en el exponente por los factores 2 y x-1 para luego conservar la expresión de nuestro interés,

\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x-1}\right)^{x \cdot \frac{2}{2} \cdot \frac{x-1}{x-1}} = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x-1}\right)^{\frac{x-1}{2} \cdot \frac{2}{x-1} \cdot x}

Aplicamos entonces las propiedades de la potencia de la siguiente manera y obtenemos

\lim_{x \to \infty} \left[ \left(1 + \frac{2}{x-1}\right)^{\frac{x-1}{2}} \right]^{\frac{2x}{x-1}}

Notando que la expresión que está dentro de los corchetes es la definición del número \textit{\large e} y considerando que en el exponente el polinomio en el numerador y el polinomio en el denominador tienen el mismo grado, el límite será igual al cociente entre sus coeficientes principales, entonces al calcular el límite el resultado será

\textit{\Large e}^{\lim_{x \to \infty} \frac{2x}{x-1}} = \textit{\Large e}^2

Por lo tanto, concluimos que \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{x} = \textit{\large e}^2


Una fórmula general

Este tipo de límites no presentan mayor complicación al calcularlos y aunque esta técnica es bastante amplia, encontraremos ocasiones en las que podemos recurrir a métodos más sofisticados pues la técnica que hemos usado hasta ahora puede resultar engorrosa. Veamos entonces, la siguiente serie de igualdades para determinar una fórmula que nos permita calcular este tipo de límites.

\lim_{x \to \infty} f(x)^{g(x)}
= \lim_{x \to \infty} \left( 1 + f(x) -1 \right)^{g(x)}
= \lim_{x \to \infty} \left( 1 + f(x) -1 \right)^{g(x) \cdot \frac{f(x) -1}{f(x) -1}}
= \lim_{x \to \infty} \left( 1 + f(x) -1 \right)^{\frac{1}{f(x) -1} \cdot g(x) (f(x) -1)}
= \lim_{x \to \infty} \left[ \left( 1 + f(x) -1 \right)^{\frac{1}{f(x) -1}} \right]^{g(x) (f(x) -1)}
= \textit{\large e}^{\lim_{x \to \infty} g(x) (f(x) -1)}

Por lo tanto, tenemos que

\lim_{x \to \infty} f(x)^{g(x)} = \textit{\huge e}^{\lim_{x \to \infty} g(x) (f(x) -1)}

Veamos en los siguientes ejemplos como determinar este tipo de límites.

Ejemplo 6

Si consideramos \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2 + 3}{x^2 - x} \right)^{5x + 2} = 1^{\infty}, este límite presenta una indeterminación. Entonces, aplicando la fórmula, tenemos que

\lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2 + 3}{x^2 - x} \right)^{5x + 2} = \textit{\huge e}^{\lim_{x \to \infty} (5x+2) \left(\frac{x^2 + 3}{x^2 - x} - 1 \right) }

Entonces, basta con determinar el límite \lim_{x \to \infty} (5x+2) \left(\frac{x^2 + 3}{x^2 - x} - 1 \right) = 0 \cdot \infty, para esto efectuamos la suma de fracciones para obtener

\lim_{x \to \infty} (5x+2) \left(\frac{x^2 + 3- (x^2 - x)}{x^2 - x} \right) = \lim_{x \to \infty} (5x+2) \left(\frac{3+x}{x^2 - x} \right)

Posteriormente efectuamos el producto entre los numeradores aplicando la propiedad distributiva, y obtenemos

\lim_{x \to \infty} \frac{15x + 5x^2 + 6 +2x}{x^2 - x} = \lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 +17x +6}{x^2 - x}

Y considerando que el polinomio en el numerador y el polinomio en el denominador tienen el mismo grado, el límite será igual al cociente entre sus coeficientes principales, es decir, \lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 +17x +6}{x^2 - x} = 15. Por lo tanto, concluimos que

\lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2 + 3}{x^2 - x} \right)^{5x + 2} = \textit{\huge e}^{15}