Indeterminación cero por infinito 0*∞

Si f(x) y g(x) son dos funciones cuyos límites tienden a infinito y a cero, respectivamente cuando x tiende al infinito, entonces el límite del producto de estas dos funciones presenta una indeterminación. La forma en que se determinan este tipo de límites consiste en reescribir la expresión para obtener una indeterminación de la forma \frac{\infty}{\infty} y usar las técnicas usadas para estos casos. Veamos en los siguientes ejemplos como determinar este tipo de límites

Ejemplos

Ejemplo 1

Si consideramos \lim_{x \to \infty} \left(\frac{1}{\sqrt{4x^2 - 7}} \right) 6x = 0 \cdot \infty, este presenta una indeterminación. Multiplicamos el producto entre las fracciones y posteriormente aplicamos la técnica que hemos visto anteriormente

\lim_{x \to \infty} \frac{6x}{\sqrt{4x^2 - 7}} = \lim_{x \to \infty} \frac{6x}{\sqrt{4x^2 - 7}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6x}{x}}{\sqrt{4\frac{x^2}{x^2} -\frac{7}{x}}} = \lim_{x \to \infty} \frac{6}{\sqrt{4 -\frac{7}{x^2}}}

Y al evaluar el límite obtenemos

\frac{6}{\sqrt{4-0}} = \frac{6}{\sqrt{4}} = \frac{6}{2} = 3

Por lo tanto, concluimos que \lim_{x \to \infty} \left(\frac{1}{\sqrt{4x^2 - 7}} \right) 6x = 3

Ejemplo 2

Si consideramos \lim_{x \to \infty} (5x+2) \left(\frac{x^2 + 3}{x^2 - x} - 1 \right) = 0 \cdot \infty, este presenta una indeterminación. Efectuamos la suma de fracciones para obtener

\lim_{x \to \infty} (5x+2) \left(\frac{x^2 + 3- (x^2 - x)}{x^2 - x} \right) = \lim_{x \to \infty} (5x+2) \left(\frac{3+x}{x^2 - x} \right)

Posteriormente efectuamos el producto entre los numeradores aplicando la propiedad distributiva, y obtenemos

\lim_{x \to \infty} \frac{15x + 5x^2 + 6 +2x}{x^2 - x} = \lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 +17x +6}{x^2 - x}

Y considerando que el polinomio en el numerador y el polinomio en el denominador tienen el mismo grado, el límite será igual al cociente entre sus coeficientes principales, por lo tanto, concluimos que \lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 +17x +6}{x^2 - x} = 15

El Número e

Las grandes constantes matemáticas

Las grandes constantes matemáticas provienen en su mayoría de relaciones geométricas por ejemplo, la constante de Pitágoras \sqrt{2} es la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo con ambos catetos igual a 1, \pi es la proporción de la longitud de arco de una circunferencia entre su diámetro y el número de oro \Phi que define la proporción áurea (dos cantidades están en la proporción áurea si su proporción es igual a la proporción de su suma a la mayor de las dos cantidades).

Sin embargo, otras constantes que no provienen de este tipo de relaciones.

El interés compuesto

Suponga que usted invierte un capital P en un banco que ofrece un plan de plazo fijo con una tasa de interés compuesto del r \% anual. Entonces, Al final del primer año usted habrá acumulado lo que tenía en el año anterior (P) más un r por ciento de ese capital (\frac{r}{100} \cdot P), es decir,

P + \frac{r}{100} \cdot P

Y notando que podemos sacar a P como un factor común, obtenemos

P \left( 1 + \frac{r}{100}\right)

Al final del segundo año usted habrá acumulado lo que tenía en el año anterior (P \left( 1 + \frac{r}{100}\right)) más un r por ciento de ese capital (\frac{r}{100} \cdot P \left( 1 + \frac{r}{100}\right) ), es decir,

P \left( 1 + \frac{r}{100}\right) + \frac{r}{100} \cdot P \left( 1 + \frac{r}{100}\right)

Y notando que podemos sacar a P \left( 1 + \frac{r}{100}\right) como un factor común, obtenemos

P \left( 1 + \frac{r}{100}\right) \left( 1 + \frac{r}{100}\right) = P \left( 1 + \frac{r}{100}\right)^2

Si continuamos razonando de esta manera, podemos concluir que al final del tercer año usted habrá acumulado P \left( 1 + \frac{r}{100}\right)^3, al final del cuarto año P \left( 1 + \frac{r}{100}\right)^4 y así de forma sucesiva, podemos decir que al final del n-ésimo año habrá acumulado

P \left( 1 + \frac{r}{100}\right)^n

Un caso particular

Esta fórmula nos provee una forma general de calcular el capital acumulado con una tasa de interés r al cabo de n periodos de tiempo. Consideremos un caso muy particular, en el que tomamos un perolito (moneda oficial de totumat) y los invertimos en un banco que ofrece una tasa de interés del 100% anual. Entonces, al cabo de un año habremos acumulado

\left( 1 + 1 \right)^1 = 2

Supongamos ahora que este banco, ofrece una tasa de interés del 50% semestral, de esta forma, al final del año han culminado dos periodos y así, habremos acumulado

\left( 1 + \frac{1}{2}\right)^2 = 2,25

Notamos que al final del año se habrá acumulado un capital mayor por lo que parece atractiva la idea de segmentar el año más cuotas de interés, entonces si consideramos una tasa de interés del 33.333% cuatrimestral, al final del año han culminado tres periodos y así, habremos acumulado

\left( 1 + \frac{1}{3}\right)^3 = 2,37

Podemos razonar de esta manera de forma sucesiva, partiendo el año en periodos más pequeños para maximizar nuestro capital acumulado, sin embargo, observemos cuidadosamente lo que ocurre

\left( 1 + \frac{1}{4}\right)^4 = 2.44
\left( 1 + \frac{1}{12}\right)^{12} =  2,61
\left( 1 + \frac{1}{52}\right)^{52} = 2,69
\left( 1 + \frac{1}{365}\right)^{365} = 2,71
\left( 1 + \frac{1}{8760}\right)^{8760} = 2,71
\left( 1 + \frac{1}{31536000}\right)^{31536000} = 2,71

Si bien el capital acumulado aumenta a medida que segmentamos el año, éste tiende a estancarse incluso si estamos acumulando intereses de forma continua en el tiempo. Lo que que han descubierto las matemáticas es que a medida que n tiende a infinito, la expresión \left( 1 + \frac{1}{n}\right)^n tiende a un número particular que se conoce como la Constante de Euler o Constante de Napier. De forma general, tenemos que

El número \textit{\Large e} tiene gran importancia en las matemáticas ya que este representa el crecimiento natural de las cosas. Además cuenta con propiedades muy ricas en el cálculo diferencial e integral.


Indeterminación infinito menos infinito ∞-∞

Si f(x) y g(x) son dos funciones cuyos límites tienden a infinito cuando x tiende al infinito, entonces el límite de la resta entre estas dos funciones presenta una indeterminación. Para entender como determinar este tipo de límites debemos considerar el grado de las funciones involucradas pues el crecimiento de la función de mayor grado predominará sobre el crecimiento de las funciones de menor grado en el infinito, de esta forma determinamos este tipo de límite de la siguiente manera

Ejemplos

Ejemplo 1

Si consideramos \lim_{x \to \infty} x^2 - x = \infty - \infty , este presenta una indeterminación pero al ser 2 el mayor grado, entonces tenemos que

\lim_{x \to \infty} x^2 - x = \infty

Ejemplo 2

Si consideramos \lim_{x \to \infty} 6\sqrt[3]{x+1} - 7x^5 + 6 = \infty - \infty , este presenta una indeterminación pero al ser 5 el mayor grado, entonces tenemos que

\lim_{x \to \infty} 6\sqrt[3]{x+1} - 7x^5 + 6 = -\infty

Ejemplo 3

Si consideramos \lim_{x \to \infty} \sqrt[5]{x^7 - 3} - \ln(x) + 9 = \infty - \infty , este presenta una indeterminación pero al ser \frac{7}{5} el mayor grado, entonces tenemos que

\lim_{x \to \infty} \sqrt[5]{x^7 - 3} - \ln(x) + 9 = \infty

Ejemplo 4

Si consideramos \lim_{x \to \infty} \text{\large e}^x - 8x^{20} - 15 = \infty - \infty , este presenta una indeterminación pero al ser función exponencial de mayor grado, entonces tenemos que

\lim_{x \to \infty} \text{\large e}^x - 8x^{20} - 15 = \infty

Ejemplo 5

Si consideramos \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 1}{x} - x^3 - 3 = \infty - \infty , este presenta una indeterminación pero al ser 3 el mayor grado, entonces tenemos que

\lim_{x \to \infty} \frac{x^4 + 1}{x} - x^2 - 3 = -\infty


Estos ejemplos no presentan mayor dificultad para determinarlos debido a que la diferencia entre los grados es clara, así que consideraremos otros ejemplos en los que el grado de las funciones es el mismo. Veamos cuales son las técnicas para determinarlos.

Límite que involucra una función radical

Si consideramos \lim_{x \to \infty} \sqrt{x-1} - \sqrt{x+1} = \infty - \infty, este límite presenta una indeterminación. Para determinar este tipo de límites, debemos notar que el \emph{conflicto} es generado por la resta entre cada elemento de la función. Consideremos el conjugado de esta expresión \left( \sqrt{x-1} + \sqrt{x+1} \right) para multiplicar y dividir por la función, entonces

\lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x-1} - \sqrt{x+1} \right) \cdot \frac{\left( \sqrt{x-1} + \sqrt{x+1} \right)}{\left( \sqrt{x-1} + \sqrt{x+1} \right)}

Al multiplicar la expresión \left( \sqrt{x-1} + \sqrt{x+1} \right) por su conjugado obtenemos una diferencia de cuadrados, así que el límite se reescribe de la siguiente forma

\lim_{x \to \infty} \frac{\left( \sqrt{x-1} \right)^2 - \left( \sqrt{x+1} \right)^2}{\left( \sqrt{x-1} + \sqrt{x+1} \right)}

Posteriormente simplificamos y efectuamos las operaciones en el numerador para obtener

\lim_{x \to \infty} \frac{\left( x-1 \right) - \left( x+1 \right)}{\left( \sqrt{x-1} + \sqrt{x+1} \right)} = \lim_{x \to \infty} \frac{-2}{\left( \sqrt{x-1} + \sqrt{x+1} \right)}

Una vez que evaluamos el límite tenemos que

\frac{-2}{\infty + \infty} = \frac{-2}{\infty} = 0

Por lo tanto, concluimos que \lim_{x \to \infty} \sqrt{x-1} - \sqrt{x+1} = 0

Límite que involucra una función exponencial

Si consideramos \lim_{x \to \infty} \text{\large e}^{5x+7} - \text{\large e}^{2x-3} = \infty - \infty, este límite presenta una indeterminación. Para determinar este tipo de límites, debemos recurrir a las propiedades de las potencias y notar que \text{\large e}^{5x+7} = \text{\large e}^{5x} \cdot \text{\large e}^{7} y \text{\large e}^{2x-3} = \text{\large e}^{2x} \cdot \text{\large e}^{-3}, de esta el límite será igual a

\lim_{x \to \infty} \text{\large e}^{5x} \cdot \text{\large e}^{7} - \text{\large e}^{2x} \cdot \text{\large e}^{-3}

Notando además, que \text{\large e}^{5x} = \text{\large e}^{2x} \cdot \text{\large e}^{3x}, obtenemos

\lim_{x \to \infty} \text{\large e}^{2x} \cdot \text{\large e}^{3x} \cdot \text{\large e}^{7} - \text{\large e}^{2x} \cdot \text{\large e}^{-3} = \lim_{x \to \infty} \text{\large e}^{2x} \cdot \left( \text{\large e}^{3x} \cdot \text{\large e}^{7} - \text{\large e}^{-3} \right)

Por lo tanto, al evaluar el límite tenemos que

\lim_{x \to \infty} \infty \cdot \infty = \infty

Por lo tanto, concluimos que \lim_{x \to \infty} \text{\large e}^{5x+7} - \text{\large e}^{2x-3} = \infty

Límite que involucra una función logarítmica

Si consideramos \lim_{x \to \infty} \ln(15x-9) - \ln(3x+4) = \infty - \infty, este límite presenta una indeterminación. Para determinar este tipo de límites, debemos recurrir a las propiedades de los logaritmos y notar que \ln(a) - \ln(b) = \ln \left( \frac{a}{b} \right), de esta el límite será igual a

\lim_{x \to \infty} \ln \left( \frac{15x-9}{3x+4} \right)

Si nos fijamos que el cociente que está dentro de logaritmo es un cociente de polinomios del mismo grado, entonces su límite será igual a la división entre sus coeficientes principales, de esta forma, el límite de este cociente es igual \frac{15}{3} = 5, por lo tanto concluimos que

\lim_{x \to \infty} \ln(15x-9) - \ln(3x+4) = \ln(5)

Indeterminación Infinito sobre Infinito ∞/∞ (2 de 2)

Vimos que al considerar el cociente entre polinomios cuando la variable x tiende infinito, se puede determinar el límite considerando el grado de los polinomios. Esta situación se puede generalizar para cualquier cociente entre funciones considerando el grado de ambas funciones. Veamos entonces con los siguientes ejemplos como determinar este tipo de límites.

Ejemplos

Ejemplo 1

Si consideramos \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x} + 1}{x+1} = \frac{\infty}{\infty}, este límite presenta una indeterminación pero considerando que el grado de la función en el numerador es igual a \frac{1}{2} y el grado del denominador es igual a 1 entonces

\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x} + 1}{x+1} = 0

Ejemplo 2

Si consideramos \lim_{x \to \infty} \frac{\text{\large e}^x + x^2 + 5}{2x^7 + 3x^5 + x} = \frac{\infty}{\infty}, este límite presenta una indeterminación pero considerando que el grado de la función en el numerador es exponencial y el grado del denominador es igual a 7 entonces

\lim_{x \to \infty} \frac{\text{\large e}^x + x^2 + 5}{2x^7 + 3x^5 + x} = \infty

Ejemplo 3

Si consideramos \lim_{x \to \infty} \frac{x + 100}{\ln(x) + 20} = \frac{\infty}{\infty}, este límite presenta una indeterminación pero considerando que el grado de la función en el numerador es igual a 1 y el grado del denominador es logarítmico entonces

\lim_{x \to \infty} \frac{x + 100}{\ln(x) + 20} = \infty


¿Y si el grado es el mismo?

Si bien estos ejemplos no presentan mayor complicación para determinarlos debido a que la diferencia entre los grados es clara, vale la pena considerar otros ejemplos en los que el grado de las funciones es el mismo. La técnica no será muy distinta a la que usamos para determinar los límites de cocientes entre polinomios pues dividiremos siempre el numerador y el denominador por la función elemental de mayor grado involucrada en el límite.

Límite que involucra una función radical

Si consideramos \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9x+5} - 7}{\sqrt{3x-25} + 8} = \frac{\infty}{\infty}, este límite presenta una indeterminación pero considerando que el grado en ambos miembros de la fracción es \frac{1}{2}, entonces dividimos el numerador y el denominador por \sqrt{x}

\lim_{x \to \infty} \dfrac{\frac{\sqrt{9x+5} - 7}{\sqrt{x}}}{\frac{\sqrt{4x-25} + 8}{\sqrt{x}}}

Una vez que hemos dividido, separamos la suma en los numeradores de cada fracción de la siguiente forma

\lim_{x \to \infty} \dfrac{\frac{\sqrt{9x+5}}{\sqrt{x}} - \frac{7}{\sqrt{x}}}{\frac{\sqrt{4x-25}}{\sqrt{x}} + \frac{8}{\sqrt{x}}}

Notamos además, que podemos combinar las raíces cuadradas de la siguiente manera

\lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{\frac{9x+5}{x}} - \frac{7}{\sqrt{x}}}{\sqrt{\frac{4x-25}{x}} + \frac{8}{\sqrt{x}}}

Simplificamos entonces cada una de las fracciones generadas de la misma forma que las hemos simplificado anteriormente, para obtener

\lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{9+\frac{5}{x}} - \frac{7}{\sqrt{x}}}{\sqrt{4-\frac{25}{x}} + \frac{8}{\sqrt{x}}}

Calculamos entonces el límite de cada uno de las expresiones involucradas, teniendo en cuenta que \lim_{x \to \infty} \frac{a}{x} = 0 y \lim_{x \to \infty} \frac{a}{\sqrt{x}} = 0 (con a \neq 0), así el límite será igual a

\dfrac{\sqrt{9+0} - 0}{\sqrt{4-0} + 0} = \dfrac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}} = \dfrac{3}{2}

Por lo tanto concluimos que \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9x+5} - 7}{\sqrt{3x-25} + 8} = \frac{3}{2}


Al considerar funciones algebraicas es más intuitiva la simplificación de las expresiones, sin embargo, al considerar funciones trascendentales esta simplificación no es tan obvia, es por eso que en los siguientes ejemplos veremos algunos casos donde podemos determinar los límites de forma intuitiva.

Límite que involucra una función exponencial

Si consideramos \lim_{x \to \infty} \frac{10 \text{\large e}^x + 3x + 2}{5\text{\large e}^x + x^2-7} = \frac{\infty}{\infty}, este límite presenta una indeterminación pero considerando que el grado en ambos miembros de la fracción es exponencial, entonces dividimos el numerador y el denominador por \text{\large e}^x

\lim_{x \to \infty} \dfrac{\frac{10 \text{\large e}^x + 3x + 2}{\text{\large e}^x}}{\frac{5\text{\large e}^x + x^2-7}{\text{\large e}^x}}

Una vez que hemos dividido, separamos la suma en los numeradores de cada fracción de la siguiente forma

\lim_{x \to \infty} \dfrac{ 10\frac{\text{\large e}^x}{\text{\large e}^x} + \frac{3x}{\text{\large e}^x} + \frac{2}{\text{\large e}^x}}{5 \frac{\text{\large e}^x}{\text{\large e}^x} + \frac{x^2}{\text{\large e}^x}-\frac{7}{\text{\large e}^x}}

Simplificamos entonces cada una de las fracciones generadas, para obtener

\lim_{x \to \infty} \dfrac{ 10 + 3\frac{x}{\text{\large e}^x} + \frac{2}{\text{\large e}^x}}{5 + \frac{x^2}{\text{\large e}^x}-\frac{7}{\text{\large e}^x}}

Calculamos entonces el límite de cada uno de los sumandos involucrados, teniendo en cuenta que \lim_{x \to \infty} \frac{a}{\text{\large e}^x} = 0 (con a \neq 0), \frac{x}{\text{\large e}^x} = 0 y \frac{x^2}{\text{\large e}^x} = 0, así el límite será igual a

\frac{10 + 0 + 0}{5 + 0 - 0} = \frac{10}{5} = 2

Por lo tanto concluimos que \lim_{x \to \infty} \frac{10 \text{\large e}^x + 3x + 2}{5\text{\large e}^x + x^2-7} = 2

Límite que involucra una función logarítmica

Si consideramos \lim_{x \to \infty} \frac{14 \ln(x) + 3}{5\ln(x) - 25} = \frac{\infty}{\infty}, este límite presenta una indeterminación pero considerando que el grado en ambos miembros de la fracción es exponencial, entonces dividimos el numerador y el denominador por \ln(x)

\lim_{x \to \infty} \dfrac{\frac{14 \ln(x) + 3}{\ln(x)}}{\frac{5\ln(x) - 25}{\ln(x)}}

Una vez que hemos dividido, separamos la suma en los numeradores de cada fracción de la siguiente forma

\lim_{x \to \infty} \dfrac{ 14\frac{\ln(x)}{\ln(x)} + \frac{3}{\ln(x)}}{5 \frac{\ln(x)}{\ln(x)} - \frac{25}{\ln(x)}}

Simplificamos entonces cada una de las fracciones generadas, para obtener

\lim_{x \to \infty} \dfrac{ 14 + \frac{3}{\ln(x)}}{5 - \frac{25}{\ln(x)}}

Calculamos entonces el límite de cada uno de los sumandos involucrados, teniendo en cuenta que \lim_{x \to \infty} \frac{a}{\ln(x)} = 0 (con a \neq 0), así el límite será igual a

\frac{14 + 0}{5 - 0} = \frac{14}{5}

Por lo tanto concluimos que \lim_{x \to \infty} \frac{14 \ln(x) + 3}{5\ln(x) - 25} = \frac{14}{5}

Indeterminación Infinito sobre Infinito ∞/∞ (1 de 2)

La Indeterminación \frac{\infty}{\infty}

Si f(x) y g(x) son dos funciones cuyos límites tienden a infinito cuando x tiende al infinito, entonces el límite de la división entre estas dos funciones presenta una indeterminación

\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\infty}{\infty}

Consideremos de forma particular en el que P(x) y Q(x) son funciones polinomiales que tienden a infinito cuando x tiende a infinito. El método para determinar este tipo de límites consiste en dividir por x^n en el numerador y en el denominador, donde n es el mayor grado involucrado en el límite. Veamos con algunos ejemplos como llevar a cabo este método.

Ejemplos

Ejemplo 1

Si consideramos \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 1}{2x + 1} = \frac{\infty}{\infty}, este límite presenta una indeterminación pero considerando que 2 es el mayor grado involucrado en el límite, entonces dividimos en el numerador y en el denominador por x^2.

\lim_{x \to \infty} \dfrac{\frac{x^2 - 1}{x^2}}{\frac{2x + 1}{x^2}}

Una vez que hemos dividido, separamos la suma en los numeradores de cada fracción de la siguiente forma

\lim_{x \to \infty} \dfrac{\frac{x^2}{x^2} - \frac{1}{x^2}}{\frac{2x}{x^2} + \frac{1}{x^2}}

Simplificamos entonces cada una de las fracciones generadas, para obtener

\lim_{x \to \infty} \dfrac{1 - \frac{1}{x^2}}{\frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}

Calculamos entonces el límite de cada uno de los sumandos involucrados, teniendo en cuenta que \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2} = \frac{1}{\infty} = 0, \lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} = \frac{2}{\infty} = 0, así el límite será igual a

\frac{1 - 0}{0 + 0} = \frac{1}{0} = \infty

Donde la fracción \frac{1}{0} servirá como indicador de que el numerador crece con mayor velocidad que el denominador, por lo tanto concluimos que \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 1}{2x + 1} = \infty.

Ejemplo 2

\item Si consideramos \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - x + 4}{4x^3 + 6x^2 +10} = \frac{\infty}{\infty}, este límite presenta una indeterminación pero considerando que 3 es el mayor grado involucrado en el límite, entonces dividimos en el numerador y en el denominador por x^3.

\lim_{x \to \infty} \dfrac{\frac{x^3 - x + 4}{x^3}}{\frac{4x^3 + 6x^2 +10}{x^3}}

Una vez que hemos dividido, separamos la suma en los numeradores de cada fracción de la siguiente forma

\lim_{x \to \infty} \dfrac{\frac{x^3}{x^3} - \frac{x}{x^3} + \frac{4}{x^3}}{\frac{4x^3}{x^3} + \frac{6x^2}{x^3} + \frac{10}{x^3}}

Simplificamos entonces cada una de las fracciones generadas, para obtener

\lim_{x \to \infty} \dfrac{1 - \frac{1}{x^2} + \frac{4}{x^3}}{4 + \frac{6}{x} + \frac{10}{x^3}}

Calculamos entonces el límite de cada uno de los sumandos involucrados, teniendo en cuenta que \lim_{x \to \infty} \frac{a}{\infty} = 0, así el límite será igual a

\dfrac{1 - 0 + 0}{4 + 0 + 0} = \dfrac{1}{4}

Por lo tanto concluimos que \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - x + 4}{4x^3 + 6x^2 +10} = \frac{1}{4} .

Ejemplo 3

Si consideramos \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - 2x - 7}{4x^4 - 9x^2 + 2} = \frac{\infty}{\infty}, este límite presenta una indeterminación pero considerando que 4 es el mayor grado involucrado en el límite, entonces dividimos en el numerador y en el denominador por x^3.

\lim_{x \to \infty} \dfrac{\frac{3x^2 - 2x - 7}{x^4}}{\frac{12x^4 - 9x^2 + 2}{x^4}}

Una vez que hemos dividido, separamos la suma en los numeradores de cada fracción de la siguiente forma

\lim_{x \to \infty} \dfrac{\frac{3x^2}{x^4} - \frac{2x}{x^4} - \frac{7}{x^4}}{\frac{12x^4}{x^4} - \frac{9x^2}{x^4} + \frac{2}{x^4}}

Simplificamos entonces cada una de las fracciones generadas, para obtener

\lim_{x \to \infty} \dfrac{\frac{3}{x^2} - \frac{2}{x^3} - \frac{7}{x^4} }{12 - \frac{9}{x^2} + \frac{2}{x^4}}

Calculamos entonces el límite de cada uno de los sumandos involucrados, teniendo en cuenta que \lim_{x \to \infty} \frac{a}{\infty} = 0, así el límite será igual a

\dfrac{0 - 0 - 0}{12 + 0 + 0} = \dfrac{0}{12} = 0

Donde la fracción \frac{0}{12} servirá como indicador de que el denominador crece con mayor velocidad que el numerador, por lo tanto concluimos que \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - 2x - 7}{4x^4 - 9x^2 + 2} = 0 .

La regla general

Considerando estos tres últimos ejemplos, podemos notar que si consideramos dos polinomios que están definidos de la siguiente forma:

P(x) = a_m x^m + \ldots + a_1 x + a_0
Q(x) = b_n x^n + \ldots + b_1 x + b_0

Entonces, el límite de la división \frac{P(x)}{Q(x)} cuando x tiende a infinito estará determinado de la siguiente forma:

  • Será igual a \infty si m>n.
    Esto quiere decir que el grado del polinomio en el numerador es mayor que el grado del polinomio en el numerador, por lo tanto el numerador crece con mayor velocidad.
  • Será igual a \frac{a_m}{b_n} si m=n.
    Esto quiere decir que el grado del polinomio en el numerador es igual que el grado del polinomio en el numerador, por lo tanto ambos crecen a la misma velocidad.
  • Será igual a 0 si m<n.
    Esto quiere decir que el grado del polinomio en el denominador es mayor que el grado del polinomio en el numerador, por lo tanto el denominador crece con mayor velocidad.